可化為一階線性微分方程的例子

鐘小芳，蔣中

（1安徽中醫(yī)學院數理教研室，安徽合肥230031；2.安徽建筑工業(yè)學院，安徽合肥230601）

可化為一階線性微分方程的例子

鐘小芳1，蔣中2

（1安徽中醫(yī)學院數理教研室，安徽合肥230031；2.安徽建筑工業(yè)學院，安徽合肥230601）

通過可化為一階線性微分方程例題介紹，幫助學生靈活掌握一階線性微分方程不變的實質，以不變應萬變.

一階；線性；微分方程；通解

例1 解方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0

分析 此題看上去難以和（1）類同，但變形后，注意（1）中y形式的可變，就不難找出（1）的影子.式中x,y是同號，當x>0時，原方程可變形為，從而，這是以為因變量，以x為自變量的一階線性微分方程,可用（2）來求解，此時（2）中y變?yōu)閇∫Q(x)e∫P(x)dxdx+c],于是，原方程的通解為

例4 解方程y'+siny+xcosy+x=0

分析 這是一個非線性方程，但經過三角變形，就可轉化為一階線性微分方程.

例5 解方程(y4-3 x2)dy+xydx=0[3]

以上幾個例子都是以“一階線性”的不變性，去應對變量y、x的多變性.意識到應用（1）式解題時，要認清（1）式中不變的實質，以不變應萬變.我們知道伯努利方程+P(x)y=Q(x)y（nn≠0,1）（6）不是一階線性方程，但是通過變量的代換，便可以把它轉化為（1）的類同形式，即(1-n)p(x)y1-n=(1-n)Q(x)（7）[4].有了（6）式，使（1）的應用更加豐富；有了（6）式，找到了某些一階微分方程通向（1）式的橋梁.

分析 此方程直接積分法求解行不通.但可以驗證y1=x是（8）的一個解，對（8）作變量替換y=x+u，這樣就可以將（8）化為（6）式來求解.

由（2）知，u-1=1+cx，故原方程的通解為y=x+

一般情況下，黎卡提方程[5]（9）不可能用積分法求解，但如果知道（9）的一個特解，就可以變量替換將（9）變?yōu)椋?），再轉化為一階線性微分方程，求解就迎刃而解了.

〔1〕同濟大學數學系.高等數學[M]．北京：高等教育出版社，2002.276-278.

〔2〕王益姝，胡福源，王仁德．高等數學試題解答[M]．湖北人民出版社，1981.382.

〔3〕王壽生，趙選民，符麗珍．考研數學真題詳解及考點分析[M]．西北工業(yè)大學出版社，2002.99.

〔4〕周永治，嚴云良．醫(yī)藥高等數學[M]．3版．北京：科學出版社，2009.194-198.

〔5〕艾利斯哥爾茲．微分方程[M]．北京：人民教育出版社，1978.17.

O175.1

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1673-260X（2013）03-0009-02

本文受到校級精品課程（zlgc201214）資助