一種陀螺擺式球形驅動機構動力學模型分析

劉 忠，張湖川，武 穎,2，王雅君，朱亞蓉，劉 焱

（1.首都航天機械公司，北京 100076；2.太原理工大學機械工程學院，山西 太原 030024）

0 引 言

如圖1所示的球形驅動裝置由轉動軸相互正交的兩個萬向節和一個連桿-轉子機構組成。與球體內部相固連的萬向節稱為外環，只能繞固連軸轉動；另一個萬向節固連在外環上，因此，稱之為內環，可以繞內環固連軸轉動。內環和外環的轉動軸相互垂直。無質連桿固連在平面內，與內環的轉動軸相垂直。均質對稱的轉子偏離球心而固連在連桿上。在外環和內環的轉動軸上分別施加轉動力矩，轉子在內環和外環的作用下，在半徑為l的球面上運動（球面的球心與球體的球心重合），改變了整個系統的質心位置，即勢力場的分布，球體則在驅動裝置的反作用下滾動。當外環的轉動軸平行于水平面時，驅動裝置的構型類似一個陀螺擺裝置，因此稱圖1所示機構為陀螺擺式球形驅動機構。陀螺擺式球形機構在球形機器人的設計中得到了廣泛的應用。本文利用拉格朗日法建立了系統的動力學模型，并計算其平衡點。

1 動力學建模

設如圖1所示，陀螺擺式球形機器人的球心速度為u，與正北方向成α角，旋進角速度為α?。為了推導在加速度u?的作用下，驅動裝置的運動微分方程，建立如圖2所示的坐標系：球體的基礎坐標系為∑sphere{X,Y,Z}（即為慣性坐標系的平移坐標系），外環的坐標系為 ∑outer?gimbal{ξ′,η′,ζ′}，內環的坐標系 為 ∑inner?gimbal{ξ,η,ζ} 以 及 轉 子 的 坐 標 系 為∑rotor{x,y,z}，而且，所有的坐標原點均位于點O處，軸ξ與軸ξ′重合同向，軸η′與軸Z重合反向，軸ζ與軸z重合同向。這樣，外環可以繞坐標系∑sphere的Z軸自由轉動，轉角記為 ；內環可以繞坐標系 ∑outer?gimbal的軸ξ自由轉動，轉角記為θ，軸ξ始終位于XY平面內；轉子的對稱軸z垂直于軸ξ，可以繞坐標系∑inner?gimbal的軸ζ（軸z）自由轉動，轉角記為ψ。

圖1 陀螺擺式球形驅動機構示意圖

圖2 陀螺擺式球形驅動機構坐標系

在球體的基礎坐標系內，轉子的姿態可以由3個歐拉角?，θ和ψ確定。如果忽略外環和內環的轉動慣量，那么轉子的運動方程可以表示為[1]：

其中，T為驅動機構的動能，列向量矩陣{ }N0的分量分別為輸入力矩在轉動軸ξ，η和ζ上的投影。列矩陣{ }

?T/?Ω 的 分 量 分 別 為 ?T/?Ωξ、?T/?Ωη和?T/?Ωζ，其中 Ωξ，Ωη和 Ωζ分別轉子的角速度在轉動軸ξ，η和ζ上的投影。列矩陣{ }?T/?υ的分量分別為 ?T/?υξ，?T/?υη和 ?T/?υζ，其中 υξ，υη和 υζ分別轉子的速度分量。

距陣式（3）為一斜對稱矩陣，其中ωξ，ωη和ωζ分別為內環的角速度在轉動軸ξ，η和ζ上的投影。設基礎坐標系在慣性坐標系上的角速度投影分別為ωX=0，ωY=α?和ωZ=0，且外環對于球體的轉動角速度為??。那么，外環的角速度在轉動軸ξ′，η′和ζ′上的投影分別為：

內環對于外環的轉動角速度為θ?，那么，內環的角速度在轉動軸ξ，η和ζ上的投影分別為:

轉子繞對稱軸z的轉動角速度為ψ?=0，那么，轉子的角速度在轉動軸ξ、η和ζ上的投影分別為:

設點O的速度（球體的速度）為:

若設v為轉子質心的速度，列向量{r}為轉子質心C到點O的矢徑，即{r}=[0 0 -l]T，其中l為轉子質心到點O的長度。那么u和v之間的聯系可以表示為矩陣形式：

其中，[ω ]如式（3）所示，則有：

設轉子的質量為m，對于慣性主軸ξ，η和ζ的轉動慣量分別為A，A和C，并且忽略外環和內環的轉動慣量，可以得到轉子的動能T為[2]：

將上式代入式（1），得到力平衡方程：

其中，F1和F2分別為球體對轉子的反作用力在轉動軸ξ和η上的投影。將式（10）代入式（2）得到力矩平衡方程：

將式（11）代入式（12）得到關于轉子的動量方程為

式中：A0=A+ml2，Nξ=-mgl sinθNη=-mgl sin?.

2 平衡點計算

對于欠驅動陀螺擺球形機器人有Nζ=0，且轉子關于轉動軸z對稱，那么，由式（13）中的第3式得：

對于小量?和θ有：

因此，忽略高階項，式（13）中的第1式和第2式可以分別簡化為：

如果設：

那么式（17）可以簡化為：

由方程組（18）可得：

當u?不變，即球體穩定運行時，微分方程（19）的解為：

將式（20）代入方程組（18）的第2式，并忽略高階項，可以得到關于θ?的微分方程的解為：

由微分方程組（18）解的形式可以看出轉子的對稱軸z（軸ζ）在平衡位置是自由振動的，平衡位置為：

3 結 論

建立了一種球形驅動裝置的動力學模型，并推倒其平衡點。該球形驅動裝置由轉動軸相互正交的兩個萬向節和一個連桿-轉子機構組成，通常被稱為陀螺擺式球形驅動機構。陀螺擺式球形機構在球形機器人的設計中得到了廣泛的應用。

[1] 孫漢旭，王亮清，賈慶軒，等.BYQ-3球形機器人的動力學模型[J].機械工程學報，2009,45（10）：8-14.

[2] ZHAN Qiang,JIA Chuan,MA Xiaohui.Mechanism design and motion analysis of a spherical mobile robot[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005,18(4):542-545.