在算術(shù)運(yùn)算的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維

教育心理學(xué)認(rèn)為，計(jì)算是一種智力操作技能，而知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能是需要過程的，計(jì)算技能的形成具有其自身獨(dú)特的規(guī)律。學(xué)生計(jì)算技能的形成一般要經(jīng)歷四個(gè)階段，即活動(dòng)的認(rèn)知階段、示范模仿階段、有意識(shí)的言語階段和無意識(shí)的內(nèi)部言語階段。基于這樣的認(rèn)識(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，在學(xué)生初步理解算理、明確算法后，教師會(huì)根據(jù)計(jì)算技能形成的規(guī)律，及時(shí)組織練習(xí)。具體地說，一般先針對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)、對(duì)比練習(xí)、改錯(cuò)練習(xí)，再根據(jù)學(xué)生的實(shí)際體驗(yàn)，進(jìn)行歸類和變式練習(xí)。一般說來，復(fù)雜的計(jì)算技能總是可以分解為單一技能的，對(duì)分解的單一技能進(jìn)行訓(xùn)練并逐漸組合，才能形成復(fù)合性技能，再通過綜合訓(xùn)練就可以達(dá)到自動(dòng)化階段。這樣進(jìn)行計(jì)算教學(xué)，無疑是高效的。但毋庸置疑，這樣的計(jì)算教學(xué)在數(shù)學(xué)思維方式上傾向于算術(shù)程序思維，亟須改進(jìn)。

一、現(xiàn)行計(jì)算教學(xué)亟須努力的方向

1.要訓(xùn)練思維的靈活性。

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是發(fā)展學(xué)生的思維能力，計(jì)算技能的訓(xùn)練當(dāng)然也不例外。從此意義上講，計(jì)算技能訓(xùn)練絕不是機(jī)械重復(fù)的“操練”，而因圍繞技能的產(chǎn)生、形成和熟練，努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出要“尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”。結(jié)合具體算式的特點(diǎn)，靈活選擇計(jì)算方法，是具有較強(qiáng)運(yùn)算能力的表現(xiàn)。思維的靈活性是指面對(duì)數(shù)學(xué)問題，善于從不同角度和不同方面進(jìn)行思考，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問題。它表現(xiàn)為對(duì)知識(shí)運(yùn)用自如、變通流暢，思維不囿于固定的程序，能夠根據(jù)具體情況靈活調(diào)整思路。計(jì)算教學(xué)對(duì)于學(xué)生成長和發(fā)展的價(jià)值，除了掌握算法外，更重要的是以數(shù)的運(yùn)算過程為載體，幫助學(xué)生建立判斷和選擇的自覺意識(shí)，形成根據(jù)具體題目以及自我需要正確選擇的能力。

2.要促進(jìn)學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)。

在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)教育是一個(gè)不可分割的整體，旨在培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而非數(shù)學(xué)（專業(yè)）才能。但是，“小學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容上主要是算術(shù)，而且在數(shù)學(xué)思維方式上傾向于程序思維；初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一是代數(shù)，在數(shù)學(xué)思維方式上更傾向于關(guān)系思維。”“造成算術(shù)和代數(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域在學(xué)校教育中的割裂不僅有其傳統(tǒng)的原因，而且還有其現(xiàn)實(shí)的根源。這種割裂不僅有人為性，而且還是造成學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)困難的禍?zhǔn)字弧！?/p>

現(xiàn)在已經(jīng)有越來越多的共識(shí)，這種對(duì)算術(shù)學(xué)習(xí)與代數(shù)學(xué)習(xí)的分離使得學(xué)生在以后年級(jí)中學(xué)習(xí)代數(shù)更加困難。這種人為的分離也剝奪了學(xué)生在低年級(jí)運(yùn)用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)思維的機(jī)會(huì)，使得在學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)算術(shù)的學(xué)習(xí)并沒有為今后代數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。算術(shù)對(duì)于很多學(xué)生來說只是一系列的計(jì)算。學(xué)生并沒有很多機(jī)會(huì)思考使得這些計(jì)算成為可能的原因。而且，許多學(xué)生還將解決算術(shù)題時(shí)所用的思想與方法帶到代數(shù)中，認(rèn)為代數(shù)學(xué)習(xí)必須要記住很多各種各樣復(fù)雜的規(guī)則。

