“經歷過程”不是“一走而過”

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2013）10-0022-03

在數學學習過程中引導學生形成一定的數學思想既是新一輪課程改革的要求，又是提升學生數學素養的基本目標。對不同年齡段及不同思維水平的學生感悟數學思想的要求與深度應是不同的，應遵循兒童的心理特征與認知水平。這就要求教學一線的教師在引導學生經歷知識的形成過程中要針對不同的教學內容和學生，做到“因材施教、因人而異”地引領學生感悟數學思想，并最終形成解決實際問題的數學思想方法。在經歷知識探索過程中，有的數學思想外顯而顯得比較清晰，而有的數學思想內隱，則顯得相對模糊。所以，在平時的教學實踐中，一定要捕捉知識形成過程中的數學思想，因為經歷知識形成的過程其實就是數學思想滲透與感悟的過程，而不能“一走而過”。

一、“經歷過程”需要“邊走邊說”，感悟歸納思想

學生在課堂上的說話、回答、發言等“課堂之說”，既反映學生對知識形成過程中的理解深度，也反映出學生對知識建構過程中所表露出來的思維水平，更是學生對數學概念、數學現象以及數學規律的一種數學歸納。因而，不能忽略學生在課堂上的“說”，更不能抑制學生課堂上的“說”。尤其是低年級學生，課堂控制能力差，課堂上每一句“即時話語”的迸發，均是學生內心深處真實的想法。如此的真實想法，在暗示教師教學時，要放手讓學生說，并要有意營造輕松和諧的環境與空間引領學生說，促使學生在說的過程中感悟歸納思想。

例如，教學二年級“認識乘法”。教師出示：

一共有多少條毛毛蟲？學生觀察思考并完成填空：□+□+□+□+□=□；（ ）個（ ）相加得（ ）。在學生填出方框和括號的基礎上，引導學生寫出2×5。教師則認為教學目標已達成。這樣“一走而過”地教學既不利于學生對“乘法意義”的理解與建立，更忽略了學生對數學思想的感悟。因此，教學時需要把數學思想滲透到知識的形成過程中進行設計并引導學生：（1）一共有多少條毛毛蟲？你是怎么知道的？是一條一條加的嗎？（2）你為什么要2個2個加呢？怎么想的？（3）這兒的連加算式你能用自己的語言說一說它的含義嗎？（4）說一說5個2相加是什么意思？你能用算式表示出來嗎？（5）5個2相加與5和2相加相同嗎？說說自己的想法。如此的追問引導學生說，學生就會從加法到乘法的意義建構過程中，初步歸納得出：“幾個幾相加可以寫成乘法，乘法就表示幾個幾相加”的數學結論。繼而在建構“乘法意義”的數學概念的同時，感悟了歸納的數學思想。

二、“經歷過程”需要“邊走邊動”，感悟分類思想

分類數學思想在小學數學教材中，更多的是安排在“統計”單元中，從一年級的“分一分、數一數”教學活動中，就開始初步向學生滲透分類的數學思想。其實，在“統計與概率”之外的其他數學領域依然可以向學生滲透初步的分類思想。教學時教師要能抓住事物本質特征，關注數學知識的聯系與區別，通過動手實踐操作，引領學生在建構與理解數學知識的過程中，感悟分類的數學思想。

例如，三年級學生在探索長方形周長計算方法時，由于學生還未涉及混合運算中綜合算式的計算方法，教師無法向學生提供“（長+寬）×2”公式法的計算思路與方法，只能引領學生根據已有的知識經驗，從長方形的周長定義出發，展開思考：長方形的周長是指什么？引導學生說出“圍成長方形四條邊長的總和”。在此基礎上，教師要求學生列式求長方形的周長。課堂上教師出了一道又一道的周長練習題，學生都是用“長加長，寬加寬，然后把兩次和相加”的三步計算方法，很少看到學生用“長加寬，然后再乘2”的兩步計算方法。如果教學到此，教師不進一步引導學生探究兩步計算的方法，會影響學生對長方形周長意義的深度理解，也不利于學生對后續長方形及其他平面圖形周長公式化計算方法的探索與研究。

