函數(shù)——高中數(shù)學(xué)的根基

【摘 要】“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中起連接和支撐作用的主干知識，在高考中函數(shù)是一個極其重要的部分，在高考中，數(shù)形結(jié)合的方法也是解決函數(shù)問題的重要手段。靈活的掌握和應(yīng)用好函數(shù)的性質(zhì)如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的證明等等。抓典型問題，強(qiáng)化訓(xùn)練。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 概念 圖象 性質(zhì)

“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)第一學(xué)期第二章的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的主干知識，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他章節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)。其知識、觀點、思想和方法在初中同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一小部分，它承上啟下的將初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)很自然的銜接在一起，它貫穿于高中代數(shù)的全過程，同時也應(yīng)用于幾何問題的解決。因此，在高考中函數(shù)是一個極其重要的部分，而對函數(shù)的學(xué)習(xí)則是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重頭戲。那么怎樣才能學(xué)習(xí)好函數(shù)，把高中數(shù)學(xué)的這個根基打牢呢？

一、應(yīng)該加深對概念的理解

函數(shù)部分的特點是概念比較抽象，對概念理解的要透徹。而在實際的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對此不是很重視，往往把概念學(xué)習(xí)草草而過，就急著去做題；那么概念是能突出本質(zhì)，而產(chǎn)生解決問題的方法。如果對概念不重視，那么題目一定也做不好。在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就已經(jīng)學(xué)習(xí)到了函數(shù)問題，比如：解一元二次方程問題。函數(shù)和函數(shù)圖象的關(guān)系。畫一次函數(shù)和二次函數(shù)的草圖的問題以及二次函數(shù)的配方問題，但是以上問題，確是學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面對的第一個難關(guān)。就是因為在初中學(xué)習(xí)中沒有對函數(shù)的概念有深刻的理解。

二、函數(shù)圖象是認(rèn)識函數(shù)很好的一個途徑

函數(shù)圖象是函數(shù)的具體細(xì)節(jié)的反映，使函數(shù)更加形象，具體，降低函數(shù)的抽象性。函數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系就像是人的身份證號與本人關(guān)系一樣，一個人對應(yīng)著一個身份證號，一個身份證號對應(yīng)一個人。也就是說，什么樣的函數(shù)有什么樣的圖象。函數(shù)圖象的走勢、形狀、最值、自變量取值范圍直觀地反應(yīng)特定函數(shù)的性質(zhì)。特定函數(shù)具有其本身特有的圖象。很多同學(xué)沒有將函數(shù)與函數(shù)圖象建立聯(lián)系，割裂了函數(shù)和圖象的關(guān)系，脫離函數(shù)圖象，僅僅是從函數(shù)式上來學(xué)習(xí)函數(shù)，而函數(shù)解析式本身是非常抽象的，這樣對于初學(xué)者來說學(xué)會并掌握是很難的。在高中要在初中的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)。這些函數(shù)的許多性質(zhì)都是通過圖象學(xué)習(xí)的，通過圖象來區(qū)分它們的不同，如果割裂函數(shù)與圖象關(guān)系學(xué)習(xí)函數(shù)將是寸步難行。在初中的學(xué)習(xí)，能夠畫好一次函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖象是在高中能夠?qū)W好函數(shù)的基礎(chǔ)。在舊知識的基礎(chǔ)上去深刻的理解和掌握新知識是比較容易接受的。草草畫出的圖像，不能反映函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，不能反映函數(shù)的性質(zhì)。不僅影響對函數(shù)的認(rèn)識，將影響以后的學(xué)習(xí)。比如必修5中第三章將學(xué)習(xí)不等式時，利用二次函數(shù)圖象學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法，如果對二次函數(shù)圖象沒有深刻的認(rèn)識，學(xué)習(xí)一元二次不等式就會有困難。在學(xué)習(xí)線性規(guī)劃問題時要求快速畫出約束條件對應(yīng)的可行域，準(zhǔn)確快速畫出直線是基礎(chǔ)。在高考中，數(shù)形結(jié)合的方法也是解決函數(shù)問題的重要手段。如果說函數(shù)的解析式是函數(shù)的第一張面孔，那么圖形就是函數(shù)的第二張臉。

三、靈活的掌握和應(yīng)用好函數(shù)的性質(zhì)如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的證明等等

就高考而言，例如2010年山東高考數(shù)學(xué)卷的第15題就是考查學(xué)生是否理解函數(shù)最大值的概念。在高中數(shù)學(xué)的代數(shù)證明問題中，函數(shù)問題是最多最突出的一個部分，而用定義法判斷和證明這些性質(zhì)往往是最直接有效的方法。如2011年遼寧文、理科的第22題，考查的是函數(shù)的單調(diào)性、值域與最值，2012年的第19題，文科考查的是函數(shù)奇偶性的判斷與證明，理科在此基礎(chǔ)上還考查了函數(shù)單調(diào)性。以函數(shù)的單調(diào)性為例，可以從哪些問題入手學(xué)習(xí)呢？問題一：什么是函數(shù)的單調(diào)性？可以借助一些概念的辨析題來幫助理解。問題二：如何判斷和證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性？問題三：函數(shù)的單調(diào)性有哪些簡單應(yīng)用？主要的應(yīng)用是求函數(shù)的最值，此外還可能涉及到不等式、比較大小等問題。最后還可以進(jìn)一步總結(jié)易錯、易漏點，如討論函數(shù)的單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，兩個單調(diào)函數(shù)的積函數(shù)的單調(diào)性不確定等。最后，還要進(jìn)一步的練習(xí)，將單調(diào)性，奇偶性，周期性結(jié)合在一起的問題。

四、抓典型問題，強(qiáng)化訓(xùn)練

學(xué)生在學(xué)習(xí)中大都愿意花大量時間做題，追求解題技巧，雖然這樣做有一定的作用，但題目做得太多太雜，未必有利于基本方法的落實。其實對于每一個知識點都有典型問題，抓住它們進(jìn)行訓(xùn)練，將同一知識，同一方法的問題集中在一起練習(xí)，并努力使自己表達(dá)規(guī)范、正確，相信能達(dá)到更高效的學(xué)習(xí)效果使自己的學(xué)習(xí)更有針對性，真正掌握解題的規(guī)律和方法，并幫助自己跳出盲目的題海戰(zhàn)。比如求定義域的問題，求值域問題。我們就應(yīng)該系統(tǒng)的，各種類型都找出來，一個一個的解決，從中體會每種類型解法的區(qū)別和聯(lián)系。

總之，在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，將知識、方法和練習(xí)有機(jī)地整合起來，建立一個立體網(wǎng)絡(luò)，就一定能達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果。對函數(shù)概念、圖象知識結(jié)構(gòu)、方法原理進(jìn)行系統(tǒng)分類、概括、推廣和延伸，從而使自己對數(shù)學(xué)的理解從低水平上升到高水平，提高自己的探究能力。如果，我們能夠把函數(shù)的知識學(xué)習(xí)很透徹，那么對于高中數(shù)學(xué)其他的知識學(xué)習(xí)會有很大的幫助。