早期代數(shù)思維的培養(yǎng)：小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)的應(yīng)有之義

2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿》）中將“數(shù)與代數(shù)”作為四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域之一，這是我國(guó)歷史上首次將“數(shù)（算術(shù)）”與“代數(shù)”的學(xué)習(xí)作為一個(gè)教學(xué)內(nèi)容。僅就文本而言，這體現(xiàn)出加強(qiáng)算術(shù)與代數(shù)之間的聯(lián)系的理念，即，這種處理旨在強(qiáng)調(diào)“從算術(shù)向代數(shù)的過渡”，其實(shí)這也是義務(wù)教育整體性與一貫性的必然反映。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）中也延續(xù)了這種理念與要求。然而，正如有的研究者所指出的那樣：這種整體性與一貫性可能只是體現(xiàn)在這些制度文本的形式和表面，而非豐富和內(nèi)在的教學(xué)現(xiàn)實(shí)。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，算術(shù)與代數(shù)的教學(xué)普遍存在著獨(dú)立甚至割裂現(xiàn)象，而這種現(xiàn)象勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)入初中之后不能很好地理解代數(shù)的本質(zhì)。本文將探討在小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生早期代數(shù)思維的可能性與現(xiàn)實(shí)性。

一、從計(jì)算教學(xué)到早期代數(shù)思維的培養(yǎng)

我國(guó)傳統(tǒng)小學(xué)計(jì)算教學(xué)非常強(qiáng)調(diào)計(jì)算的準(zhǔn)確性與迅速性。那么，除了快速準(zhǔn)確地得到答案之外，在計(jì)算教學(xué)中還應(yīng)強(qiáng)調(diào)什么樣的教育價(jià)值呢？代數(shù)在當(dāng)今世界扮演的角色跟閱讀與寫作在以前工業(yè)社會(huì)中的角色一樣。也就是說，代數(shù)已被看作公民必備素質(zhì)的一部分。然而，在現(xiàn)實(shí)中往往存在一種現(xiàn)象，不少學(xué)生在小學(xué)階段數(shù)學(xué)成績(jī)很突出，但進(jìn)入中學(xué)之后，卻逐漸出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難的情況。這種狀況通常發(fā)生在需要學(xué)習(xí)越來越多的代數(shù)的時(shí)候。學(xué)生在中學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)巨大困難的最主要原因是其在小學(xué)階段從未有過類似的學(xué)習(xí)與思考經(jīng)驗(yàn)：對(duì)他們而言，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷就是大量的計(jì)算練習(xí)。因此，代數(shù)對(duì)他們而言更像是一門全新的學(xué)科，而小學(xué)所學(xué)習(xí)的計(jì)算程序與規(guī)則卻難以適用于越來越復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式及其關(guān)系。學(xué)生在進(jìn)入中學(xué)學(xué)習(xí)代數(shù)時(shí)所遇到的這種陌生感與困難是無(wú)可避免的嗎？小學(xué)階段是否可以為他們做些適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)備，以使其消除這些陌生感與困難？

上世紀(jì)末直到本世紀(jì)，越來越多的研究表明傳統(tǒng)教學(xué)中算術(shù)與代數(shù)的割裂帶有強(qiáng)烈的人為性。這種算術(shù)學(xué)習(xí)與代數(shù)學(xué)習(xí)的分離使得學(xué)生在以后年級(jí)中學(xué)習(xí)代數(shù)更加困難。美國(guó)在本世紀(jì)初提出了“人人學(xué)代數(shù)”的口號(hào)，并明確規(guī)定在小學(xué)階段就需要為學(xué)生后續(xù)的代數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。值得注意的是，這里提出的并不是要求在小學(xué)階段就學(xué)習(xí)真正形式上的代數(shù)符號(hào)或表達(dá)式，而是要為代數(shù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，或者說需要發(fā)展學(xué)生更好的代數(shù)思維。代數(shù)思維的核心是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)描述的，其目的是發(fā)現(xiàn)（一般化的）關(guān)系、明確結(jié)構(gòu)，并把它們聯(lián)接起來。最重要的是對(duì)以下關(guān)鍵思想的理解：算式的結(jié)構(gòu)；等式；根據(jù)具體的運(yùn)算運(yùn)用等式進(jìn)行抵消；數(shù)的變換以及一般化。