因此，此時不能再憑學生的直觀觀察讓學生說說長方形的周長是指什么？因為學生頭腦中的直觀思維只會把同類的邊長相加，即長加長，寬加寬，很難想到把長與寬相加。此時教師應引導學生動手操作，在實踐中展開數學思考，從而彌補學生“憑空思考”的不足。首先讓學生用四根小棒擺出長方形，然后引導學生思考你所擺出長方形的周長是指哪些小棒的總長？學生立即應答這四根小棒的總長。教師在此基礎上追問：如何計算這四根小棒的總長呢？是直接一根一根依次加起來嗎？你會先分一分再計算嗎？課堂上學生立刻動手進行分類，并很快分出“長長、寬寬”和“長寬、長寬”兩類。此時教師提出在你分類的基礎上列式解答長方形的周長。這樣學生就很自然地掌握“長加長，寬加寬，然后把兩次和相加”和“長加寬，然后再乘2”的兩種不同的求長方形周長的計算方法。在探索長方形周長計算方法的過程中如此引領學生“邊走邊動”，既讓學生在動手操作的過程中感悟了分類的數學思想，也使學生體會到在分類數學思想的指引下探索數學方法的科學性和有效性，使數學思想與數學方法相互融合，相互支撐。

三、“經歷過程”需要“邊走邊看”，感悟推理思想

小學數學課堂里向學生滲透推理數學思想，雖然沒有或很少出現那種“層層推進、環環相扣”的邏輯緊密的證明推理過程，但當教師向學生揭示某一數學原理、數學規律抑或數學現象等數學結論時，必須要給學生明確數學結論下定義時的合理條件或使學生信服的理由。而引導學生經歷在合理條件或信服理由背景下得出的數學結論時所表現出來的數學方法這一思維過程，就是一種數學推理的滲透過程，學生就會初步感悟推理的數學思想。因此教師在平時的教學實踐中，要善于從數學知識本質內涵出發，使學生在常態的數學課堂中，時常用“推理型”的思維展開數學思考，從而不斷感悟推理的數學思想。

例如，教學“認識年月日”。一線教師均會出示當年的年歷，并引導學生觀察得出大月、小月以及二月（俗稱平月）的天數，然后及時總結得出大月有31天，小月有30天，接著又出示近幾年的年歷，引導學生觀察二月的天數，使學生發現二月有時28天，有時29天。最后，引導學生加強記憶一年中大月、小月以及二月的月份數及天數。細細品味這“大眾化”的教學過程及思路，是完全基于教師成人的已有知識經驗基礎上的教學設計，教者根本沒有關注學生已有知識經驗。因為就憑當年的一份年歷就迫使學生得出大月有31天，小月有30天，不具備普遍性和說服力。同時無論是大月、小月還是平月，對于學生來說都是未知的三個新的知識點，均需要學生在課堂上進行觀察思考，最后發現規律得出結論。而教師只引領學生觀察近幾年二月份的天數是遠遠不夠的，那是基于教師心中已經知道“每年大月、小月的天數不會變化，只有二月份的天數不確定而且是每四年變化一次”這一已有知識經驗展開教學的，并沒有關注學生的學習現實和思維現實，扼殺了學生的觀察能力和推理意識。

因此，教學中教師需要不斷地依次出示近幾年來或任意某年的年歷，讓學生通過仔細觀察并展開數學思考。引領學生在“邊走邊看”中發現任意一年的一、三、五、七、八、十、十二等7個月的天數均為31天，四、六、九、十一等4個月的天數均為30天，在此基礎上教師引導學生推理得出：天數有31天的月份稱為大月，天數有30天的月份稱為小月，二月既不是大月也不是小月等數學概念與結論。如此引出和揭示數學概念與結論，學得信服，理解才會扎實，內化才會深刻。學生也一定會在經歷探索大月、小月以及平月的數學知識中感悟推理的數學思想。

四、“經歷過程”需要“邊走邊想”，感悟抽象思想

兒童思維雖然主要以直觀形象思維占主導，但在教學過程中教師要善于捕捉數學知識形成過程中的“抽象過程”，引領學生經歷直觀形象的圖形、文字、符號等感性材料的認知逐步向理性思考過渡，使學生的數學思考在感性認識的基礎上，充滿理性思維，由直觀形象思維發展為抽象邏輯思維。這樣既使學生經歷了知識的形成過程，又使學生在建立數學概念過程中，感悟了抽象的數學思想，提升了學生的認知能力和思維素養。

例如，教學“用字母表示數”。教師教學時一般會以表格的形式引導學生觀察擺三角形所需小棒的根數。在學生回答的基礎上教師利用多媒體課件逐步出示如表1：

當教師借助表格引導之后，一般都會直接問：像這樣用小棒擺三角形如果擺n個三角形需要幾根小棒？引導學生說出（n×3）根。如此直接揭示了抽象的結果而忽視了引領學生經歷“抽象化”的數學過程，學生不但未能感悟抽象數學思想，而且對用含有字母的式子表示數量關系的構成及含義感到困惑和茫然，從而抑制了學生對新知的建構與內化。

