基于量子最大熵多閾值算法的圖像分割研究

張俊娜，馮云芝

(河南師范大學計算機與信息工程學院，河南新鄉(xiāng)453007)

1 引言

圖像分割是圖像處理領域的一項重要的研究內容，目標檢測、識別和跟蹤都取決于圖像分割的質量，因此分割方法的選擇直接影響到圖像分析系統(tǒng)的性能，根據(jù)灰度、彩色、空間紋理、幾何形狀等特征把圖像劃分成若干個互不相交的區(qū)域，使得這些特征在同一區(qū)域內表現(xiàn)出一致性或相似性，而在不同區(qū)域間表現(xiàn)出明顯的不同，因此圖像分割方法是面向具體的問題［1］。

目前主要有最大后驗熵法、一維二維最大熵法、最小交叉熵法、Renyi熵等方法［2］，它們要求最優(yōu)解的時間過長而使應用受到限制。多閾值分割方法雖然可以用一系列單閾值分割問題解決，但這需要在全灰度范圍內搜索一個最佳門限組合［3］。一些學者提出利用圖像的二維灰度直方圖的方法來進行閾值選取和圖像分割，雖然能夠有效地抑制噪聲得到較高精度的分割圖像，但運算速度慢，復雜性高，如果沒有快速算法很難應用于實時處理。全局閾值算法在圖像不太復雜、灰度分布較集中的情況下采用，如果子圖像正好落在目標區(qū)域或背景區(qū)域，會產(chǎn)生更差的結果。動態(tài)閾值適應了空間灰度信息變化特征，抗噪聲能力比較強，但是時間和空間復雜度比較大。

本文利用像素信息的最大熵，結合多閾值分割圖像，確定圖像像素時，選取符合這些像素但熵值最大的概率分布，在多閾值中通過量子比特信息選擇最優(yōu)閾值，這樣較少運算量并且提高了圖像的分割精度。

2 量子最大熵多閾值分割算法

2．1 最大熵

把圖像的每個像素灰度劃分為［0～255］等級，統(tǒng)計每個等級圖像總像素數(shù)為M，則:，等級 i∈(0，255);Ni為第 i個等級像素總數(shù);pi為第i個等級像素的概率，反映了圖像中等級像素變化情況。

從而得到信息熵［4］:

其中

它表示圖像中每個灰度級像素所傳達的平均信息量。根據(jù)最大信息熵原理:在所有滿足給定約束條件的概率密度函數(shù)中，信息量最大的概率密度函數(shù)就是最佳的概率密度函數(shù)。

設x為連續(xù)型隨機變量［5］，概率密度函數(shù)為f(x)，則其滿足以下條件:

式中，mi是x統(tǒng)計樣本的第i階原點矩，可由統(tǒng)計樣本計算確定。

為使隨機變量的熵E(x)在滿足式zi(x)的條件下取得最大值，構造拉格朗日方程如下:

式中，λ0，λ1，…，λm為拉格朗日乘子。

由此可計算得出最大熵理論表示的隨機變量為x的概率密度函數(shù)為:

在確定圖像像素時，選取符合這些像素但熵值最大的概率分布。考慮到符合已知像素的概率分布可能不止一個，最大熵的求解原則:將已知事實作為制約條件，求得可使熵最大化的概率分布，最大熵值條件:設 Θ =［θ1，θ2，…，θn］是連續(xù)像素集［6］，π 為Θ上的概率密度，以εN(π)表示π的熵，它定義為:

如果已知關于θ的一部分先驗信息，那么方便的方法是把這部分信息用對π(θi)的一些約束方式表達，即假設:

其中，gk(θ)為已知函數(shù)。在此約束下，令熵取最大值，此時的π(θi)作為θi的最大熵驗前分布。θi的最大熵驗前分布為:

其中，λk是由約束條件所確定的常數(shù)。

2．2 多閾值

先考慮單閾值選擇，即把圖像用一個灰度值分成背景和物體兩個區(qū)域的情況。用p0，p1，…，pn表示灰度級的概率分布，如果把閾值設置在灰度級s，將獲得兩個概率分布，一個包含1到s間的灰度級，另一個包含 s+1到s間的灰度級［7］，這兩個分布如下:

閾值s設置為F(s)。

多閾值的情況將上式變?yōu)?

