如何在算術(shù)教學(xué)中也教授代數(shù)思維

“準(zhǔn)變量及其思維”的核心旨在鼓勵(lì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)算術(shù)的同時(shí)，也教授學(xué)生代數(shù)思維，但卻不提倡直接教授代數(shù)。因此，我們首先就需要理解并區(qū)分代數(shù)與代數(shù)思維。

一、代數(shù)思維

毫無(wú)疑問(wèn)，代數(shù)離不開字母。也就是說(shuō)，如果沒有“字母代數(shù)”，也就不會(huì)更不可能產(chǎn)生代數(shù)這一數(shù)學(xué)分支。但是，代數(shù)思維卻未必需要“字母”，因?yàn)榇鷶?shù)思維的核心是“分析之后的概括”，而非字母本身。譬如，在《幾何原本》中，歐幾里得就使用了字母，但卻沒有代數(shù)觀念的運(yùn)用；而在《九章算術(shù)》中，中國(guó)人早就運(yùn)用了代數(shù)的觀念來(lái)求解方程，但卻沒有使用字母。這是否就可以表明，代數(shù)思維的產(chǎn)生與發(fā)展其實(shí)是在“字母代數(shù)”之前？也就是說(shuō)，我們是否可以也應(yīng)該在算術(shù)教學(xué)中來(lái)培養(yǎng)小學(xué)生的代數(shù)思維？

為解決小學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展問(wèn)題，在長(zhǎng)期研究的基礎(chǔ)上，路易斯·拉弗德（Luis Radford）首先分析了思維及其發(fā)展問(wèn)題，然后以此為依據(jù)探討了代數(shù)思維的特征。

首先，思維是一個(gè)“物質(zhì)——想象”的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。因?yàn)樗季S是一種復(fù)雜的反省形式：“思維不是某些僅僅發(fā)生在‘大腦’里的東西。可以把思維看作是由物質(zhì)與想象這兩種成分所構(gòu)成：它包括內(nèi)在與外在的語(yǔ)言，感官想象的客觀形式（譬如，手勢(shì)與觸覺），以及文化驅(qū)動(dòng)下我們的行動(dòng)?！币布础八季S是一個(gè)‘想象——物質(zhì)’的混合體，不僅僅出現(xiàn)在大腦中，也通過(guò)并呈現(xiàn)為言語(yǔ)、身體、姿勢(shì)、符號(hào)和工具的協(xié)調(diào)”。因此，要研究思維的發(fā)展就必須整體地考察思維的“物質(zhì)——想象”這一動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

其次，代數(shù)思維的特征是“分析之后的概括”。沒有分析的概括可能僅僅只是“嘗試與猜測(cè)”的結(jié)果，而沒有概括的分析可能僅僅只是“數(shù)量之間關(guān)系”的記憶。譬如，在教授解形如“ax+b=c”這樣的一元一次方程時(shí)的算術(shù)分析（加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算的互逆：和減去一個(gè)加數(shù)就等于另一個(gè)加數(shù)，而積除以一個(gè)因數(shù)就等于另一個(gè)因數(shù)，從而求解一元一次方程。）就極有可能只是一個(gè)“三量”關(guān)系的記憶。再譬如，在教授解形如“ax+b=cx+d”這樣的一元一次方程時(shí)，只憑借“嘗試與猜測(cè)”就不可能會(huì)得到“求解公式”，而只能運(yùn)用推理分析才有可能得到。但是，盡管字母符號(hào)有利于我們進(jìn)行一般性表達(dá)的轉(zhuǎn)換，但對(duì)代數(shù)思維而言，字母符號(hào)既不是必要條件也不是充分條件：除字母之外，我們還有許多其他符號(hào)系統(tǒng)能夠表達(dá)代數(shù)思維，譬如，自然語(yǔ)言、圖形、手勢(shì)、行為與節(jié)奏等。也就是說(shuō)，在算術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往可以也會(huì)經(jīng)常使用上述其他符號(hào)系統(tǒng)來(lái)表達(dá)他們自己的思考過(guò)程，而這些思考過(guò)程是極有可能富含代數(shù)思維特征的。譬如，當(dāng)小學(xué)二年級(jí)學(xué)生運(yùn)用自然語(yǔ)言說(shuō)出計(jì)算“71-54”的如下過(guò)程時(shí)就有了代數(shù)思維的萌芽：71-54=（70-50）-（4-1）。因此，我們不能把代數(shù)思維簡(jiǎn)化為“以字母為主宰的”活動(dòng)。