因而，教師需從“用字母表示數”的本質內涵出發，引領學生在經歷知識的形成過程中“邊走邊想”：三角形的根數都是怎么算出來的？生：三角形的個數×3。師：這個數量關系式太長了，你能縮短一些表達嗎？生：三角形×3。師：能再縮一縮嗎？生：個數×3。師：你能用數學的方法更簡潔一些嗎？生：a×3。其它學生自發插話：b×3，c×3，m×3……從學生的一步步應答中可以進一步明晰：學生在教師的啟發與引導之下，頭腦中始終在思考如何能夠更簡潔卻又能表達出小棒根數計算的方法，這就促使學生主動抓住數量關系式中的變量與不變量，展開數學思考，而這一思維過程正是引領學生從直觀的文字表達向含有字母的式子進行逐步抽象的過程，使學生在腦海深處印記了只有三角形的個數是一個變量，可以用字母來表示，而所乘的“3”是由三角形特征所決定的不變量，無需用字母表示。因此，數學知識的建構過程就是學生感悟數學思想的過程。在感悟數學思想的過程中，使學生進一步體會了抽象的數學知識，經過“抽象化”過程后，其結果才會得到直觀化、形象化，助推了學生對數學概念的建構與理解。

五、“經歷過程”需要“邊走邊議”，感悟模型思想

基于“生活數學”的教學理念，培養小學生的模型思想，可以從兩個角度加以思考：一是從生活原型中逐步抽象出數學模型，繼而建構新的數學知識；二是解決生活實際問題時要讓學生用數學模型中的思想方法去解釋生活現象。因此，新知的學習需從生活原型中建立數學模型，而知識的應用則需要用數學模型思想方法去解釋生活現象，繼而達到巧妙解決生活問題的目的。

例如，“圖形覆蓋問題”的教學。出示：有6個人排成一排拍照，AB兩個人坐在一起拍照一共有多少種不同的坐法？

1.從生活原型出發，建構數學模型。引領學生“邊走邊議”經歷如下過程：（1）請畫圖表示題中的含義。（2）AB兩人要坐在一起，可能會坐在哪兒？你能有序地描述AB兩人坐的位子嗎？（3）你們所描述的現象能用以前學過的知識進行概括嗎？課堂上利用教具平移AB的位置，學生通過自主討論后很容易觀察發現得到規律：總人數-AB兩個人+1=不同坐法的種數。

在此基礎上，教師引出模型問題：如果每次框出兩個數，一共有多少種不同的和？學生自主得出：總個數-框里的個數+1=不同和的個數。這一過程使學生親身經歷了從生活原型到數學模型的建立，再到數學方法的形成，最終發現了圖形覆蓋問題的數學規律，建構了圖形覆蓋問題的解決方法，使學生在感悟數學模型思想方法的同時，進一步內化了新的數學知識。

2.從數學模型出發，解釋生活現象。在解決實際問題的過程中，依然要引領學生經歷感悟數學思想過程，而不是一味地單一地列式求出結果，理應用數學中的模型思想解釋題中的生活現象，繼而使學生領悟出解決此題所要選擇的對應的數學思想方法。學生可作如下“邊走邊議”：（1）你能找出這道題里所隱含的數學現象嗎？（2）在學生回答出圖形覆蓋的規律時追問：把什么可以看作框里的數？平移的次數怎么看出來？“一共有多少種坐法”相當于求什么？學生經過如此追問與思考，圖形覆蓋中規律的數學模型就會立刻浮現在學生的腦海，學生就會把圖形覆蓋中規律的數學模型與解決此題的數學方法對應起來，繼而感悟了解決此題的數學思想方法。因此，只有讓學生經歷知識形成過程中的“邊走邊議”，讓學生從生活走向數學，再由數學走向生活，如此“雙向”地行走在數學模型思想方法的道路上，學生不僅自然地感悟了數學思想，也形成了解決實際問題的數學思想方法，豐富了學生數學頭腦，提升了學生的數學思考力。

綜上所述，數學思想是因知識的形成而存在，因人思維的存在而形成。當然，在探索知識的過程中，數學思想不是孤立存在的，理應是相互聯系、相互依存、相互滲透。只是在同一知識的建構過程中有的數學思想可能更為凸顯，而有的相對內隱一些。不管怎樣，探索知識形成、感悟數學思想理應是小學數學課堂的不懈追求，是學生綜合素質發展的必然需求。

（作者單位：江都區仙女鎮中心小學，江蘇，揚州 225200）