關于泛函分析教學的幾點建議

楊靜宇，金美蘭

（1.赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000；2.養正高級中學，吉林 長春 130052）

泛函分析起源于變分法、偏微分方程邊值問題等，概況了經典的數學分析等函數論課程中的重要概念、問題與成果，綜合了分析、代數和幾何等學科而形成，因此它與拓撲學及抽象代數共同構成現代數學的“三基”.基于泛函分析在現代數學中的重要性，它已經成為高等院校數學與應用數學專業的一門重要專業基礎課，這門課程主要講述無限維抽象空間和這類空間上的映射的性質.泛函分析這門課程內容抽象、理論深刻、論述精密，所涉及的內容、技巧和方法對數學專業與非數學專業的學生來說都很重要，應用十分廣泛.因此這門課程已成為數學工作者從事教學與科研必不可少的知識基礎.然而，一方面由于泛函分析本身難度較大，另一方面隨著就業形勢的變化多數高校轉變辦學理念以適應社會需求，使得這門專業課程在諸多數學專業課程中被邊緣化，成為數學專業高年級的專業限選課，課時也隨之壓縮至54.在嚴峻的就業新形勢下，如何改革泛函分析的教學，使之在專業教學及就業中發揮其積極重要作用，是一個重要課題[1-4].下面結合本院數學專業教學實際，提出泛函分析教學改革的幾點建議.

1 明確專業培養目標，優化教學內容

在招生與就業以及學校由師范院校轉型到綜合型大學的新形勢下，我院數學與應用數學、概率與統計兩個專業的學生培養目標大體分位三類：教育類，培養能夠勝任中小學數學教學的教學人員及其他教育工作者；應用類，培養勝任統計、精算工作的應用型人才；考研類，培養繼續攻讀更高層次的學位，從是科研工作的科研型人才.學生是教學的主體，我們應該根據不同類型學生的需要對教學內容進行優化.為此，在實際教學過程中將泛函分析分為三個模塊：基礎模塊；應用模塊；提高模塊.

基礎模塊，泛函分析中最基本的內容，主要講述三個空間（度量空間、賦范線性空間、內積空間），四個定理（泛函延拓定理、開映射定理、閉圖像定理、逆算子定理）及賦范線性空間上有界線性算子（泛函）的相關性質.這部分內容對數學專業的所有學生來說都是必需的.通過這些內容的學習使學生掌握泛函分析的重要思想，進而滿足后續課程對泛函分析知識的需求.

應用模塊，由于這部分與實際問題聯系密切，其內容可由任課教師與相關專業教師咨詢而定.這部分適合應用類及考研類.通過這部分內容的學習使學生具有初步應用泛函分析知識分析問題解決問題的能力.

提高模塊，針對考研類同學設定.該部分內容應該更深入，可以適當的選取經典外文書籍中的內容進行講解，甚至可以考慮雙語教學，以此為學生進一步深造打下堅實基礎.

2 改革教學方法

泛函分析這門課程內容抽象，理論性強，欲達到良好的教學效果必須采取恰當的教學方法，照本宣科只會影響泛函分析的教學效果和質量.結合自身實際，我認為應做的一下幾方面.

2.1 注重整體的把握

在講授泛函分析課程時，應該指導學生把握泛函分析的全局，對泛函分析課程有整體的把握，讓學生知道泛函分析這門課程主要要干什么.有如大海里航行，要了解基本航行.