本世紀(jì)初，新西蘭曾組織過一個(gè)主題為“學(xué)生數(shù)字運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)”的研究，運(yùn)用“‘47+25’可以通過47增加3、25減去3得到‘50+22’”等算式例子，認(rèn)為“學(xué)生在運(yùn)用這種策略解決不同的算式問題時(shí)，就表現(xiàn)出了對(duì)其中數(shù)字間關(guān)系的理解，學(xué)生顯示出在不依靠字母或符號(hào)的情況下也可以實(shí)施一般化的策略，這為學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)”。有研究者在談到這類策略時(shí)，使用“關(guān)系性思維”這個(gè)詞語(yǔ)，認(rèn)為“將關(guān)系性思維整合進(jìn)小學(xué)課程的一個(gè)基礎(chǔ)目標(biāo)就是促使學(xué)生能在后續(xù)的學(xué)習(xí)中轉(zhuǎn)換到正式的代數(shù)學(xué)習(xí)，在算術(shù)與代數(shù)之間不存在明確的界限”。也有研究者提出需要用“準(zhǔn)變量表達(dá)式”來發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。雖然研究者使用的名詞可能有所不同，但如今對(duì)算術(shù)與代數(shù)之間不存在明確的界限的看法已經(jīng)成為共識(shí)，而需要在小學(xué)階段就為學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備也已經(jīng)成為各國(guó)數(shù)學(xué)課程的要求。在此，并非說小學(xué)生就需要學(xué)習(xí)正式的代數(shù)，使用代數(shù)符號(hào)與表達(dá)式，而是指在學(xué)習(xí)數(shù)與數(shù)量關(guān)系的時(shí)候，需要加強(qiáng)對(duì)數(shù)與式之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的理解，強(qiáng)調(diào)數(shù)與代數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。

最近十年，在全球范圍內(nèi)興起了一股研究“早期代數(shù)思維（early algebraic thinking）”或“早期代數(shù)化（early algebraization）”的熱潮，研究者認(rèn)為“早期代數(shù)思維需要超越對(duì)算術(shù)與計(jì)算熟練程度的精通，而去關(guān)注隱含的更深層的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。早期代數(shù)思維的發(fā)展需要一些特定思維方式的發(fā)展，包括分析數(shù)量之間的關(guān)系，識(shí)別結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)變化、概括、問題解決、建模、驗(yàn)證、證明以及預(yù)測(cè)。早期代數(shù)思維的學(xué)習(xí)不僅是發(fā)展理解數(shù)學(xué)關(guān)系的一種新工具，更是思維的一種新習(xí)慣”。

相應(yīng)地，在很多國(guó)家的小學(xué)數(shù)學(xué)課程中都強(qiáng)調(diào)了發(fā)展早期代數(shù)思維的重要性。比如美國(guó)的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程的原則與標(biāo)準(zhǔn)》（NCTM，2000）規(guī)定代數(shù)學(xué)習(xí)的4個(gè)目標(biāo)分別為：（1）理解模式、關(guān)系和函數(shù)；（2）使用代數(shù)符號(hào)表征并分析數(shù)學(xué)情境與結(jié)構(gòu)；（3）使用數(shù)學(xué)模型表征并理解數(shù)量關(guān)系；（4）分析不同背景下的變化。而且美國(guó)在小學(xué)階段的所有年級(jí)都有對(duì)發(fā)展代數(shù)思維的要求。而在《澳大利亞國(guó)家課程：數(shù)學(xué)》（ACARA，2012）中對(duì)“數(shù)與代數(shù)”這一部分內(nèi)容的總體說明指出：“數(shù)與代數(shù)是一起發(fā)展的，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)中兩者是互相促進(jìn)的。學(xué)生運(yùn)用數(shù)感與策略進(jìn)行數(shù)數(shù)并表征數(shù)字，他們探索數(shù)的大小與性質(zhì)，他們運(yùn)用各種策略進(jìn)行計(jì)算并理解不同運(yùn)算之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)模式并理解變量與函數(shù)的概念，建立對(duì)數(shù)系的理解來描述關(guān)系與一般化。他們認(rèn)識(shí)相等并解決方程與不等式，應(yīng)用數(shù)與代數(shù)技能進(jìn)行調(diào)查，解決問題并就各自的推理進(jìn)行交流。”我國(guó)的《課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿》指出，第2學(xué)段是中小學(xué)銜接的關(guān)鍵，在該學(xué)段目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)“增進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解……應(yīng)避免繁雜的運(yùn)算……”。而在兩個(gè)具體目標(biāo)中，則強(qiáng)調(diào)了逆運(yùn)算與理解等式性質(zhì)的重要性：其中“數(shù)的運(yùn)算”目標(biāo)5提到“在具體運(yùn)算和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)加與減、乘與除的互逆關(guān)系”；在“式與方程”目標(biāo)3中提到“理解等式的性質(zhì)，會(huì)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。而在《課標(biāo)（2011年版）》中，更是在第1學(xué)段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中就要求“理解符號(hào)<、=、>的含義，能用符號(hào)和語(yǔ)言描述萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的大小”；在“數(shù)的運(yùn)算”部分要求“結(jié)合具體情境，體會(huì)整數(shù)四則運(yùn)算的意義”。