其中，k是類數(shù)，閾值 s1，s2，…，sk設置為 F(s1)，F(xiàn)(s2)，…，F(xiàn)(sk)。

2．3 像素量子比特

像素量子比特為:

通過像素量子比特選取的閾值過程為，圖像中像素點的集合為A，在灰度等級中第i個灰度級的概率為pi(i=0，1，…，255)，第 i個灰度級的所有像素量子比特為把圖像分為N個子塊，單一的子塊為Aj(j=0，1，…，N)，則目標函數(shù)為:

當H(A，N)最小，即為圖像的分割閾值。

2 ．4 圖像分割

圖像閾值化是一種實用的圖像分割算法，但在實際應用中，由于閾值設定容易受噪聲和光亮度的影響，很難有效地進行選擇，所以應用受限;最大熵法是一種改進的圖像閾值分割方法，最大熵法對不同信噪比和不同大小的目標均能產(chǎn)生較好的分割效果，應用較廣。最大熵法包括一維最大熵法和二維最大熵法。由于噪聲的影響，一維直方圖得到的閾值并不能使圖像得到滿意的分割結果;二維最大熵法利用圖像像素與其鄰域平均灰度二維直方圖分割，效果較好，但對于目標的一些邊緣信息未能保留。本文方法不僅利用了圖像的灰度信息而且使用了圖像的梯度信息，使二值化后的圖像保留更多的邊緣信息［8］。

假設將原圖像G分割成s部分而需要(s－1)個閾值［9］，將這些閾值記為 F(sj)，其中 j=1，2，…，s－1。且0＜F(si)＜F(sj)＜F(smax)，則分割所得第j部分所占整個圖像的比例記為 η［F(sj－1，sj)］=h(j)，j=1，2，…，c。像素點的最佳分割閾值［10］為:

式中，F(xiàn)*ij為像點的最優(yōu)閾值;ωij為選擇整體閾值的

算法步驟:

(1)為F(s)選擇一個初始估計值，可以將它取為圖像中最大和最小灰度的中間值;

(2)使用閾值F(s)分割圖像，灰度大于pi的像素組成區(qū)域G1，灰度小于pi的部分為G2;

(3)計算G1和G2區(qū)域中像素的各自平均灰度值G1和G2;

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(5)如果F^(s)與F(s)相等或者相差在規(guī)定的范圍內，或者達到規(guī)定迭代次數(shù)，則可將作為最終閾值結果，否則重復(2)到(4)步的操作，直至滿足要求。

3 實驗仿真

對一幅1024×900圖像進行最大熵閾值分割處理，所用程序為 Matlab 7．0，運行環(huán)境:CPU為3．6 GHz，內存2048 MB，操作系統(tǒng) Windows XP，硬盤為SATA2接口。圖1為原圖，圖2是像素等級分布圖，圖3最大熵多閾值分割圖，圖4最大熵單閾值分割圖，圖5最大熵雙閾值分割圖。從圖2中我們可以看出，lena的圖像灰度值主要在155左右，大約有2600個像素點，根據(jù)像素點的數(shù)量劃分不同區(qū)域后選擇最佳閾值。

圖1 圖像原圖

結果顯示:圖3最大熵多閾值分割圖效果好，考慮了圖像的空間信息，從而對噪聲的抑制能力較強，得到較高精度的圖像，目標lena與背景分開，使分割后區(qū)域數(shù)目減少，邊緣較光滑，通過分割且有效地保留了重要的信息。圖4單純采用最大熵單閾值算法很難實現(xiàn)圖像分割恢復，雖然結合了灰度值和空間信息，但是所得的閾值仍然是整體閾值，分割時雖然充分利用了空間信息，分割結果仍然不夠好，沒有檢出lena頭發(fā)重疊情況下的所有邊緣，造成區(qū)域的不正確合并，又產(chǎn)生許多區(qū)域空洞和碎片，在實際應用中單熵閩值分割的精度是比較差的。圖5算法得到的結果中有一些背景噪聲，存在過分割現(xiàn)象，lena的灰度變化沒有在分割結果中反映出來，僅針對閾值小范圍內的像素進行處理，避免不了無關像素對分割結果的影響。

圖5 量子最大熵雙閾值分割圖

采用100次蒙特卡羅方法對實驗進行對比，結果如表1所示。

表1 處理方法比較

最大熵多閾值分割方法的峰值信噪比較大，根據(jù)峰值信噪比的含義越大就代表失真越少，因此最大熵多閾值分割方法能夠較好的保持圖像信息，不會因分割而破壞圖像信息。

4 總結

通過圖像進行仿真可以得出:基于最大熵多閾值分割熵理論主要以圖像中目標區(qū)域所攜帶的信息量為分割準則，最大限度地保留圖像中分割目標的信息。從總體分割效果上看，它的處理能力較好，對有用信息的保留總量大，細節(jié)處理較好，最佳閾值的設定不僅可以減少算法的運算量，同時也提高圖像恢復的精度。

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