GPS 高程擬合模型在工程勘測中的應用研究

楊新國

(中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710053)

1 GPS水準高程的原理

由于GPS高程所表示的是大地高h，但是我國高程系統(tǒng)采用的高程是正高H正高或者是正常高H正常高，這就需要兩者之間進行轉換得到我們所需要的高程值。

上式是大地高與正常高、大地高與正高之間的轉換關系，其中，ζ為高程異常值;N0為大地水準面之間的差距。

2 GPS水準擬合常用的方法

目前在區(qū)域較小或者平坦的區(qū)域內，GPS擬合的精度有所提高，能夠滿足工程一定精度的需要，但是還是要比相應等級的水準測量精度要低很多，如果要更加精確的得到高區(qū)域各GPS點的正高或者是正常高，那就必須獲得各點的大地水準面的差距值和各點的高程異常值。

求得各點的高程異常值，經(jīng)GPS測量得到各點的大地高，那么就可以根據(jù)式(1)求得各點的正常高。

目前外業(yè)測量所常見的方法有以下幾種:

1)GPS測量與水準測量相結合;2)短距離三角高程測量和GPS相結合;3)經(jīng)緯儀測量和GPS相結合;4)重力測量與水準測量相結合。

后三種方法由于受儀器設備、觀測條件、已有數(shù)據(jù)資料、精度等因素的限制在實際測量工作中很難使用，而第一種方法，由于只需在GPS點上再測一定數(shù)量的水準高程就可求解，因此在實際測量工作中應用最為廣泛。

3 GPS水準擬合的模型

截止到現(xiàn)在，用于計算高程異常擬合的數(shù)學模型很多，歸納起來有以下三種擬合模型:平面擬合模型、曲面擬合模型和常數(shù)擬合模型。

各個模型有各個模型的特點，我們可以利用各個模型的特點為我們在工程測量中解決各種問題，以上三種模型可以根據(jù)實際的地理地形情況選擇合適的模型為我們服務，從而滿足工程高程測量的精度要求。

3.1 平面擬合模型(平面擬合法)

如果我們所需的控制點在范圍較小或者地形起伏不大的范圍內，我們就可以認為該區(qū)域的似大地水準面等同于或者近似于平面。

假設控制區(qū)域內公共點的高程異常和各個點之間的坐標有如下的關系:

或者為 ζi=a1+a2B+a3L。

其中，a1，a2，a3均為模型參數(shù)。

如果公共點的數(shù)目大于3個，則可以列出相應的誤差方程為:

平面擬合模型所需要的公共點的個數(shù)一般大于3個，根據(jù)文獻記載，該方法在120 km2平原地區(qū)，擬合精度可達3 cm～4 cm。

3.2 曲面擬合模型(二次曲面擬合法)

在某些區(qū)域由于地理或者地形條件變化突出，在該區(qū)域內高差變化較大引起大地水準面變化不規(guī)則，那么采用平面擬合模型會引起較大的測量誤差，達不到所要求的測量精度，不能滿足工程設計或施工需要，這樣我們就采用曲面擬合法對該區(qū)域進行曲面擬合達到我們所需要的精度，曲面擬合法的方法也有幾種，我們一般采用二次曲面擬合法，也就是在該區(qū)域內所有公共點的高程異常和各點的平面坐標之間建立相對應的關系，它們之間存在如下的數(shù)學模型:

或者 ζi=a0+a1B+a2L+a3B2+a4L2+a5BL。

其中，a0，a1，…，a5均為模型所需要求得的參數(shù)，用曲面擬合法求得該模型參數(shù)一般至少需要6個公共點或以上。當所求模型區(qū)域內公共點的個數(shù)大于6個公共點時，誤差方程表示如下:

按照最小二乘法可以求得模型所需要求得的參數(shù)。

該擬合方法在丘陵地區(qū)或者高差變化較大的地區(qū)，擬合精度可優(yōu)于3 cm甚至更佳。

除了二次曲面擬合法以外，還可以進一步的擴展，也就是多項式曲面擬合法，多項式曲面擬合法的數(shù)學模型為:

其誤差方程仍然為:

其中，X為方差矩陣。

在GPS曲面擬合時，三次曲面擬合法實用性不強，隨著高差變化的加大，各點的高程異常變化就會越來越復雜，計算精度也會越來越低。

當測區(qū)范圍地形變化復雜但是測區(qū)面積較小時可采用的四參數(shù)擬合方法，其數(shù)學模型如下式:

3.3 常數(shù)擬合模型

常數(shù)模型擬合的基本思想是該測區(qū)內高程異常基本一致，不考慮參考橢球面與似大地水準面之間的差距變化情況，這種方法只適用于極小區(qū)域且要求該區(qū)域內似大地水準面與參考橢球面相對吻合，實際生產(chǎn)過程中一般不用這種方法。

4 GPS水準擬合精度評定的標準和計算方法

4.1 GPS水準擬合精度評定標準

GPS水準擬合精度評定的結果是直接影響我們使用成果的標準，所以我們從單位權中誤差，內符合精度和外符合精度幾方面來對GPS水準擬合精度進行檢驗，一般來說在控制區(qū)域內，我們一般只選擇一部分已知點來求得擬合模型的幾個參數(shù)，其余的已知點只是作為檢核點來評定擬合曲面與區(qū)域(似)大地水準面的逼近程度。

4.2 單位權中誤差的計算方法

GPS觀測的是大地高，經(jīng)過同步觀測所得到的各點大地高差精度較高，這樣給出網(wǎng)內某點的大地高作為起始大地高，就可以求出其他點相對于起始點的高精度的大地高，采用相應等級的聯(lián)測方法聯(lián)測GPS可以求得各點的正常高，根據(jù)式(1)就可以求得各點的高程異常，高程異常變化趨勢平緩，可利用簡單曲面進行擬合，以二次曲面擬合為例:

其矩陣形式為:

假設全網(wǎng)共布設n個GPS點，觀測了m個GPS水準點(m＜n)，則擬合的誤差方程式為:

設為等權觀測，根據(jù)最小二乘法求得系數(shù):

通過上式即可計算任意擬合點的高程異常值。

由誤差方程可以計算擬合點殘差向量V，計算單位權中誤差:

4.3 內部符合精度的計算方法

根據(jù)參與擬合計算的已知點ζi值與擬合值ζi'，用v=ζi－ζi'求擬合殘差，按下式計算GPS水準擬合計算的內符合精度:

其中，n為v的個數(shù)。

4.4 外部符合精度的計算方法

根據(jù)檢核點ζi值與擬合值ζi'之差，可以按下式計算GPS水準擬合計算的外符合精度:

其中，n為檢核點的個數(shù);μ，M可以近似地認為是擬合點的高程中誤差。

5 實例分析

5.1 案例概況

檢驗段內選擇了該40 km作為高程擬合區(qū)域，該區(qū)域共有21個GPS點，我們選其中11個點作為擬合的基準點(訓練點)，其余點作為檢驗點，這11個點均勻分布于測區(qū)，且代表了測區(qū)內的高差變化情況，所采集的外業(yè)測量數(shù)據(jù)，在計算中，采用以下兩種計算方法進行對比。

平面擬合整個測區(qū)。

分段采用二次曲面擬合，對于重合區(qū)域采用雙三次樣條函數(shù)進行重新取值。

5.2 兩個模型擬合后精度比較

由表1中可以看出，曲面擬合精度較好，因為曲面擬合可以根據(jù)地形起伏情況對高程異常面進行重新組合，并對區(qū)與區(qū)之間進行光滑連接，從而使擬合曲面盡量符合實際分布。

表1 擬合精度比較表 cm

6 GPS擬合精度提高的措施

GPS外業(yè)測量受到多種因素的影響導致GPS高程擬合精度的下降，所以我們必須對GPS外業(yè)的觀測和GPS內業(yè)的作業(yè)來提高GPS高程的擬合精度，GPS外業(yè)觀測的方法和GPS內業(yè)擬合模型的選擇成為GPS擬合后精度提高的作業(yè)關鍵，為了這個目的，我們可以采取以下幾種方法:

1)GPS外業(yè)數(shù)據(jù)采集質量的提高和外業(yè)數(shù)據(jù)采集數(shù)量的增加;

2)星歷狀況要良好以提高測站測定大地高精度;

3)觀測條件適宜以提高聯(lián)測幾何水準的精度;

4)選擇合適的模型以提高擬合計算的精度。

［1］張正祿.工程測量學［M］.武漢:武漢大學出版社，2002:136-155.

［2］孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎［M］.北京:測繪出版社，1996:89-97.

［3］徐紹輇，張華海，楊志強，等.GPS測量原理及應用(修訂版)［M］.武漢:武漢大學出版社，2003.

［4］金時華.多面函數(shù)擬合轉換GPS高程［J］.測繪與空間地理信息，2005(12):95-97.

［5］陶本藻，蔡鳳萍.大范圍GPS水準擬合模型的選取及其實驗研究［J］.工程勘察，2005(1):85-89.