織網：走向數學知識的結構化

摘要：當前的課堂往往注重知識“點”的處理，而忽視了溝通知識之間的聯系，不利于學生認知結構的形成。小學數學是一門邏輯性、結構性很強的知識，數學知識之間充滿著多維的聯系。在數學知識教學中，重視引導學生理解知識之間的聯系，培養學生“織網”的本領，能夠有效促進學生認知結構的完善、遷移和生長。

關鍵詞：結點；構鏈；織網

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2013）10-0043-03

小學數學是一門邏輯性、結構性很強的知識，數學知識之間充滿著多維的聯系。在數學知識教學中，重視引導學生理解知識之間的聯系，培養學生“貫通”知識的能力，能夠有效促進學生認知結構的完善、遷移和生長。

一、由表及里：在知識探究中“結點”

“點”是“網”的基礎，“點”的牢固性直接影響學生認知結構的深刻性。由表及里，就是要重視挖掘顯性知識背后的思維價值，引導學生深刻理解數學。只有把“點”結“實”了，學生所形成的認知結構才是清晰的、完整的，具有建構意義的。

例如蘇教版三年級下冊“求一個數的幾分之幾”的教學，同六年級上冊用分數乘法“求一個數的幾分之幾”不同，這一內容重在結合分數的意義來解決問題，從而進一步深化對分數意義的理解。因此本課中，我引導學生由“形”到“數”，從直觀到抽象，通過多元表征來深刻理解和掌握知識。

（一）圖形表征，呈現多樣化結果

本課中，我先呈現主題圖：

引導學生理解：把12個蘑菇的3/4分給他們，分給他們多少個呢？啟發學生：你能不能“畫”出這個分數？不僅自己明白，而且要讓其他學生看得清楚。之后，我給予學生充分的探究空間，讓學生獨立嘗試，呈現了多樣化的學習結果：

這些成果，都來自于學生的真實想法，是重要的教學資源。在此基礎上，我引導學生對以上方法展開討論：

方法一：是把12個蘑菇平均分成了2份；

方法二：雖然是平均分成了4份，但沒有表示出這些蘑菇的3/4；

方法三：只表示出了這些蘑菇的1/4，也就是3個蘑菇；

方法四：把把12個蘑菇平均分成了2份，這樣的3份就是這些蘑菇的3/4，就是9個。可見，方法四是符合這個分數意義的。

（二）符號表征，建構概念的意義

以上是通過“畫”分數的手段求出了“12的3/4是多少”，但這不是普適性的最簡化的方法。重要的是，要將這一方法上升為數學思考，建立數學模型。因此，我啟發學生思考：你能不能用算式把剛才分的過程和結果表示出來？學生通過獨立思考，合作交流，得出了12÷4=3（個）；3×3=9（個），引導學生結合分數的意義理解：12÷4=3（個）就是把12個蘑菇平均分成4份，每份是3個，這樣的3份就是3×3=9（個）。

這樣的教學，緊密聯系對分數意義的理解，引導學生從直觀到抽象，由形到數，充分參與探究活動，經歷從具體事物（主題圖）——符號化（畫圖）——數學模型（算式）的逐步概括過程，不僅掌握了數學知識，體會到數學學科的本質，而且對學生數學思想的體驗和數學素養的提高起到了積極的作用。

二、由前及后：在知識遷移中“構鏈”

散亂的知識“點”一般不具備知識遷移的能力，只有讓學生理解知識的前后聯系，經歷數學知識發生、發展的過程，形成知識“鏈”，學生所掌握的知識才能延展和遷移。因此教學中，我們應該充分關注學生已有的知識經驗，培養學生“貫通”前后知識的能力。

（一）追溯知識的“原有形態”

在學生的數學學習中，最重要的是他頭腦中“已經有了什么”，而這些“已經有的東西”是學生后續學習的重要基礎。因此，培養學生的遷移能力，利用舊知去探索新知，是學生主要的也是最有效的數學學習方式。

例如，在蘇教版三年級下冊“三位數除以一位數的除法”的教學中，我引導學生應用已經學過的“兩位數除以一位數”的方法來探索新知，收到了良好的效果。

（出示：986÷2）

師：同學們，這是我們今天要學習的新知識。想一想，我們以前有沒有學過類似的知識？

生：學過了，想98÷2這樣的兩位數除以一位數。

師：好，既然掌握了類似的知識，你能不能利用已經學過的知識來解決呢？自己想不想試一試？

學生嘗試練習，一會兒，錢張豪小朋友說：“老師，不行，算不出。”他是這樣算的：

師：誰來幫他解決？

生：應該先把8移下來，6不能移下來。

師：為什么呢？

生：因為百位上的9除以2，余1個百，應該把十位上的8移下來，合成18個十，再除以2得9個十，把9寫在十位上。然后第三步再把個位上的6移下來算。

師：哦，看來問題的關鍵在這里，計算兩位數除以一位數時，先用十位上的數除以除數，再用個位上的數除以除數，分兩步來算。而計算三位數除以一位數是，分別用百位、十位、個位上的數除以除數，分三步，其實是多了一步，其他的方法都是一樣的，對嗎？

