揭示知識的數學本質 推進高效課堂的有效生成

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2013）10-0037-03

一、課例展示

（一）創設情境，生成問題

學生通過教師提供的學案，閱讀并解決問題：

從前有一個賣馬的人，標價3 000元。有個買主嫌貴，賣主對他說：“如果你能改買馬蹄子上的釘子，我就把馬送給你。”買主便問怎么個賣法，賣主講，4只馬蹄子上共有24個釘子。第1個釘子賣1分錢，第2個賣2分錢，第3個賣4分錢，依此類推，即后一個釘子是前一個釘子價錢的兩倍。買主聽后心動了，認為買24個釘子花不了幾個錢，他真的花不了幾個錢嗎？（注：故事改編自一意大利數學手稿（約1535年）中的一道問題。）

教師：你能幫買主出出主意嗎？

學生：可以。需要比較兩種方法下，哪種方法用的錢少。關鍵要求出1+2+22+…+223=？

教師追問：這個問題的本質是什么？

學生：求等比數列2的前24項和。

？搖教師：很好，同學們通過獨立思考后對這樣一個實際問題的解決已經有了較為清晰的認識。大家已完成了將這個實際問題轉化成為一個數學問題，現在要解決這個數學問題的關鍵就是求這個具體的等比數列的前24項的和，大家能利用已有的知識和方法解決嗎？

？搖學生：用計算器把每一項算出來再相加……

學生：那么大，好難算哦！如果再多些項呢，更算不出來，這個方法不可行。

學生：等差數列求和都有公式，等比數列有沒有求和公式呢？如果有，可以直接帶公式計算……

大家七嘴八舌地討論開了，最后達成一致認識：需要求和公式以解決繁雜的運算問題。這時，教師便順勢引出了本堂課的課題：等比數列的前n項和。并拋出了探究的核心問題：探究首項為a，公比為q的等比數列a的前n項和公式S。

（二）自主合作，解決問題

引導學生回憶等差數列前n項和公式的推導方法——倒序相加。倒序相加目的是構造一個關于S的方程，將數列的求和問題轉化成了一個解關于未知數S的方程問題。當然最終未知數S的解要化簡，就需要在構造方程的過程中將方程中“省略號部分”去掉，化繁為簡，消元、消項。基于以上認識，請同學們類比推導等比數列前n項和公式。

學生先自主探究10分鐘，再小組交流、討論5分鐘，最后教師選擇解決方式有代表性的小組，讓選到的小組每組派一名代表將本組的探究過程借助于實物投影在全班展示，同時輔助以語言說明。

學生一：根據等比數列的定義，可以得到項滿足，要構造關于S的方程就需要構造，初中講過的比例的性質就可以做到這一點，所以我們小組就按照這個方法推導，具體如下：

學生三：因為希望消去“省略號”部分，所以構造另一個式子也擁有足夠多的相同項即：，然后兩個式子相減，將相同的部分抵消，從而得到：

當q≠1時當q=1時，教師：謝謝三位同學，三位同學從完全不同的角度給我們展示了公式的推導過程。無論是哪種方法，都是基于等比數列的定義，構造關于S的方程。而對于表達式中“省略號”部分的消去，有采用整體取代的，即有采用構造相同項前后抵消的。接下來我們大家一起，將這三種方法依據其中最關鍵的化簡環節對其進行命名。

學生：比例性質法、迭代法、錯項相消法……

學生對此很有興趣，你一言我一語，氣氛很是活躍。在這時，突然有位同學將話鋒一轉說道：老師，我認為既然是消去省略號的部分，構造關于S的方程，那么方法二與方法三還有其他的化簡方式。

這時，全班同學都被這位同學的話吸引住了，大家都想看這位同學葫蘆里賣的什么藥。

“對于方法二迭代的過程中還可以多保留幾項，比如

學生：嗯，有道理，精彩……

同學們不時的為這位同學的發言發出陣陣贊嘆，贊嘆聲中已經說明這些方法的實質大家已經掌握，蘊含在不同方法背后的數學思想已經有所體會，現在還需要的僅僅是高屋建瓴地引導大家將豐富這個緘默知識。這個問題教師并不急于解決，而將大家的目光引向推導的細微處。

教師：通過以上三組同學的展示，我們得到了兩個不同的結論，其中第三組同學的結論中，S的表達式與q的取值相關，而前兩組同學卻沒有分類，究竟哪個結論正確呢？

學生：肯定要分類，因為將系數化為“1”的時候，左右兩邊同時除以1-q，只有當1-q≠0時才有意義，當1-q=0時，數列就是常數列，S=na。

教師：回答的很好，同學們在化簡過程中必須考慮各種方法下是否等價變形，當結論隨著參數的取值而發生變化時，大家一定要分類討論，注意思維的嚴謹性。不知道同學們有沒有注意到在1-q≠0時，得到了兩個S的表達式，即S=和S=，是不是有不同方法下推導出不同結論呢？

學生：兩個公式是一樣的，可以借助于a=aq進行互化。

得到了一般性的結論之后，馬上用結論解決實際問題。這種過程符合一般情況下我們發現一個知識的全過程，即在實際生活中發現問題——抽象成數學模型探究解決模型問題——反思整個過程、形成知識與方法——用實際問題檢驗模型。