美國(guó)、澳大利亞與我國(guó)在小學(xué)階段都強(qiáng)調(diào)數(shù)與代數(shù)這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在課程標(biāo)準(zhǔn)中雖然表述有所不同，但都強(qiáng)調(diào)學(xué)生早期代數(shù)思維的發(fā)展，即將數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)看作是早期的代數(shù)學(xué)習(xí)，而不僅僅強(qiáng)調(diào)計(jì)算。還有，都強(qiáng)調(diào)了學(xué)生對(duì)于等式、結(jié)構(gòu)、概括化等關(guān)鍵思想的發(fā)展。

二、教學(xué)實(shí)踐中的若干探索

早期代數(shù)思維并不是一個(gè)獨(dú)立的教學(xué)主題，它跟計(jì)算的學(xué)習(xí)是整合在一起的，可以使計(jì)算的學(xué)習(xí)更加容易而且豐富。比如在小學(xué)一年級(jí)“10的分解與組合”這一教學(xué)主題中，往往會(huì)利用如下的教學(xué)情境——“教室中有10位小朋友，請(qǐng)問有幾位男生幾位女生？”教師通常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生說出不同的組合，從10位男生0位女生、9位男生1位女生一直到0位男生10位女生，以此完成對(duì)10的可能的分解與組合的所有情況。事實(shí)上，如果教師能在這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)上再深入一點(diǎn)，在列出男生女生組合的所有情況后，引導(dǎo)學(xué)生觀察其變化的規(guī)律，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)在總?cè)藬?shù)為10的情況下，有“9+1=8+2=……”這么多種不同的組合。進(jìn)而，在所有組合的比較中可以發(fā)現(xiàn)，若男生數(shù)量減少了1，則女生數(shù)量必然需要增加1，以確保總?cè)藬?shù)不變。通過這樣的教學(xué)，學(xué)生能較容易理解加法算式的結(jié)構(gòu)以及其中數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。在減法算式中也不乏這樣的例子，比如在讓學(xué)生思考類似于“小明今年8歲，爸爸現(xiàn)在比小明大29歲，15年后爸爸比小明大幾歲？”這樣的問題時(shí)，除了要求學(xué)生理清其中的數(shù)量關(guān)系得到正確的答案外，更重要的是要幫助學(xué)生形成這樣的意識(shí)：減法算式的結(jié)構(gòu)與加法算式不同，當(dāng)被減數(shù)與減數(shù)同時(shí)增加（或減少）相同的數(shù)時(shí)，差是不變的。因此，15年以后，由于爸爸跟小明的年齡分別增加的歲數(shù)都是相同的，他們相差的歲數(shù)也是相同的，此題不需要計(jì)算就可以得到答案，甚至連小明今年8歲這個(gè)條件都可以不用。可以進(jìn)一步討論在任意年以后的情況，從15拓展到一般化的模式。若用△和□分別代替爸爸和小明的年齡，就是“△-□=（△+15）-（□+15）=（△+○）-（□+○）=29”，這一表達(dá)式雖然沒有包含字母，但其中已完全體現(xiàn)了代數(shù)的結(jié)構(gòu)與關(guān)系。