二、案例剖析

拉弗德不僅擅長(zhǎng)于理論分析，而且還開展了長(zhǎng)達(dá)5年的課堂跟蹤與觀察研究。譬如，在其課堂跟蹤與觀察中，就有這樣一個(gè)二年級(jí)小學(xué)生所面臨的問(wèn)題：

（1）請(qǐng)畫出該序列的第5項(xiàng)與第6項(xiàng)；

（2）請(qǐng)想辦法求出該序列中第12項(xiàng)與第25項(xiàng)正方形的個(gè)數(shù)，第50項(xiàng)、第100項(xiàng)呢？

（3）請(qǐng)問(wèn)：對(duì)于任意一個(gè)不確定的項(xiàng)，有多少個(gè)正方形（換句話說(shuō)，正方形個(gè)數(shù)與項(xiàng)數(shù)之間有什么關(guān)系）？

拉弗德認(rèn)為，如果一個(gè)學(xué)生在計(jì)算第100項(xiàng)正方形的個(gè)數(shù)時(shí)，運(yùn)用了“3加2再加2一直加到第100項(xiàng)”（即3后面連續(xù)加99個(gè)2）這一“算法”，那么這僅僅是一種算術(shù)的歸納，而非代數(shù)的，因?yàn)檫@里面沒有分析性思維，即沒有對(duì)不確定的量（第n項(xiàng)）與圖形中所蘊(yùn)含的關(guān)系進(jìn)行分析。其實(shí)，這其中是有分析的：3后面連續(xù)加99個(gè)2（一種模式、一個(gè)規(guī)律），只是沒有“分析之后的概括”：3+（100-1）×2（準(zhǔn)變量表達(dá)式）。因此，我們認(rèn)為，盡管這里沒有“代數(shù)思維”，但卻蘊(yùn)含著“代數(shù)思維的萌芽”。

有研究者把上述問(wèn)題改造后在我們的小學(xué)二年級(jí)也進(jìn)行了嘗試：

（1）第5項(xiàng)有多少個(gè)小方塊？

（2）第6項(xiàng)有多少個(gè)小方塊？

（3）第25項(xiàng)有多少個(gè)小方塊？

（4）你能想辦法概括出一個(gè)規(guī)律嗎？

通過(guò)分析學(xué)生作業(yè)與對(duì)話交流，該研究者得出了與拉弗德一樣的結(jié)論：學(xué)生依據(jù)“3、5、7、9……”的觀察而得出第5項(xiàng)有11個(gè)小方塊、第6項(xiàng)有13個(gè)小方塊時(shí)，學(xué)生沒有表現(xiàn)出代數(shù)思維甚至代數(shù)思維的萌芽。但我們認(rèn)為，這里盡管沒有明顯的代數(shù)思維，但一定蘊(yùn)含著“代數(shù)思維的萌芽”：3，3+（2-1）×2，3+（3-1）×2，3+（4-1）×2，3+（5-1）×2，3+（6-1）×2（準(zhǔn)變量表達(dá)式）。在這里，小括號(hào)中的“2、3、4、5、6……”就起到了“變量”（即不確定的量，也即“項(xiàng)數(shù)”）的作用。

