貝克萊的數學哲學思想探微

譚莉

（武漢商學院，湖北武漢430056）

貝克萊的數學哲學思想探微

譚莉

（武漢商學院，湖北武漢430056）

數學哲學是一門研究數學法則規律的學問，是抽象化了的數學思想，屬于邊緣性學科。該文秉持思想滲透哲學的精神，通過對貝克萊與其所處時代著名數學家理論的對比和分析，深入剖析了無窮小等概念，對貝克萊的幾何學、數學語言等思想進行深入分析，逐步具體化、系統化貝克萊的數學哲學批判理念，為了解貝克萊的數學哲學思想奠定了基礎。

貝克萊；數學哲學；幾何；數學語言

貝克萊作為英國著名的哲學家之一，在數學哲學研究領域也頗有建樹，以數學“第二次危機”聞名于世。他發表了《人類知識原理》、《分析學家》等著作，對當時牛頓的數學思想進行批判，為經驗、邏輯、形式主義在數學哲學中的發展提供了土壤。在貝克萊數學哲學思想的影響下，笛卡爾、休謨、康德等不斷地把數學哲學思想的研究引向深入。因此，深入剖析貝克萊的數學哲學思想，特別是對其幾何、數學語言思想的深入挖掘，對于深刻掌握貝克萊哲學思想的內涵、扎實推進數學史和哲學的研究、豐富和拓展貝克萊悖論研究，具有十分重要的現實意義。

1 貝克萊數學哲學思想的當代價值

1.1 學術價值

培根開創了近代經驗主義哲學，洛克集經驗主義百家之長，賦予經驗主義唯物的因子。貝克萊出現以后，秉持經驗主義精髓，使其成為唯物經驗主義理論體系。這在學術上有著預見的意義，他的非物質論在一定意義上科學地預見了徹底懷疑理論，不僅具有批判性，而且具有繼承性。

貝克萊數學哲學思想，對洛克的感覺理論進行改善，對其唯物認識論進行否定，在認識論上形成了唯心主義體系。事實上，他并非是一個徹頭徹尾的經驗主義論者，認為上帝是經驗產生的原因，不受其制約。對此，休謨認為，神秘的精神本體不存在，知覺以外的一切我們都不知道，不存在對實體、精神、上帝的認識，也就是典型的不可知理論。在此之后，康德、費希特、孔德的理論，都認同貝克萊的觀點，即科學應在感覺范疇內進行，沒有將本體論納入科學體系，從本源上不承認哲學基本問題的存在，不認為有唯物和唯心主義分歧的存在。就認識論而言，認為感覺的復合形成物。比如穆勒、馬赫、彭加萊、羅素等的理論也是基于貝克萊認識論的基礎上發展而來。這足以表明，其在感覺、認識論等方面的成果，具有重要的學術價值。

1.2 時代價值

在現代，之所以在數學領域出現辯證理論，正是受到貝克萊數學哲學理論的啟迪。比如：數學是客觀真理；數學是思維對客觀世界的反映；對數學的認識皆來源于實踐、經驗；數學是對客觀、抽象性上的有機統一。但是，作為不斷求新、發展的貝克萊，對這些數學分析并不滿足，開始對一些語言不清晰、邏輯紊亂的觀點進行批判，并指出，即使新的方法也滿足不了連續直覺的觀念，若是將這種連續分割開來，就會對數學分析的本質就行損害。據此而斷，數學將會朝著復雜研究發展。

由此可見，數學哲學思想悖論涉及數學、邏輯、哲學、語義等學科，并非是歧義，只是當下的科學難以解釋，我們不能據此而認為其是符號怪圈。事實上，這恰恰是科學的進步，創新的征兆。對此，赫茲貝格認為，悖論是產生邏輯和語言的源泉。總之，貝克萊的數學哲學思想在澔瀚的數學哲學體系中，雖然只是一家之言，但是彰顯了人心對數學知識的尋覓，是思想滲透原則運用的典范。同時，他謙虛、深遂、博愛的品格值得后人借鑒和學習。