當(dāng)代研究表明，小學(xué)生能夠參與到代數(shù)推理中，而且學(xué)習(xí)代數(shù)中的這些重要概念并實(shí)踐并不是只有少數(shù)數(shù)學(xué)天賦出眾的學(xué)生才能完成。學(xué)生是可以具備早期代數(shù)思維的。早期代數(shù)思維需要超越對(duì)算術(shù)與計(jì)算熟練程度的精通，以關(guān)注隱含的更深層的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

綜上所述，計(jì)算教學(xué)要解決思維的靈活性、促進(jìn)學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)，需要培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。準(zhǔn)變量思維是介于算術(shù)思維和代數(shù)思維之間的一種數(shù)學(xué)思維形式，它是學(xué)生數(shù)學(xué)思維從算術(shù)思維發(fā)展到代數(shù)思維的橋梁和紐帶。準(zhǔn)變量思維是充分利用算術(shù)中所隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，對(duì)算術(shù)及其問題進(jìn)行“代數(shù)的思考”。

二、在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維的途徑

在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，需要教師轉(zhuǎn)變觀念，習(xí)慣使用“代數(shù)的眼睛和耳朵”，敏銳地發(fā)掘可以培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)變量思維的素材。不管是例題的教學(xué)，還是習(xí)題演練，都要精心地做好設(shè)計(jì)。

1.在例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

下面試以蘇教版一年級(jí)上冊(cè)《9加幾》一課為例，進(jìn)行新授部分的教學(xué)設(shè)計(jì)。

（1）明確條件與問題。出示例題，要求學(xué)生說出圖中告訴了我們什么。你能提一個(gè)用加法計(jì)算的問題嗎？怎樣列式呢？板書算式：9+4。

（2）動(dòng)手操作，探索算法。“9+4”怎樣算呢？想一想，把你的想法用小棒擺一擺。

先與同桌交流，再組織全班交流。

學(xué)生中可能有以下三種方法：

方法一：從9開始數(shù)，9，10，11，12，13。

方法二：先從右邊移1個(gè)到左邊，將左邊湊成10，再看右邊還剩3個(gè)，一共就有13個(gè)。

方法三：10加4等于14，9比10少1個(gè)，所以9加4等于13。

每一種算法，都要求學(xué)生對(duì)照實(shí)物圖進(jìn)行交流。交流第二種算法時(shí)，教師用課件動(dòng)態(tài)演示“湊十”的過程。

（3）引導(dǎo)比較，優(yōu)化算法。組織學(xué)生比較出現(xiàn)的不同算法。

方法一是用數(shù)數(shù)的方法，這是我們已經(jīng)學(xué)過的方法，還需要學(xué)會(huì)計(jì)算的方法。

方法二是先把9湊成10，再計(jì)算，這種方法叫做“湊十法”?？偨Y(jié)“湊十法”的思考過程，同時(shí)板書：

指出：這樣的思考方法還可以寫成“9+4=10+3=13”，想一想為什么。

方法三也可以這樣寫：9+4=10+4-1=13，想一想為什么要減1。

20以內(nèi)的進(jìn)位加法是學(xué)生計(jì)算技能的重要組成部分，也是以后學(xué)習(xí)加、減法口算和筆算的重要基礎(chǔ)。而“9加幾”又是學(xué)生第一次接觸進(jìn)位加法，對(duì)于加法計(jì)算中的進(jìn)位規(guī)則和處理方法，學(xué)生理解起來有一定的困難。為了有效地突破這一難點(diǎn)，采取化抽象為直觀的方法，讓學(xué)生對(duì)照實(shí)物圖思考，初步形成各自的計(jì)算思路；和同桌互相說一說，以理清自己“數(shù)”或“算”的過程；再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同算法進(jìn)行比較，意在促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考優(yōu)化的算法，并逐步完善自己的算法；教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“湊十法”的思路，幫助學(xué)生理解進(jìn)位加的算理，這樣的設(shè)計(jì)遵循了兒童的認(rèn)知規(guī)律。