但是，該研究者在分析學(xué)生得出第25項(xiàng)小方塊個(gè)數(shù)時(shí)卻得出了截然相反的看法：由學(xué)生的“4+9的話……就是25+26”，以及隨后的對(duì)話分析（“下面這行小方塊的個(gè)數(shù)和項(xiàng)數(shù)是一樣的，但是上面就比項(xiàng)數(shù)多1個(gè)小方塊”），便認(rèn)為，“此時(shí)，學(xué)生開始關(guān)注圖形排列中的結(jié)構(gòu)，并且與不確定的項(xiàng)數(shù)發(fā)生了聯(lián)系。進(jìn)一步，學(xué)生運(yùn)用語(yǔ)言歸納出了一般規(guī)律，并沒有使用字母符號(hào)，但他顯然進(jìn)行了代數(shù)的思維。”其實(shí)，這里同樣是準(zhǔn)變量思維：4+（4+1）……25+（25+1）……由此可見，同樣的問(wèn)題，不同的分析就會(huì)有“不同分析之后的不同概括”，更有其不同的思考過(guò)程，但都可以是“代數(shù)思維的萌芽”。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們究竟應(yīng)該如何來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維呢？

三、教學(xué)建議

通過(guò)上述理論分析與案例剖析，我們可以做出如下推斷：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（包括低年段教學(xué)）中，我們不僅可以而且應(yīng)該培養(yǎng)孩子們的代數(shù)思維。

首先，我們應(yīng)該轉(zhuǎn)變觀念，不應(yīng)認(rèn)為“只有‘字母代數(shù)’之后才會(huì)有代數(shù)思維”。所以，我們需要習(xí)慣于運(yùn)用“代數(shù)的耳朵與眼睛”來(lái)思考算術(shù)及其問(wèn)題，挖掘其中的“代數(shù)思維的萌芽”，既展現(xiàn)其“算術(shù)的程序或步驟”，也呈現(xiàn)其“代數(shù)的關(guān)系或結(jié)構(gòu)”。

其次，學(xué)生的代數(shù)思維過(guò)程可以有多種表達(dá)形式。譬如，言語(yǔ)的、非言語(yǔ)的（如，手勢(shì)、姿勢(shì)、眼神、節(jié)奏等），符號(hào)語(yǔ)言的、自然語(yǔ)言的，實(shí)際行動(dòng)，等等。所以，我們不能僅僅局限于“字母代數(shù)”，而更要習(xí)慣于“數(shù)字代數(shù)”中的關(guān)系與結(jié)構(gòu)。

再次，我們需要對(duì)學(xué)生的思考過(guò)程進(jìn)行細(xì)致的觀察與分析，并捕捉其思考過(guò)程中的“代數(shù)思維的萌芽”，而無(wú)需過(guò)早地把這“萌芽”帶入“抽象的符號(hào)世界”。因?yàn)椤八阈g(shù)的程序思維”與“代數(shù)的關(guān)系思維”之間需要中介過(guò)渡，而“準(zhǔn)變量思維”就是這中介過(guò)渡。

最后，盡管我們提倡、鼓勵(lì)培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，但我們也不能用準(zhǔn)變量思維來(lái)代替算術(shù)思維，更不能用代數(shù)思維來(lái)取代準(zhǔn)變量思維。因?yàn)閿?shù)學(xué)思維的發(fā)展都是由低級(jí)向高級(jí)逐步演變而來(lái)，盡管不存在絕對(duì)的“線性關(guān)系”，但要超越其發(fā)展的某個(gè)特定階段卻是很難的。而大量的初中代數(shù)“入門學(xué)習(xí)”的不適現(xiàn)象就是最好的證明。

因此，在小學(xué)算術(shù)教學(xué)中也教授代數(shù)思維的關(guān)鍵是，既要把握好算術(shù)與算術(shù)思維、代數(shù)與代數(shù)思維之間的區(qū)別，更要把握好算術(shù)思維、準(zhǔn)變量思維與代數(shù)思維之間的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)：算術(shù)思維是常量（即確定的量）與程序思維、代數(shù)思維是變量（即不確定的量）與關(guān)系思維，而準(zhǔn)變量思維則是關(guān)于“變化的數(shù)”（即，就“變化”而言，是不確定的；而就“數(shù)”而言，又是確定的）及其關(guān)系的思維。

【參考文獻(xiàn)】

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（作者單位：南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所）