2 貝克萊數學哲學思想的根本宗旨

貝克萊的出現，極大地改善了科學、宗教二者相容相通、不分彼此的舊思維，比如哥白尼不僅是偉大的科學家，而且是教士。開普勒、帕斯卡、牛頓等著名科學家，不僅在數學方面有驚人的成果，而且對上帝也是極力歌頌。在這一時期，宇宙是上帝采用數學方案創造的。由此而斷，上帝則是最偉大的數學家，世間對數學的探索就是為了證明上帝的智慧和能力。

伴隨著科學技術的進步，科學的地位日漸凸顯，宗教開始讓位。伽利略就曾專門批判宗教對科學的禁錮。在這一時期，宗教和科學之間的矛盾日益顯著，貝克萊深刻地認識到了科學、宗教之間的矛盾，于是給科學限定范圍，試圖把宗教和神學之間的密切關系打破。其觀點主要體現在：一方面，在唯心主義認識論的基礎上研究科學，把世界上的知識分為觀念和精神方面的知識。前者指的是感官獲得的現象，屬于非精神事物；另一方面，從科學理論中將精神知識提取出來，把精神當作實體，將其與觀念區別開來。總之，貝克萊認為，一切事物是揭示觀念的集合，它們之間沒有因果關系，產生觀念的原因就是上帝。因此，他的理論就把事物、現象的必然聯系割裂開來，以達到否定科學和宗教兩者的密切聯系。

從本質上來看，貝克萊的理論并不是在維護科學的地位，相反，恰恰是通過對科學的限定，進一步鞏固宗教的地位，從而保護受科學巨大沖擊而搖搖欲墜的神學。一是對微積分理論進行批判，從而試圖阻擋科學帶來的巨大沖擊。二是揭露無窮小的邏輯矛盾，造成了人們懷疑微積分的真實性，進而引發數學危機。但是，貝克萊對微積分的批判，并非只是無稽之談，毫無意義。比如對牛頓無窮小理論的批判和諷刺，讓人們認識到牛頓數學推導中存在邏輯弊端，為今后微積分理論的進一步完善和發展奠定了基礎；幫助人們認識到他所處時代的數學家采用的是歸納推理，數學推導的步驟缺乏邏輯性，并無讓人足以信服的理由；秉持認識相對性理論，無情地批判了絕對時空、運動理論。總體來說，貝克萊數學哲學思想的根本宗旨，就是給科學、宗教之間劃分界限，不準科學干涉神學，但是，事與愿違，神學價值并未延續，科學發展卻日新月異，并從神學中吸取營養，科學、神學演變成相得益彰、相輔相成的關系。

3 貝克萊數學哲學思想概述

3.1 貝克萊的幾何學思想

貝克萊關于幾何學的思想，歷經了比較大的轉變，尤其是對于“幾何能夠融合多少它的反抽象主義認識論”。貝克萊在早年研究中指出，必須要打破決絕大多數的幾何研究成果。在這一階段，他對無窮可分的理論進行批判，并且在微量物基礎上構建幾何體系。但是，隨著貝克萊知識和經驗的不斷豐富，他拋棄了自己要創建的微量幾何體系。原因在于：貝克萊找到了新的方法，對幾何進行通俗的闡釋，打破以往幾何過于抽象的解釋。只要我們對貝克萊早期的作品進行仔細對比，就不難發現他對幾何學說的這種變化。

貝克萊用認識論對無窮的真實性進行批判，他認為幾何必須做徹頭徹尾的改變，只有用他的認識論來改造幾何，才能還原幾何真正的數學意義。對此，要想理解這些，必須要正確對待反抽象主義、無窮可分性之間的區別和聯系。要懂得抽象主義者認為感知并非是無窮可分的。然而，在幾何抽象論之中，空間的概念并不是使幾何在可感知的范圍內進行研究。抽象主義者認為，無窮可分的正確性不容置疑，原因在于：劃出的線是幾何物的應用符合，它們都是來源于日常經驗，經過加工抽象得出，物理限制對其不起作用。

