分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分的奇偶性及周期性

武女則

(天津外國語大學(xué) 基礎(chǔ)課教學(xué)部， 天津 300204)

1分數(shù)階微積分的歷史

從19世紀(jì)初開始, Liouville,Riemann等著名數(shù)學(xué)家開始系統(tǒng)地研究分數(shù)階微積分理論.到目前為止,分數(shù)階微積分的理論被廣泛地應(yīng)用到光學(xué)、信號處理和系統(tǒng)識別、圖像處理、機器人、醫(yī)學(xué)等自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域[2-5]．

2分數(shù)階導(dǎo)數(shù)、積分的定義及運算法則

本文中用到的函數(shù)：

(1)[x]表示x的取整,即不大于x的最大整數(shù).

Γ(z+1)=zΓ(z);

定義1[6]設(shè)α∈R+如果f(x)∈L1(R+)那么

稱為f(x)的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分.

定義2[6]設(shè)α∈R+,且滿足n-1≤α

稱為f(x)的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù).

注:

(1)當(dāng)n-1≤α

(1)

(2)Dnf(x)=f(n)(x),n∈N.

(2)

(3)當(dāng)n-1≤α

Dn-1Dα-n+1f(x)

(3)

(4)當(dāng)0<α<1時,

(4)

由(3)可知，研究α∈R+時,Dαf(x)的性質(zhì),只需研究0<α<1時的情況.

性質(zhì)1[7]設(shè)λ,μ∈R,0<α<1,如果f(x)∈C1(R),則有

(1)Dα[Iαf(x)]=f(x);

(3)Dα[λf(x)+μg(x)]=λDαf(x)+μDαg(x).

性質(zhì)2[8]設(shè)α∈R+,λ∈C,且滿足0<α<1,則有Dαeλx=λαeλx.

性質(zhì)3[8]設(shè)α∈R+,且滿足0<α<1,sinx和cosx可表示為

其中：a2k+1=0,a2k=b2k+1=(-1)k,b2k=0(k∈Z)，則

性質(zhì)4設(shè)α∈R+且滿足0<α<1,如果f(x)∈C1(R),則有

(1)Dα[f(λx)]=λαDαf(u)|u=λx;

性質(zhì)5設(shè)α∈R+,且滿足0<α<1,則有

證明(1)由性質(zhì)2及性質(zhì)3易得結(jié)論.

3分數(shù)階導(dǎo)數(shù)、積分奇偶性及周期性

定理1設(shè)α∈R+,且滿足0<α<1,如果f(x)∈C1(R)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))，那么Dαf(x),Iαf(x)不再具有奇偶性.

證明由性質(zhì)3，容易得到

于是如果f(x)是偶函數(shù)，則

Dαf(x)=Dαf(-x)=(-1)αDαf(u)|u=-x=eiπαDαf(u)|u=-x,

故而，Dαf(x)，Idf(x)都是非奇非偶函數(shù).

如果f(x)是奇函數(shù)，則

Dα[f(x)]=-Dα[f(-x)]=(-1)α+1Dα[f(u)]|u=-x=eiπ(α+1)Dα[f(u)]|u=-x,

Iα[f(x)]=-Iα[f(-x)]=(-1)αIα[f(u)]|u=-x=eiπαIα[f(u)]|u=-x,

則Dαf(x)是非奇非偶函數(shù).

定理2設(shè)α∈R+且滿足0<α<1,如果f(x)∈C1(R)是以2l為周期的周期函數(shù),則Dαf(x)也是以2l為周期的周期函數(shù).

證明因為f(x)是以2l為周期的周期函數(shù),則f(x)可表示為

故而,Dαf(x)也是以2l為周期的周期函數(shù).

[1]Lacroix S F .Traité du calcul différentiel et du calcul integral (Vol.3)[M]. 2nd ed. Paris: Courcier, 1819.

[2]方桂娟,孫順紅,蒲繼雄.分數(shù)階雙渦旋光束的實驗研究[J]. 物理學(xué)報, 2012,61(6): 064210-1-064210-7.

[3] 李巖,陳陽泉,安孝晟.分數(shù)階迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性分析[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2012,29(8):1 031-1 037.

[4] 陳喆，彭鈺林，王舒文，等.從離散到連續(xù)——分數(shù)階信號處理的理論、方法與應(yīng)用[J].電子學(xué)報，2012,40(11):2 282-2 289.

[5] 黃果,許黎,蒲亦非.基于時間-空間分數(shù)階偏微分方程的圖像去噪模型[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2012, 34(8):1 741-1 752.

[6] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M].New York: Academic Press, 1999.

[7] Oldham K B, Spanier J. The Fractional Calculus[M]. New York: Academic Press, 1974.

[8] Trencevski K ,Tomovski Z. On fractional derivatives of some functions of exponential type[J]. Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 2002, 13(1): 77-84.