其中，培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維著重表現(xiàn)在：在板書“湊十法”的思考過程后，告訴學(xué)生，還可以這樣想：9+4=10+3=13（結(jié)合擺小棒，學(xué)生很容易理解）。這里的“=”不僅表示加的和，也表示“和不變”，把要算的“9+4”轉(zhuǎn)化為“10+3”來想，像“9+4=10+3”“9+4=10+4-1”就是準(zhǔn)變量表達(dá)式，準(zhǔn)變量表達(dá)式能體現(xiàn)“等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)”，它們對(duì)應(yīng)著代數(shù)關(guān)系式“a+b=（a+1）+（b-1）”“a+b=（a+1）+b-1”。在數(shù)學(xué)中，由算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)換標(biāo)志之一是，從等號(hào)的程序觀念到等號(hào)的關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。這也就是說，如果我們能夠在小學(xué)低年級(jí)計(jì)算教學(xué)中從一開始就關(guān)注“等號(hào)的關(guān)系性質(zhì)”，那么小學(xué)生就可以較早地接觸到代數(shù)思維，并能夠減少他們今后學(xué)習(xí)代數(shù)的困難。

2.在習(xí)題訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維。

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生掌握知識(shí)、學(xué)會(huì)技能并逐步形成各種能力，是一個(gè)漸進(jìn)、潛變的過程。其中，習(xí)題訓(xùn)練對(duì)深化知識(shí)、技能的理解、提高智能、優(yōu)化思維品質(zhì)具有重要的作用。要注意發(fā)揮習(xí)題的思維訓(xùn)練功能，思維訓(xùn)練離不開數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練。譬如，在下面的空格中，填入一個(gè)數(shù)，使等式成立：45-18=47-□。這道題有兩種思考方法：第一種先求等式左邊的結(jié)果，再根據(jù)“減數(shù)=被減數(shù)-差”求出方框里的數(shù)；第二種是把等號(hào)左右兩邊的算式看作一個(gè)整體，根據(jù)47比45多2，要想得數(shù)相等，方框里的數(shù)要比18多2。

第一種解法學(xué)生容易接受。第二種解法應(yīng)用了等式的性質(zhì)來分析、填寫，思維的層次要高些，更重要的是，學(xué)生的這種思考方式對(duì)于他們的后續(xù)學(xué)習(xí)是非常重要的。

根據(jù)減法運(yùn)算的各部分關(guān)系填出方框里的數(shù)，屬于算術(shù)領(lǐng)域的思考方法；用等式性質(zhì)填出方框里的數(shù)，屬于代數(shù)領(lǐng)域的思考方法。兩者有聯(lián)系，但后者是前者的發(fā)展與提高。對(duì)于這一類題目，如果在教學(xué)中只是讓學(xué)生用第一種方法解答，再訓(xùn)練學(xué)生快速計(jì)算并能保證準(zhǔn)確率，從而在考試中得到高分，那么就是狹隘的減法運(yùn)算訓(xùn)練。其實(shí)，這里等號(hào)還可以理解為差相等。根據(jù)差不變的規(guī)律，讓學(xué)生理解數(shù)之間的關(guān)系，這樣，這道習(xí)題的教學(xué)就從算術(shù)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向了代數(shù)的學(xué)習(xí)，從對(duì)數(shù)量的理解轉(zhuǎn)向了對(duì)關(guān)系的探討。在思考如何在方框里填數(shù)的過程中，學(xué)生將逐步接受并運(yùn)用代數(shù)的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。

需要指出：四則運(yùn)算教學(xué)的目的應(yīng)該是對(duì)運(yùn)算與等式性質(zhì)的理解，而不僅僅是計(jì)算的正確性。學(xué)生光會(huì)正確地計(jì)算結(jié)果是不夠的，需要有數(shù)學(xué)思維上的發(fā)展。