澳大利亞有研究者指出在計(jì)算教學(xué)中可以使用“皮特的算法”這樣的情境，皮特在計(jì)算“32-5”時(shí)，使用了“32+5-10”的方法。讓學(xué)生評(píng)價(jià)皮特的算法，找出其中包含的數(shù)學(xué)原理，并思考這一方法是否總是有用，這樣的思考是由具體的計(jì)算技巧向一般化的數(shù)學(xué)模式的升華。這一問題的巧妙之處還在于接下來的變式，讓學(xué)生利用“皮特的算法”來計(jì)算“73-6”，看學(xué)生是將其轉(zhuǎn)化成“73+4-10”還是“73+6-10”，以此來檢驗(yàn)學(xué)生將“32-5”轉(zhuǎn)化為“32+5-10”是已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了因?yàn)椤?+5=10”，所以可以將“-5”轉(zhuǎn)化成“+5-10”。或許只是湊巧，學(xué)生對(duì)這一模式的認(rèn)識(shí)是減去一個(gè)數(shù)，可以加上這個(gè)數(shù)再減去10。至此，可能有教師會(huì)說，上述方法無(wú)非就是另一種形式的“湊整”，而我們的學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)用“湊十”“湊百”的方法來使得計(jì)算簡(jiǎn)便。“皮特的算法”跟“湊整”在形式上好像有類似的地方，實(shí)質(zhì)卻大不相同，湊整更多強(qiáng)調(diào)的是一種技巧，其目的僅是為使計(jì)算更加快速，不強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)其中所包含的數(shù)學(xué)模式，不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中強(qiáng)調(diào)的通式通法，更沒有上升到對(duì)算式的結(jié)構(gòu)與關(guān)系的一般化的探討的高度。而以“皮特的算法”為例，早期代數(shù)思維的運(yùn)用也能使計(jì)算簡(jiǎn)便，但最終目的不是為了快速計(jì)算，而是要幫助學(xué)生理解數(shù)的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些關(guān)系與結(jié)構(gòu)是適合所有數(shù)的，而不僅僅是某些特殊的數(shù)。甚至有些時(shí)候，還可以“湊不整”。比如在計(jì)算“3000-1275”時(shí)，由于被減數(shù)的每一位都要退位，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生而言非常繁瑣。但如果學(xué)生有這樣的意識(shí)，認(rèn)識(shí)到減法算式存在這樣一種結(jié)構(gòu)，被減數(shù)跟減數(shù)都是可以改變的，只要保持某種關(guān)系，差就不會(huì)改變。因此可以對(duì)該算式進(jìn)行變換，被減數(shù)與減數(shù)都減少1，變成“2999-1274”，變換之后的算式的差與原算式相同，而且避免了所有的退位。因此，早期代數(shù)思維的培養(yǎng)應(yīng)該成為小學(xué)階段計(jì)算教學(xué)的最終目標(biāo)與歸宿，而“湊整”只是其中的某種技巧與應(yīng)用。

早期代數(shù)思維同樣也適用于乘法與除法，比如在計(jì)算“7.5÷0.5”時(shí)，可以將被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，轉(zhuǎn)化成“75÷5”而商不變。有教師會(huì)認(rèn)為“7.5÷0.5”就是“7.5÷■”，直接轉(zhuǎn)化成“7.5×2”似乎要更簡(jiǎn)便些。而且除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，幾乎所有的小學(xué)生都知道這一規(guī)則，并能熟練運(yùn)用，這樣的題目還要去考慮乘法算式的什么結(jié)構(gòu)是不是顯得有點(diǎn)舍近求遠(yuǎn)甚至畫蛇添足？可問題在于，為什么“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”這一規(guī)則能夠成立，我們似乎并未深究。事實(shí)上，這一規(guī)則之所以成立，正是基于對(duì)乘法算式的結(jié)構(gòu)以及兩個(gè)因數(shù)之間的關(guān)系的深入探討得到的：7.5÷0.5=7.5÷■=（7.5×2）÷（■×2）=7.5×2。

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程“是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性”。因此，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有一種整體的觀念。在小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)著眼于學(xué)生在中學(xué)以后的后續(xù)學(xué)習(xí)中需要發(fā)展怎樣的數(shù)學(xué)思維，絕不能為了讓學(xué)生在考試中更加保險(xiǎn)地取得高分，而囿于單純的計(jì)算訓(xùn)練。《課標(biāo)（2011年版）》明確提出要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想，在小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的早期代數(shù)思維應(yīng)當(dāng)成為應(yīng)有之義，這才能為學(xué)生后續(xù)的良好的代數(shù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也使得提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)并鼓勵(lì)他們的創(chuàng)新精神成為可能。

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（作者系溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師、南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院在站博士后；溫州大學(xué)教師教育學(xué)院講師、西南大學(xué)在站博士后）