S=1+2+2+…+2=2-1=2-1=（64）-1=4096-1=16 777 216-1=16 777 215分=167 772.15元≈16.7萬元

結論：應采用3 000元買馬更劃算。

（三）師生合力，歸納提升

教師引導學生，反思整個探究過程，總結知識并挖掘其中蘊含的數學思想與方法。

（注意用好板書，從過程中去發現、去挖掘）

1.？搖數學知識方面

等比數列a的前n項和公式S=na（q=1）=（q≠1）

2.？搖數學思想方法

方程思想、模型化思想

（四）應用反饋，理解升華

1.應用（課堂完成）

例（1）求等比數列1，-2，4，-8，…的第三項到第八項的和。

（2）求S=a+a+a+…+a（a≠0）。

通過訓練，讓學生初步掌握公式并能應用公式解題。并通過對公式的應用，進一步歸納公式中涉及的五個量，“知三求二”。

小結：S、a、q、a、n“知三求二”。

即求和公式中有5個量，知任意3個通過解方程（組）都可以求另外2個的方程。

2.反饋（課后完成）

（1）P習題2.5 1、4

（2）在我國古代，成書于公元4世紀左右的《孫子算經》卷下有一名題：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何。

（3）探究：S=1·2+2·2+3·2+…+20·2的值。

二、課例評析

（一）在課堂教學培養學生的探究能力

本課例以故事引入，興趣盎然。以意大利數學手稿中的名題為問題的出發點，創設懸念。由學生提出問題并指明需要解決的核心問題，讓他們遭遇了實際困難。以意大利名題作為本堂課的引入來創設問題情境，反映了數學的歷史，展示了數學的應用，有效地激發了學生的學習興趣，增強了學生的應用意識，擴展了學生的視野。后續課堂內容的展開，均立足于這道命題的解決過程。整堂課的設計，讓學生感受作為一個小小數學家，在面臨一個實際問題時，如何數學地提出問題、解決問題并將得到的結論用于解決其他類似的問題。

教師運用心理學家馬斯洛（美國）的“成長動機說”，通過提示，引導學生回憶，把火熱的思維過程展現在課堂上。經過問題表征的提取，相關學習經驗的回顧，激發學生“自我實現創造”的動力。再將買馬的特例推廣到一般情況。讓他們自己去體驗探索的艱辛和體會成功的愉悅。這種處理真正將學生置于教育教學的主體地位，充分發揮每個學生的創新精神和創造潛能。

多法求和，開拓思維。探索化簡求和的各種方法與思路用于解決其他問題，嘗試探索，不可或缺。教師不是急急忙忙地拋出“錯項相消法”，而是從學生的認知規律出發，讓學生自己探索這一具體問題的解決方法。由“加”到“減”，辯證轉換。由于考慮到教學探究與科學發現探究有本質的區別，前者受限于課時、學生的認知基礎等等。因此，為了使探究不流于形式，在學生自主探究之前，先搭建了一個腳手架。結合等比數列的特點，與學生一起，引入“錯項相消法”導出一般等比數列前n項和的公式。

問題的探究過程經歷了學生自主探索與合作交流，有效的發揮了學生學習的主動性，使學習過程成為教師指導下的“再創造”過程，對培養學生的創新意識有著積極的作用。同時，整個過程一改過去教學中過分強調讓學生記住一個形式化的結論，讓學生經歷了結論逐步的形成過程，更注重對知識本質的認識。“零”中探寶，喜得真經。進一步分析數列求和的本質在于化簡，拓展到范圍更廣的一類數列的求和。

這節課中學生從多個層面去思考，通過觀察、分析、歸納、猜想，用多種方法去解決問題，展現了他們的能力。這對于學生來說就是一種個體創新，是學生的真實成長。在該案例設計中，教師一直以一個學生的合作者的姿態出現，采用局部啟發法，從三方面對學生提供了支持：（1）提取問題表征（2）回顧啟發（3）計劃與實施。符合問題解決教學模式。揭示知識的數學本質推進高效課堂的有效生成。在這一堂數學課中，教師所做的一切主要是設計、組織、實施，真正進入角色的是學生。數學思想作為對數學理論和內容的本質認識，是數學的靈魂和精髓。高中數學課標提出：“要理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景，體會其中蘊含的數學思想和方法”。本節課力圖引導學生在推導等比數列的前n項和公式的過程中，體驗知識背后所蘊含的數學思想，進一步加深對等比數列的前n項和的本質認識。

（二）在課堂上養成學生應用數學的意識

？搖新的課程標準已對學生數學應用意識作了清楚的刻畫，學生的應用意識主要體現在以下2個方面。（1）面對實際問題，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。（2）認識到現實生活中蘊涵著大量的數學信息，數學在現實世界中有著廣泛的應用。但目前數學教育中存在著一個較大的問題即學生應用能力、應用意識的培養與課堂教學的脫鉤。如何不出校門培養學生的應用意識？一個有效的手段即是教師創設一個有利于學生學習活動的問題情境，讓“學校數學”與“日常數學”走向融合，使學生不出校門而在問題解決中學習數學知識，逐漸樹立起“學數學即是做數學”的觀念。而在此過程中一個重要的思想即是模型的思想，或更為具體地說也就是數學建模。

（作者單位：武侯區教育科學發展研究院，成都 610061；四川大學附屬中學，成都 610061）