基于計算機代數系統的高斯公式分析

趙 炅， 桑 渤， 黃忠紅

(中國人民解放軍 72946部隊， 山東 淄博 255000)

在涉及地球橢球面和平面間的投影問題中，高斯-克呂格投影得到了廣泛的應用，它是德國數學家、物理學家、大地測量學家高斯于19世紀20年代提出，后經大地測量學家克呂格于1912年完善產生的[1].為了讓公式付諸實際運用，世界上許多測量學家都進行了一系列的研究，德國學者巴烏蓋爾，保加利亞測量學者赫里斯托夫……，他們在理論和實踐上都豐富和發展了高斯—克呂格投影，并提出了實用的公式[2].

但是現代測繪學科對公式精度的要求使得已有的公式已不能滿足更高的計算需求，而且在作業過程中，特別是涉及數學基礎層的坐標轉換工作中，由于公式精度的問題，使得前期的數學精度相對偏低，影響了后期的整體制圖精度.因此，如何提供更高精度的公式是一個重要的問題.利用赫里斯托夫法、待定系數法等方法進行公式推導，在解算時涉及復雜的數學運算，在沒有電子計算機的情況下處理這些問題是非常繁瑣的，而且基于手工推導的公式形式比較復雜，記憶也不方便.隨著計算機技術的發展，借助日趨成熟的數學處理軟件，我們可以快捷地對這些領域中的復雜問題進行處理，使推導的結果更準確[3].由于諸如VC等編程方法難以有效地進行公式推演，因此本文借助計算機代數系統Mathematica對高斯公式進行進一步的推導，并進行精度分析，以期得到更高精度的正反算公式[4].

1 高斯投影條件

高斯-克呂格投影又稱為等角橫切橢圓柱投影，是地球橢球面到平面上正形投影的一種[5].在高斯投影中，要求投影時滿足3個條件：

(1)正形條件.

(2)中央子午線投影為一直線.

(3)中央子午線投影后長度不變.

以上3個條件中，第1個條件是指主方向的長度比a=b，或者mL=mB，即滿足柯西黎曼微分方程.

對正算，有

(1)

對反算，有

(2)

2 高斯投影正算

正算就是橢球面元素到平面元素的投影計算，即由橢球面大地坐標(L，B)計算高斯平面直角坐標(x，y)的過程，已知橢球面到平面投影方程的一般形式是

(3)

根據高斯投影的3個條件，確定投影函數f1和f2的具體形式，進而得到高斯正算公式.

在橢球面上，已知P點的大地坐標為(L，B)，相應的等量坐標為(l，q)，高斯投影是在沿中央子午線東西各一定精度范圍內的狹窄地帶進行的，在每一個投影區域內，對中央子午線的經差l是不大的，一般在0°～3.5°范圍內，其弧度值l/ρ為一微小量，所以可將上式中的函數展開成經差l的冪級數，即

x=m0+m1l+m2l2+m3l3+m4l4+…

(4)

y=n0+n1l+n2l2+n3l3+n4l4+…

(5)

式中：m0，m1，m2…，n1，n2…等為待定系數，它們是等量緯度q的函數.根據高斯投影的第1個條件，對上式求偏導得

(6)

根據正形投影條件，即柯西黎曼微分方程

(7)

得到

(8)

對n0，根據投影的第2個條件，中央子午線投影后為縱坐標軸，得到

l=0→y=0→n0=0→m1=

n2=m3=n4=…=0

(9)

(4)式和(5)式就化簡為

x=m0+m2l2+m4l4+…

(10)

y=n1l+n3l3+…

(11)

對m0，根據第3個投影條件，即中央子午線投影前后長度不變，可知中央子午線上的點投影后的縱坐標x等于投影前從赤道到該點的子午線弧長X，即l=0時，有

x=m0=X

(12)

根據(8)式，我們利用計算機代數系統Mathematica推導，這里我們將系數限定到第8項，即系數項m8，得到

3 高斯投影反算公式

高斯投影反算，就是由高斯平面坐標求大地坐標的公式，即由高斯平面直角坐標(x，y)計算橢球面大地坐標(L，B)的過程，這時，投影方程是

(14)

根據高斯投影的第2個條件，得到級數式子為

(15)

對(15)式求偏導得

(16)

根據正形投影條件，得

(17)

由于同次冪的系數相等，因而有

(18)

(19)

這里，我們不再將等量緯度轉化為大地緯度，因為在進行精度分析時，他們的精度都是一致的.

4 精度分析

4.1 理論分析

(1)正算的精度

(2)反算的精度

4.2 算例分析

為驗證公式和理論分析的正確性，分別用一般公式和本文精密公式，計算同組數據，通過結果比較驗證本文公式的正確性及精度.P點地理坐標為L=118°32′47.268347″，B=35°49′22.836725″.

說明：L0=117°，西安橢球長軸6378140.028m，扁率1/298.257，y加常數為500km.

我們分別用一般公式和精密公式對該點進行正解和反解計算，正解的計算結果見表1.由表1中高斯坐標反算得到的經緯度見表2.

由表2中試驗結果可知，采用精密公式試驗經緯度精度優于10-6″，明顯高于一般試驗結果.

5 結束語

本文利用計算機代數系統Mathematica對高斯正反算進行進一步的推導，導出了更高精度的公式，其中，正算公式的精度的為10-5m，反算精度為10-6″.此公式在實際工作中能在一定程度上提高坐標轉換的精度，為制圖前期的數學基礎層的準備工作尤其是坐標轉換帶來一定的便利.另外此工具有效地解決了諸如VC等程序設計中難以進行公式推導以及公式演化的問題.因此，利用數學軟件處理作業工作中此類問題的方法值得推廣.

[1]呂志平，張建軍.大地測量學基礎[M]. 北京:解放軍出版社， 2005.

[2]熊介.橢球大地測量學[M]. 北京:解放軍出版社，1988.

[3]劉大海.高斯投影復變換與Maple計算機代數系統的實現方法[J]. 測繪科學, 2011, 36(3):136-138.

[4]邊少峰，許江寧.計算機代數系統與大地測量數學分析[M]. 北京:國防工業出版社，2004.

[5]何有生.高斯投影誤差的研究[J]. 硅谷, 2012(16):73-74.