貝克萊還指出，幾何應該把微量可感物當作基礎，也就是打破歐氏幾何的地位，用微量論來代替。可以說，貝克萊建構的新幾何學說就是為了對抗歐氏幾何。原因在于：他認為線、數量是微量形成的，而歐氏幾何卻強調線、數量由無限的點組成。讓人慶幸的是，貝克萊在最終放棄了這個想法，轉而找尋從本質上調整幾何的辦法，指出普遍性絕不是一切事物必須具有的性質，而是與特殊性密切相連。對于該學說，貝克萊指出，這是個尤其特殊的概念，它會因為被同類的特殊性替代而演變成一般化。在幾何中，線、量都能夠被相似的所代替，定理能夠用于解同類的題，而并不需要對其進行假定。人們之所以接受無限可分性，是因為不能真正理解幾何研究對象、幾何證明的區別和聯系，誤解了幾何證明中線、所能代表的線的聯系。

3.2 貝克萊關于數學語言的思想

貝克萊關于數學語言的理論在其數學哲學思想中占有重要地位。他吸取了韋達、萊布尼茨的理論精華，形式化了數學符號語言邏輯。他還強調，算數與數學密不可分；代數與事物的形式密切相關，是針對一般類型的形式進行研究。事實上，貝克萊通過提出數學形式理念，系統地將算數、代數、幾何哲學展現給世人。同時，又對數學語言指向形式系統進行肯定，更用形式的符號定義數學理論。對此，我們不能把代數當作某種技巧，而要將其當作一個抽象的演變歷程。

貝克萊通過對數學計算、微積分等理論不足的剖析，明確提出數目、廣延具有可分性和無限性等概念。對此，他還指出，對數學的深入研究，就是經過對數目名稱、標記等研究而達到目的。通過把數學、語言等概念結合在一起，得出“三角形”等的名稱含義具有可變性，是不確定的特殊性概念，絕不是唯一的抽象概念。他不贊同數學中的名稱具有唯一的含義，不認同詞語代表著抽象的意義。在貝克萊看來，名詞含義指的是個別概念，屬于邏輯學的范疇。數學應該從語言學的角度進行分析，賦予數學研究新的視角，不斷豐富數學研究。同時，貝克萊也在語言學研究中引入了數學哲學的視角，拓展和豐富了語言學的內涵。

貝克萊的數學哲學思想中，最起碼的學術意義有兩個，一是數學語言在傳達思想的過程中具有激發情感、激起活動的作用，二是這些語詞自身就可以產生其作用，并不需要觀念或者理念的介入。由此可以得出，貝克萊對于數學語言、語言邏輯有著重大的貢獻，他在數學哲學上的造詣也很深，他主張倘若一切關于數學對象的陳述存在且有意義，那么它們都可以還原為感官經驗內容的表述。該理論在今日仍有較大的影響，是數學經驗論領域研究的重要課題。

通過對貝克萊數學哲學思想的研究，不難發現：其思想頗有擺動性，主要體現在把數學哲學引向唯心主義、從抽象引向經驗。該特性也是后來諸多西方數學家所具有的特征；其思想有著一定的預示性，通過對語言、經驗主義和心理學科的融合，強調其是人類創造性的活動。總之，貝克萊數學哲學思想告訴我們，數學是語言的語言，絕不是觀念的觀念。

[1]林蓉.貝克萊存在即被感知命題的哲學意義[J].中國證券期貨，2013(2).

[2]劉大早.貝克萊的數學悖論思想[J].湘潭師范學院學報:社會科學版，2009（2）.

[3]閻吉達.試論貝克萊哲學思想的變化[J].學術月刊,1984(1).

On Berkele’s Thought of M athematics Philosophy

Tan Li (W uhan Business University,W uhan 430056,China)

Mathematics philosophy,amarginal subject,is a science to study mathematical laws and it is an abstractmathematical thought.Based on the conceptof penetration of thought into philosophy,this paper,by comparing and analyzing the theories of the other famousmathematicians of Berkeley’s time,makes a deep research into the concept of infinitesimal and Berkeley’s thought on geometry and mathematical linguistics so that Berkeley’s critical ideas aboutmathematics philosophy can be specified and systematized,which sets a foundation for understanding Berkeley’s thoughtofmathematics philosophy.

Berkeley;mathematics philosophy;geometry;mathematical linguistics

O1－0

A

1673-8535(2013)06-0043-04

譚莉（1979-）女，山東煙臺人，武漢商學院信息工程系講師，碩士，研究方向：概率論與隨機過程、高等數學教學。

（責任編輯：高堅）

2013-10-23

市級課題PISA和TIMSS視野下應用型本科院校大學生數學素養的探究（2013132）