學習“歐氏證法”的意外收獲

蘇科版教材第88頁“閱讀”提及歐幾里得編纂的《原本》中證明勾股定理的一種方法，請看：

如圖1，四邊形ABFE、AJKC、BCIH分別是以Rt△ABC的三邊為邊的正方形.

這個證法的難點是理解“正方形BCIH的面積=2△ABH的面積”及“長方形BFGD的面積=2△FBC的面積”.

記得自己在只看輔助線想找到解題思路時，曾又添出如下的輔助線（如圖2，連接KI，延長DC交KI于L），但無功而返，還是看教材上的思路提示才弄懂了.

但是，上述新添出來的輔助線雖然沒有幫助我理解勾股定理的證明，卻發現了一個有意思的結論：點L恰為KI的中點！

請看我的思考：在圖3中（只考慮了上述圖形的上半部），分別作IN⊥CL，KM⊥CL，垂足分別為N，M.

模仿在圖1中先考慮“左半圖形”的思考方式，可以先證明△CBD≌△ICN，從而得到IN=CD；同樣，在“右半圖形”中有△KMC≌△CDA，從而得到KM=CD. 于是KM=IN，從而可證△KML≌△INL，于是點L恰為KI的中點.

有意思的是，這個結論可以一般化，從上述證明思路來看，即只要是在△ABC（可以是一般三角形）的兩邊CB，CA向外作正方形，則AB邊上的高CD一定平分線段KI.

數學解題真是有趣，在準備進攻一個目標時，卻能順帶著發現很多其他的結論.

教師點評：小作者在研習“歐幾里得證法”時，卻在“思維回路”處發現一個重要的基本圖形及性質，事實上，這正是陜西師范大學羅增儒教授在《數學解題學引論（第二版）》一書中關于面積理論的一條深刻定理：面積相等的三角形必是剖分相等的. 即若兩個三角形可以分成兩兩對應全等的三角形，則稱這兩個三角形為剖分相等的三角形. 而且這個定理的證明方法也不下10種！（留給有興趣的同學繼續鉆研）

最后不妨再留一道與之相關的基礎問題供同學們鞏固理解：

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論.

（指導教師：江海人）