中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)研究簡論

【摘 要】中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法與教學(xué)研究一直都是很多一線教師和家長最熱衷討論的問題。本文作者根據(jù)自己的教學(xué)實踐和教學(xué)研究在這個問題上作了深入的分析和探討。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué) 思想方法 教學(xué)研究

新課程改革實施以來，教育理念、教學(xué)方式、評價制度等，都有了喜人的變化。但對于更加“內(nèi)容”的東西，如數(shù)學(xué)思想方法的滲透、數(shù)學(xué)文化的伸張、數(shù)學(xué)思維的拓展等等。我們關(guān)注得還不夠。“數(shù)學(xué)是思維的體操”“形式”的改良能讓我們的數(shù)學(xué)變得富有趣味，更加接近學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，讓學(xué)生樂學(xué)，但是，數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)是要促進(jìn)學(xué)習(xí)思維發(fā)展，而唯有“思想方法、文化、思維”等才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，所以，我們更應(yīng)追求“內(nèi)容”上的到位。在這里，主要談?wù)剶?shù)學(xué)思想方法的滲透。任何一門學(xué)科在其發(fā)生發(fā)展過程中，都將逐步形成一套研究問題的思想方法，數(shù)學(xué)也不例外。那么何謂數(shù)學(xué)思想方法？狹義上講，數(shù)學(xué)思想方法研究的對象是數(shù)學(xué)本身的論證、運(yùn)算以及應(yīng)用的思想、方法和手段。廣義上講，除了上述內(nèi)容外，數(shù)學(xué)思想方法研究的對象還包括數(shù)學(xué)的對象、性質(zhì)、特征、作用及其產(chǎn)生發(fā)展的規(guī)律。

隨著數(shù)學(xué)教育改革的不斷深入，關(guān)于“數(shù)學(xué)思想方法”的探索已引起了數(shù)學(xué)教育工作者的關(guān)注。過去，我們在教學(xué)中只注意具體的解題技巧、解題程序和方法，而忽略數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，這在以“反復(fù)做題，總結(jié)套路，歸納成型，多題一解”為特征的題海戰(zhàn)術(shù)中表現(xiàn)得尤為突出。為改變這種狀況，本文試圖通過學(xué)習(xí)與思考，并聯(lián)系自己的教學(xué)實踐，淺談中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)。思想是數(shù)學(xué)的靈魂，要置數(shù)學(xué)思想于數(shù)學(xué)教育的中心位置。所謂數(shù)學(xué)思想方法，就是數(shù)學(xué)研究活動中解決問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，也是在對數(shù)學(xué)知識和方法作進(jìn)一步認(rèn)識和概括的基礎(chǔ)上形成的一般性觀點。

一、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的心理學(xué)意義

美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點，或者是一般的、基本的原理。”“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。”數(shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義。

（一）“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認(rèn)為“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包括和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識，因而新知識與舊知識所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)。”當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義。”即使新知識能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。

（二）有利于記憶。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會忘記。”“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個現(xiàn)象的工具。”由此可見，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對于中學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，才能隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。”

（三）學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識。”曹才翰教授也認(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對于新學(xué)習(xí)是有利的。”“只有概括的、鞏固的和清晰的知識才能實現(xiàn)遷移。”美國心理學(xué)家賈德通過實驗證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中。”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

（四）強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮挾高級知識和初級知識之間的間隙。”一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的含義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次需要數(shù)學(xué)思想

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識。表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層知識主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。

（一）表層知識是深層知識的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識。學(xué)生只有通過對教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識。

（二）深層知識蘊(yùn)含于表層知識之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識。教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識，讓學(xué)生在掌握表層知識的同時，領(lǐng)悟到深層知識，才能使學(xué)生的表層知識達(dá)到一個質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題海”之苦，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性。

（三）那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對所學(xué)知識的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識水平永遠(yuǎn)停留在一個初級階段，難以提高；反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識的教學(xué)，就會使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)應(yīng)與整個表層知識的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法

（一）數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。我們認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個：集合思想、化歸思想和對應(yīng)思想。其理由是：（1）這三個思想幾乎包攝了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（2）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實際生活經(jīng)驗，易于被他們理解和掌握；（3）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會比較多；（4）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。

（二）此外，符號化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。

數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識，經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，我們認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。

（三）數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式。數(shù)學(xué)表層知識與深層知識具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們在教學(xué)中的辯證統(tǒng)一性。基于上述認(rèn)識，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個教學(xué)模式：

操作——掌握——領(lǐng)悟

對此模式作如下說明：（1）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的；（2）“操作”是指表層知識教學(xué)，即基本知識與技能的教學(xué)。“操作”是數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的基礎(chǔ)；（3）“掌握”是指在表層知識教學(xué)過程中，學(xué)生對表層知識的掌握。學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識的前提；（4）“領(lǐng)悟”是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對掌握的有關(guān)表層知識的認(rèn)識深化，即對蘊(yùn)于其中的數(shù)學(xué)思想、方法有所悟，有所體會；（5）數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)是循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，往往是幾種數(shù)學(xué)思想、方法交織在一起，在教學(xué)過程中依據(jù)具體情況在一段時間內(nèi)突出滲透與明確一種數(shù)學(xué)思想或方法，效果可能更好些。