如果四則運(yùn)算的教學(xué)能發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)與運(yùn)算之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的深刻理解，從而為以后的學(xué)習(xí)打下良好且堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，那么，今后的代數(shù)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生而言將不再陌生、困難。

三、培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維需要注意的方面

1.要聯(lián)系生活。

在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，要聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)在于它的高度抽象性。而小學(xué)生的思維正處在由以具體形象思維為主要形式逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過渡的階段，他們的抽象邏輯思維還帶有很大成分的具體形象性，往往要在感性材料的支持下才能順利進(jìn)行。學(xué)生思維的現(xiàn)有發(fā)展水平與所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象化水平之間在客觀上存在著一定的差異，要解決這種差異，需要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程——從自己的生活實(shí)際出發(fā)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活經(jīng)驗(yàn)緊密地聯(lián)系在一起，在教師的引導(dǎo)下，通過自己的反思，把生活經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)知識(shí)。如計(jì)算“545-98”，直接出示題目，學(xué)生想到的是用豎式計(jì)算，簡便算法就不容易出來，就喪失了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用準(zhǔn)變量思考的機(jī)會(huì)（這道題對(duì)應(yīng)的代數(shù)式是“a-（b-c）=a-b+c”。可以這樣設(shè)計(jì)：

（1）創(chuàng)設(shè)情境：小明身上有壓歲錢545元，買課外書用了98元。小明還剩多少錢？

（2）學(xué)生嘗試，小組交流。

（3）小組向全班匯報(bào)。預(yù)設(shè)學(xué)生主要有兩種算法：第一種是用豎式計(jì)算；第二種是簡便計(jì)算：545-98=545-100+2=445+2=447。交流的重點(diǎn)是為什么要加2。

（4）用簡便方法計(jì)算：545-199，472-397。

（5）總結(jié)：你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

為什么不直接出示題目，而要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境呢？因?yàn)樘峁┮坏栏砂桶偷乃闶?，卻需要學(xué)生去主動(dòng)尋找算法，對(duì)還依賴于經(jīng)驗(yàn)和直觀思維的學(xué)生來說是有困難的。一個(gè)缺少背景的形式化的問題往往不能喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，但提供一個(gè)現(xiàn)實(shí)的情境，就容易調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的購物經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在生活中有這樣的體會(huì)：購物用去98元，付給營業(yè)員100元，營業(yè)員就會(huì)找給他2元。有這樣的經(jīng)驗(yàn)，簡便的算法就自然生成；憑借這樣的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就容易理解加2的道理。在這樣的基礎(chǔ)上，總結(jié)“一個(gè)數(shù)減去略小于整百、整千的數(shù)，可以先減去整百、整千，再加上多減的數(shù)”就水到渠成。

2.要把握好“度”。

在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，要把握好“度”，不能隨意拔高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的思維目標(biāo)，用代數(shù)思維來取代準(zhǔn)變量思維。

如：解答“圓的半徑擴(kuò)大2倍，圓的面積擴(kuò)大（ ）倍”一題，教學(xué)中學(xué)生常把半徑賦以數(shù)值去思考：假設(shè)原來半徑是1厘米，面積是3.14×12=3.14（平方厘米）；現(xiàn)在半徑擴(kuò)大2倍是2厘米，面積是3.14×22=12.56（平方厘米）；12.56÷3.14=4。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把計(jì)算過程寫成：（3.14×22）÷（3.14×12）=22÷12=4÷1=4，既可以簡便計(jì)算，又能培養(yǎng)其準(zhǔn)變量思維。筆者曾經(jīng)這樣給學(xué)生推理：假設(shè)原來半徑是a厘米，列成算式：3.14×（2a）2÷（3.14×a2）=（2a）2÷a2=4a2÷a2=4，效果反而不好。原因就在于“（3.14×22）÷（3.14×12）=22÷12”運(yùn)用了商不變的規(guī)律進(jìn)行具體的數(shù)值計(jì)算，這種計(jì)算的形式學(xué)生理解并且熟悉；而“3.14×（2a）2÷（3.14×a2）=（2a）2÷a2=4a2÷a2”這種計(jì)算的形式對(duì)于小學(xué)生而言，比較抽象，學(xué)生不太容易理解。