2.2 注重與熟悉知識的聯系與區別

泛函分析雖然主要介紹抽象的無窮維空間及其上的映射性質，但它與古典分析有著極為深刻的聯系，所以在講授泛函分析時可以嘗試著與有限維空間的數學理論對照著講，正所謂“無窮來自有窮”.很多泛函分析中的定義、理論都是有窮維空間中的定義、理論在無窮維的推廣.例如泛函分析中的抽象向量的范數就是我們說的平面（空間）中向量長度概念的推廣.眾所周知向量長度滿足下面三個基本性質：（1）對每一個向量x，都有一個實數||x||與之對應，||x||≥0并且||x||=0當且僅當x=0,||x||成為向量x的長度.（2）對任意實數α及任意的向量x都有||αx||=|α|||x||.（3）對任意的向量x,y都有||x+y||≤||x||+||y||.我們把這三條基本性質抽出來，把定義在無窮維抽象空間上滿足上述三個條件的實值函數||||成為是范數函數，而||x||成為x的范數.這樣定義的范數擴展了向量長度的定義，普通向量的長度只是它的一種特殊形式，有很多表面看起來不是長度的東西可以理解為長度，比如一定情況下，勢能可以理解為位移函數的長度.類似的有限維空間上的函數推廣到無限維空間就是泛函分析中的泛函與算子，平面幾何中的平行四邊形公式||x+y||2+||x-y||2=2(||x||2+||y||2)是泛函分析中判別賦范線性空間成為內積空間的充要條件.但這里要注意不是所有有限維空間的結果都可以如上的平行推到泛函分析中.例如在數學分析中有“有界無窮序列一定有收斂的子列”，但在無窮維空間有界集不具有這樣的性質，這時在無窮維空間引入了“列緊集：集合中的任何點列都有收斂的子列”且有“賦范線性空間X中的有界集是列緊集的充要條件是是有限維空間”.通過這樣的講解方式，不但可以消除學生對抽象的泛函分析的畏懼感，同時可以加深學生對泛函分析中的概念、結論的理解與掌握.

2.3 實時的引入反例

2.4 精選作業題

要結合課堂教學的內容，挑選合適的作業題，讓不同類型的學生完成，旨在鞏固所學的知識.

3 改進教學方式及教學手段

傳統的教學方式都是老師講，學生記.這種傳統的教學方式完全忽視了學生的學習主動性，不利于學生自學能力的培養，同時也不利于學生發展的需要.我們在教學的過程中應該讓學生積極地參與其中，而不僅僅是被動的接受.因此我們可以結合教學內容，設定一些恰當的問題，引導學生對將要學習的內容進行預習，也可以考慮將一些簡單的內容布置給學生，讓其準備在下次課給同學講解.通過這些教學方式，一方面可以培養學生的自學能力，在預習或備課的過程中發現不懂得問題，帶進課堂及時解決，提高學習效率.另一方面可以使學生參與到教學中來，成為積極地參與者，提高學生的學習積極性.

泛函分析這門課程我們通常采取板書這樣的教學手段.通過老師書寫板書與講解可以集中學生的注意力，帶動學生思考，加深學生對知識的理解與掌握，同時可以培養學生嚴謹的治學態度.這種教學手段是講授數學專業基礎理論課不可替代的.但目前一方面學時壓縮，另一方面考慮到對抽象的概念、理論直觀形象化，完全的板書授課可能不能很好的達到預期教學效果，這時我們要借助多媒體這種新興的教學手段.一些定義、定理的內容以及一些直觀的模型我們可以制作成課件在課堂上演示，這樣省去了書寫的時間，但定理的證明過程還是要采取板書的形式帶領學生逐步推導.完全的多媒體教學在數學理論課的教學中是行不通的.板書與多媒體這對傳統與現代教學手段的恰當結合，有利于達到良好的教學效果.

總之在招生就業的新形勢下，《泛函分析》這門課程的教學要順應形勢，不斷地優化教學內容，改革教學方法，提高教學質量，為培養“應用型、創新型、復合型”人才打下堅實的理論基礎.

〔1〕榮嶸.《實變函數與泛函分析》課程改革初探[J].科技風.

〔2〕藍師義.對泛函分析教學改革的思考與建議[J].廣西民族大學學報（自然科學版），2009（1）：94-96.

〔3〕陳白隸，溫淑萍，向雪萍.泛函分析教學的幾點建議[J].新疆師范大學學報（自然科學版），2006（4）：92-98.

〔4〕程其襄，等.實變函數與泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔5〕胡適耕，等.泛函分析[M].北京：高等教育出版社—施普林格出版社，2001.

〔6〕J.B.Conway,A Course in Functional Analysis(Second Edition),Springer-Verlag,2003.