對洛侖茲變換傳遞性的探究

李微碩

（北京理工大學 材料學院，中國 北京 102488）

時間和空間的認識需要表和尺這類在某一條件下絕對化的度量工具，因此其兩者本身是客觀的.但是要進行測量，僅僅依照被測物體本身是無法體現其物體的運動狀態，因而需要參考系作為被測物體的一面“鏡子”.在測量過程中，參考系也恰恰提供了某種特定條件的度量工具在這種環境下相對性.由于不存在絕對的時間空間，因而不同參考系下對同一事件四維坐標的表示不同但又相關，因而有了洛侖茲變換.洛倫茲變換是愛因斯坦狹義相對論的數學基礎.值得研究的是，在存在三個慣性參考系下，是否可以通過已知兩組慣性系間接推出第三組慣性系之間四維坐標的變換關系，即洛侖茲變換是否具有傳遞性.

1 建立假設模型

首先，考慮這樣一種環境：在一個無限大的空間里僅存在一個質點.在這樣的環境中，質點既可以說是運動的也可以說是靜止的，運動是其絕對存在，然而在無限大的環境中這種運動也可以看作是相對靜止.總而言之，在沒有參考系的前提下其運動狀態是絕對未知的.因而我們可以把參考系（通常指慣性系）理解為物質某一種運動狀態函數表出的基礎，對于不同參考系必然存在不同的表出，由于參考系之間有著確定的關系，因而對于同一事件在不同參考系下的表出有著一定的轉換關系，即洛侖茲變換.

基于洛侖茲變換，建立如下假設模型：有S系、S′系和S″系，其各自x軸重合，y軸和z軸分別平行，已知S′系相對S系和S′系相對于S″分別沿x軸正向速度為u.

2 用矩陣形式探究其傳遞性

雖然在后續的資料查閱中了解到洛侖茲變換的一般矩陣表達形式[1]如下：

但由于僅討論慣性系僅在x方向上有相對運動，故將時空坐標轉換按照預先設定寫成：

其中 X=[v1，v2，v3，t]T，X′=[v1′，v2′，v3′，t′]T，且有以 u 為參數的矩陣：

易證明A(u)A(-u)=I，則兩者互為逆矩陣，符合相對性原理.

對于之前的假設模型易得到：X′=A(u)X， X″=A(u)X′，因而有 X′=A(u)A(u)X，說明當有 P-1A(u)P=?(u)，由 A(u)n=P?nP-1可進行 n 次交換.

由此表明,從矩陣變換的角度洛侖茲變換具有傳遞性.

然而，在此也不難發現A(2u)與A(u)A(u)不相等，由于矩陣A僅有一個可變參數u，可以推出S′系對S系相對速度實際不為2u，因此需要通過相對論速度的角度進行探究.

3 從相對論速度角度討論其傳遞性

通過S系到S′系和S′系到S′系的洛侖茲轉換來推導S系到S′系的洛侖茲變換：

另外可知：

由此推出關于S系到S′系的洛侖茲變換，洛侖茲變換的傳遞性得證.不難發現，S′系相對于S系的速度為μ小于2u，正好否定了在相對時空觀下伽利略變換的可行性.

4 結論

通過研究，有兩個結論必須明確：一是，物理體系的狀態據以變化的定律，同描述這些狀態變化時的坐標系究竟是用兩個在互相勻速運動著的坐標系中的哪一個并無關系.[2]二是，通過洛侖茲變換的矩陣形式和相對速度的角度，均證明洛侖茲變換具有傳遞性.當然，從群論出發的閉合定理[3]也證實了兩個參照系轉換疊加得到另外一個轉換.

類比于光的波粒二象性在不同情況下有不同的體現，洛侖茲變換在傳遞過程中也有類似的情況.例如，S系與S′系過程中可以看作包涵有限或者無限個基于某一參數u的洛侖茲變換的疊加，若u足夠小，S系與S′系之間的轉換就趨于微分化多重甚至復雜化，而u越大直至等于S系與S′系的相對速度則兩系之間的轉換就變得整體但跨度大，而在實際生活信息傳遞應用中可以基于洛侖茲變換的傳遞性綜合考慮上述結論的兩個方面.

［1］關洪.再談洛倫茲變換的推導[J].大學物理,2007(11):14-15.

［2］Zur Elektrodynamik bewegter Körper.Annalen der Physik,1905-6-30,17:891-921[Z].

［3］Е.М.栗弗席茲.場論[M].北京:人民教育出版社,1958:14-15.