在計(jì)算中利用準(zhǔn)變量表達(dá)式來培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，即“代數(shù)地思考”計(jì)算及其問題時(shí)，要用常量“數(shù)”充當(dāng)變量進(jìn)行思考。像準(zhǔn)變量表達(dá)式“（3.14×22）÷（3.14×12）=22÷12”中的數(shù)就是“變量”，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)著一個(gè)代數(shù)關(guān)系式“（a×b）÷（a×c）=b÷c（a、b、c均不為0）”。實(shí)踐證明，當(dāng)給予學(xué)生豐富的學(xué)習(xí)材料時(shí)，他們會(huì)浸潤在內(nèi)在的代數(shù)思維之中。如果用字母或代數(shù)式進(jìn)行抽象推理，用代數(shù)思維來取代準(zhǔn)變量思維，很有可能造成適得其反和欲速則不達(dá)的結(jié)果。

3.要重視評(píng)價(jià)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)變量思維，要重視對(duì)評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)和實(shí)施，恰當(dāng)運(yùn)用評(píng)價(jià)的內(nèi)容與結(jié)果，充分發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向、反饋、激勵(lì)等功能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)手段是考試，學(xué)生是通過考試獲取有關(guān)學(xué)習(xí)的信息的。同時(shí)，也給學(xué)生傳遞了一個(gè)非常清晰的信號(hào)：考試比數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身更重要。要改變這種忽視學(xué)生的發(fā)展、片面追求分?jǐn)?shù)的做法。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)不是孤立的，這些方面的發(fā)展綜合體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中。在評(píng)價(jià)學(xué)生每一個(gè)方面表現(xiàn)的同時(shí)，要注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的整體評(píng)價(jià)，分析學(xué)生在不同階段的發(fā)展變化。評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)注意記錄、保留和分析學(xué)生在不同時(shí)期的學(xué)習(xí)表現(xiàn)和學(xué)業(yè)成就?！睂?shí)施課標(biāo)對(duì)評(píng)價(jià)的要求，要改善評(píng)價(jià)方式，促使學(xué)生把關(guān)注的重點(diǎn)從分?jǐn)?shù)的高低轉(zhuǎn)移到自己內(nèi)在的思考過程及解決問題的策略的運(yùn)用上來。學(xué)生具有向師性，如果教師只以最后的答案作為唯一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，那么學(xué)生就會(huì)只注重如何盡快得出正確答案；如果教師對(duì)獨(dú)到的解法、富有創(chuàng)造性的思考能給予較高的評(píng)價(jià)，那么學(xué)生就會(huì)自然地逐漸轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)習(xí)的期望和習(xí)慣，更加關(guān)注自己在學(xué)習(xí)過程中如何去發(fā)現(xiàn)問題、更好地去解決問題。

如上例計(jì)算“545-98”，在總結(jié)階段要引導(dǎo)學(xué)生反思：我為什么想不到簡便算法？別人的算法對(duì)我有什么啟發(fā)？還有其他的算法嗎？這樣反思一番，說不定學(xué)生發(fā)現(xiàn)還可以這樣算：545-98=547-100=447。學(xué)生通過對(duì)計(jì)算方法的對(duì)比，將會(huì)獲得學(xué)習(xí)的點(diǎn)滴進(jìn)步，逐步改善思考方式，克服淺嘗輒止、不求甚解的毛病。

冰凍三尺，非一日之寒。學(xué)生的準(zhǔn)變量思維絕不是憑一時(shí)之力就能培養(yǎng)成的。只有精心設(shè)計(jì)、科學(xué)訓(xùn)練，并且常抓不懈、堅(jiān)持練習(xí)，學(xué)生的準(zhǔn)變量思維才會(huì)慢慢生長。

（作者單位：南京市浦口區(qū)城東小學(xué)）