“一元二次方程”典型易錯題分析

1. 方程（m+2）xm+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）.

A. m=±2 B. m=2

C. m=-2 D. m≠±2

【錯解】由m=2，解得：m=±2. 選A.

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義，必須滿足兩個條件：

（1） 未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2） 二次項系數(shù)不為0. 據(jù)此即可求解.

【正解】選B.

【點評】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)，且a≠0），特別要注意a≠0的條件.

【跟進訓(xùn)練】關(guān)于x的一元二次方程（a-1）·x2+ax+a2-1=0的一個根是0，則a值為（ ）.

A. 1 B. 0 C. -1D. ±1

2. 關(guān)于x的方程（a-3）x2-3x-1=0沒有實數(shù)根，求a的取值范圍.

【錯解】關(guān)于x的方程（a-3）x2-3x-1=0沒有實數(shù)根，∴9+4a-12<0， ∴a<■.

【分析】由于二次項系數(shù)為a-3，所以應(yīng)分兩種情況：

（1） a-3≠0；（2） a-3=0.

【正解】（1） 當(dāng)a-3=0時，方程為-3x-1=0，此時一定有解，不符合題意；

（2） 當(dāng)a-3≠0時，方程為一元二次方程，∴9+4a-12<0， ∴a<■.

綜上可得， a的取值范圍是a<■.

【點評】只有當(dāng)方程為一元二次方程時，才能用方程根的判別式來解決問題.

【跟進訓(xùn)練】找一個你喜歡的正整數(shù)m的值______，使得已知關(guān)于x的一元二次方程■x2-（m-3）x+m2=0有實數(shù)根.

3. 在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手6次，設(shè)有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是（ ）.

A. x（x-1）=6 B. ■=6

C. x（x+1）=6 D. ■=6

【錯解】選A.

【分析】由實際問題抽象出一元二次方程，如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手（x-1）次，x人共需握手x（x-1）次；而每兩個人都握了一次手，將重復(fù)計算的部分除去，即一共握手：■次，由此可列出方程.

【正解】選B.

【點評】理清題意，找對等量關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵；本題中“每兩人都握了一次手”的條件，不能重復(fù)計算，類似于球類比賽的單循環(huán)賽制. 若題目改為“每兩位同學(xué)之間互換賀卡”呢？結(jié)果又是怎樣？請同學(xué)們嘗試解答.

4. 等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的長是關(guān)于x的方程x2-10x+m=0的兩根，求實數(shù)m的值.

【錯解】△ABC是等腰三角形，所以關(guān)于x的方程x2-10x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，所以m=25.

【分析】題中沒有交代等腰三角形的腰和底，所以邊BC可以是底邊，也可以是一腰.

【正解】（1） 邊BC是底邊，則AB=AC，所以關(guān)于x的方程x2-10x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，所以m=25；

（2） 邊BC是一腰，則8是方程x2-10x+m=0的一根，所以m=16.

【點評】應(yīng)認清幾何圖形中隱藏的各種數(shù)量關(guān)系.

5. 若不等于0的實數(shù)x，y滿足x2-3xy-4y2=0，則■=_______.

【錯解】■=■=■，將條件中xy整體代換，或?qū)2整體代換，都無法完成解答.

【分析】由題意y≠0，將等式x2-3xy-4y2=0兩邊同除以y2，可以轉(zhuǎn)化成■2-3■-4=0，得到以■為未知數(shù)的一元二次方程.

【正解】y≠0，將等式x2-3xy-4y2=0兩邊同除以y2，得■2-3■-4=0，解得■=4或■=-1.

當(dāng)■=4時，x=4y，代入■=■=■；

當(dāng)■=-1時，同理得■=-■.

【點評】上述轉(zhuǎn)化為一元二次方程的方法常見而重要.