這樣的教學，圍繞學生運用舊知探究新知時出現的問題來探討，抓住了教學的關鍵，突出了新舊知識之間的聯系，實現學生良好的知識建構。

（二）尋找知識的“發展形態”

作為小學數學的某一知識點，在以后的學段中還有發展和深化。這一知識發展的“發展形態”，往往也最接近這一知識的核心與本質。因此，我們不僅要研究其發展的源頭，也要聯系其發展的走向，明確知識“發展的形態”的內容和目標。

例如，“可能性”知識的發展形態就是概率知識，由于小學教師一般沒有學過系統的概率知識，因而造成課堂教學中對一些“尷尬”現象不能作出合理解釋和正確引導。如蘇教版三年級上冊“可能性”教學中，教師組織學生進行“摸球”的活動：在一個裝有3個紅球、3個黃球的袋子里任意摸一個球，摸40次，讓學生記錄摸到球的次數。該活動的目的是讓學生感受可能性相等的情況，但實驗時有一個組摸紅球的次數遠遠多于摸黃球的次數，這與事先師生的預設和預測是相悖的。如何解釋這個現象？如果教師有了概率知識的底氣，那么就很好解釋：每一次摸球都是一個獨立的事件，都有摸到“紅球”和“黃球”兩種可能，因此不論摸到“紅球”還是“黃球”都是可能的。對“等可能性”的理解應該放到更多次數和更大范圍（全班）中去觀察思考。

三、由此及彼：在知識建構中“織網”

影響學生數學學習的因素是多方面的，不僅有知識表里和前后的關系，還有知識之間橫向的關系。重視溝通數學知識之間的聯系，由“點”及“鏈”，由“鏈”及“網”，有利于學生形成完整而開放的認知結構，促進知識的建構和生長。

例如，“兩位數乘兩位數的豎式計算”是小學計算教學的難點。實際教學中，不少學生盡管理解了算理，知道了算法，但由于兩位數乘兩位數豎式比較復雜，在實際計算時往往受到干擾，乘的步驟和積的定位往往會出現不少問題。針對這樣的難點，不少教師在上這節課時把重點放在反復訓練上，認為“熟能生巧”。學生經過重復的練習，固然能掌握算法減少錯誤了，但這樣就夠了嗎？

筆者認為，我們首先要討論的是，“兩位數乘兩位數的豎式計算”為什么會成為學生學習的難點？其原因是學生不能很好地建構起與相關知識的聯系，在已有知識經驗的基礎上探索新知。因此，本課教學的重點是引導學生建構起豎式計算與現實問題解決和口算方法經驗的聯系。

（一）從“現實世界”到“數學世界”

從豎式計算的方法看，這樣的知識完全可以引導學生用純數學的方式來掌握，但蘇教版教材為什么要添加一個情境呢？教材的目的不僅僅是讓學生體會到數學與生活的聯系，而是要讓學生聯系現實問題的解決來建構算法。

教材的例題：“訂一個月牛奶要28元，訂一年要多少元？”通過這個問題的解決，引導學生理解：先算10個月的，即28×10=280；再算2個月的，即28×2=56；再把兩個積相加。而“豎式”其實就是把這樣的過程在一個式子中表示出來。因此，教學中，我們要結合問題情境讓學生理解每一步計算的意義，從而真正掌握豎式計算的方法。

（二）從“數學世界”到“數學世界”

應該說，從“現實世界”到“數學世界”幫助學生理解了算理，而帶來的問題是，解決這個問題用口算也可以，為什么要學習“豎式計算”呢？因此，我們還需要引導學生在“數學世界”里經歷符號的生成、重塑和被使用。我們要思考：豎式計算為什么會形成現在這種形態？它在形成的過程中融進了哪些數學的因素？

教材上介紹了我國明朝的《算法統宗》中“鋪地錦”的計算方法，是用格子來算的。這種計算方法的算理與豎式計算時相通的，但比現在的豎式計算復雜，可以看成是豎式計算的雛形?？梢?，現在的豎式計算是不斷發展起來的，“豎式”所體現的“簡化、便捷”是數學內在的體現。學生對這種緘默性知識是需要經歷和體驗的，這種對數學內在本質的理解是一種重要的數學素養。

因此本課中，我把重點和時間化在“怎樣用一個豎式表示口算過程（算理）”上，引導學生討論口算方法（先算10個28，即28×10=280；再算2個28，即28×2=56；最后把兩個積相加）后，我提出：同學們，以前我們學過了豎式計算，那么你能不能把剛才的三步計算的過程用一個豎式表示出來呢？學生們在合作交流中不斷質疑、修正，期間產生了不少的表示方式：

我引導學生討論完善：豎式1表示出三步計算的過程了嗎？豎式2先算的“8×12”，再算的“20×12”表示什么意思呢？讓學生結合具體情境理解應該要表示出“先算10個28，再算2個28，最后把兩個積相加”的過程；豎式3的第二步算的是“28×10”還是“28×1”呢，從而引導學生注重積的書寫位置；豎式4中的“0”是否可以省略？

這樣的教學，由此及彼，從“口算”到“筆算”，從“算理”到“算法”，讓學生理解了“豎式計算”的實質：用“簡化、便捷”的形式來表達數學內容，有利于學生關于計算知識結構的建立。

（作者單位：常熟市綠地實驗小學，江蘇，常熟 215500）