高中數(shù)學(xué)解題中“化歸法”策略的探究

化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，化歸方法是數(shù)學(xué)解題的一般方法，它的基本思想是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常是將待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)（若干個(gè)）新問題，而新問題是相對(duì)較易解決的或已有固定模式解決的問題，通過對(duì)新問題的解決從而使原問題得到解決，其中轉(zhuǎn)化的手段被稱為化歸途徑或化歸策略.下面就結(jié)合具體問題的解析，闡述用化歸法解答數(shù)學(xué)疑難問題的常用途徑.

1. 變更問題的條件或結(jié)論

為了尋找解題途徑，有時(shí)需要把一個(gè)命題的條件或結(jié)論適當(dāng)變化，轉(zhuǎn)化為一個(gè)與原命題等價(jià)的命題.如問題1，就是變更問題的條件與結(jié)論將原問題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的、易求證的問題.通過對(duì)新命題的求解，從而使原命題得到解決.

問題1：已知：0

分析：由于0

從上面的解題過程可以看出，問題其實(shí)代表了一類問題的求解方法，即已知條件是等式，但要求證的是不等式，由條件出發(fā)，難以求證原命題，這時(shí)需要多次地將問題進(jìn)行變形，使之轉(zhuǎn)化，從而將原來的問題化歸為熟知的及能解決的問題.

2. 變量代換

利用變量代換將形式較復(fù)雜且難以入手的問題化歸為形式簡(jiǎn)單容易求解的問題.常用的變量代換為三角代換，當(dāng)所要求證的結(jié)論中含有根式時(shí)，并且根式內(nèi)是平方和的形式，一般采用三角換元法可以把根號(hào)去掉，使問題變得更簡(jiǎn)單，如問題2.

問題2：已知：x>y>0，求使不等式log■■>（log■t）

■恒成立的實(shí)數(shù)t的最小值.

分析：∵log■■=log2x-log2y，并考慮■的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可設(shè)log■■■x+log■■y=r2（r>0）.從而可得log2x=rcosθ，log2y=rsinθ， x>y>0，∴θ∈（0，■），因此不等式可化歸為 r（cosθ-sinθ）

利用變量代換法解題，一方面要分析問題的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)已知條件作適當(dāng)?shù)淖冃危涣硪环矫嬉朴诎l(fā)現(xiàn)題目中的特殊條件、結(jié)構(gòu)，挖掘題目中隱含的特殊關(guān)系，以便于由這些特殊條件提出各種可能的變量代換.代換的基本原則是所作的變量代換在代換后應(yīng)盡量減少變量的個(gè)數(shù)，降低次數(shù)，使問題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單.

3. 轉(zhuǎn)化思維角度

對(duì)于某些問題，如果按照常規(guī)思維方式解決，難以奏效，但是轉(zhuǎn)化為另一思維角度去考慮分析，問題就變得簡(jiǎn)單多了.轉(zhuǎn)化思維角度一般包括：代數(shù)問題與幾何問題互化，復(fù)數(shù)問題與實(shí)數(shù)問題互化，數(shù)與形互化，正面與反面互化，動(dòng)與靜互化，特殊與一般互化，抽象與具體互化.下面的問題是利用轉(zhuǎn)化思維角度，將正面問題轉(zhuǎn)化為其對(duì)立面，代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題.

問題3：設(shè)雙曲線xy=1的兩支為c1，c2，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上，求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上.

分析：由于這個(gè)問題從正面不易將問題轉(zhuǎn)化，這樣，可以從反面思考，也就是考察所證結(jié)果的對(duì)立面，或假定結(jié)論不成立，看看能得到什么結(jié)果.假設(shè)正三角形PQR的三頂點(diǎn)P、Q、R位于同一支上，不妨假設(shè)在c1（如圖1所示）上，其坐標(biāo)分別為P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3）不妨設(shè)0y2>y3>0

PQ2+QR2-PR2

=[（x1-x2）2+（y1-y2）2]+[（x1-x3）2+（y1-y3）2]+[（x2-x3）2+（y2-y3）2]

=2（x2-x1）（x2-x3）+2（y2-y1）（y2-y3）<0

故PQ2+QR2

責(zé)任編輯 羅峰