坐標測量機測頭系統誤差檢測中的布點優化與實現

劉璐，潘云龍，扎慶慶，雷瑩

(合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，安徽合肥230009)

0 引言

按照國際標準ISO 10360-1(2000)，坐標測量機(coordinate measuring machine，簡稱CMM))是“a measuring system with the means to move a probing system and capability to determine spatial coordinates on a workpiece surface”。通常我們所說的坐標測量機一般指空間正交坐標系的坐標測量機。

坐標測量機的測頭系統是一個相對獨立的系統，其測量誤差需要單獨測試［1］，國際標準ISO 10360-2給出了測頭系統的誤差檢測策略，本文對該策略的實現方法進行分析并給出一種比標準中推薦算法更為準確具體算法。根據ISO 10360-2 的規定，在檢測測頭系統的誤差時，需要在標準球的半球上均勻采集25 個點，計算所有點的徑向偏差范圍。用全部25 個點計算出最小二乘球的中心，并分別計算出25 個點到該球心的徑向距離r，r的最大值和最小值的差即為探測誤差。在比較各種有關坐標測量機的誤差檢測文獻上的檢測策略［2-3］后，我們給出一種更為準確的布點方法。

1 球面上點的均勻分布

1.1 對ISO 10360 －2:2001［5.2.3.4］的理解思辨

其5.2.3.4 指出測量并記錄25 個點。各點在檢測球的半球上盡可能均勻分布。各點的位置由用戶自行選定，如未規定，則推薦以下探測布點如圖1所示。

檢測球的極點(由探針軸的方位確定)處1 點;極點下方22.5°處4 點(相互等間距);極點下方45°并相對前一組轉22.5°處8 個點(相互等間距);極點下方67.5°并相對前一組轉22.5°處4 個點(相互等間距)極點下方90°(即平分球體面上)并相對前一組轉22.5°處8 個點(相互等間距)。

圖1 目標接觸點

不加證明，我們可以看到，推薦算法將25 個點除原點外分4 層，其僅保證每層中各個點等間距，及每兩層之間角度相等。但是并沒有嚴格按照“各點在檢測球的半球上盡可能均勻分布”對點進行分布例如第四層兩點間距離與第三層兩點距離并不能大致上相等。因此根據“各點位置由用戶自行選定”的原則我們提出新的關于探測點的分布方式使得25 點能夠準均勻分布，并將其實現，在今后的測量機校驗中供用戶選擇使用。

1.2 半球面上點的準均勻分布

文獻［2］將每個點周圍是否存在六個接近正則的三角形作為判斷奇異點的準則，這種方法對平面上的三角網格是適用的，但是對于曲面上的三角網格并不適用。在判斷曲面上三角網格中的奇異點的時候，還應考慮曲面的局部形狀，即一個點的高斯曲率大于零時，一個正則點周圍的三角形的數目應該小于6，而一個點的高斯曲率小于零時，一個正則點周圍的三角形的數目應該大于6。

因此，在一個完整的半球面上最多均勻分布5 個點。也就是說當多于5 個點時，只能得到一個準均勻分布的結果。如果是一個完整的球面，在正二十面體的基礎上細分得到的多面體更接近于正多面體，即每個三角形更接近于正三角形［2］。現在把正二十面體15個三角形和正八面體的一半三角形展開，如圖2，3 粗線所示，虛粗線對應展開處。正二十面體對應的一個細分結果如圖2所示，可以得到26 個準均勻分布的點，這里最外緣的點在半球面之外，不計入分布結果。正八面體對應的一個細分結果如圖3所示，可以得到25 個準均勻分布的點。因此，在坐標測量機測頭系統的檢測中采用圖3所示方案。

圖2 正二十面體部分三角形細分結果

圖3 半球面上準均勻分布25 點

假設圖3 對應上半球面，坐標原點位于球心O，x軸沿OP1方向，z軸沿OP0方向，建立球坐標系。從P0到P1，兩個細分點的球面坐標分別為(R，π/6.0)，(R，π/3.0)，其左邊三角形形心點的球面坐標為(R，arcsin(■6/3)，π/4)，其它點的球面坐標可以相應得到。

圖4 球面坐標系

一個球面坐標為(R，θ，φ)的點對應的直角坐標為(Rsin θ cos φ，Rsin θ sin φ，Rcos θ)。這樣即可以得到球面上準均勻分布的25 個點的直角坐標值。

2 編寫DMIS 測量程序時的一些問題

2.1 DMIS 簡介

DMIS(Dimensional Measuring Interface Specification)意為尺寸測量接口規范。

DMIS 是坐標測量技術中一個雙向數據交換的國際標準，它既是一種工件測量程序的標準語言格式，也是一種測量結果的數據標準格式，它定義了計算機與坐標測量設備間通訊的一種中性數據交換機制。其內容包括檢測規程和檢測結果兩部分，即由計算機系統提供給測量設備所需的檢測規程和最后的測量設備反饋給計算機系統的檢測結果。

2.2 DMIS 測量程序中的回退距離與安全高度

在生成測量程序時，一個重要的問題就是要確定合適的測頭回退距離與安全高度。當測桿末端的小球接觸到工件表面后，需要快速回退一定的距離，然后運動至安全高度，接著運動至下一個被測點的安全高度，進入下一個點的測量過程。因標準球形狀簡單，可以將回退距離與安全高度設成同一值，在考慮測頭與工件的干涉時也只需要考慮測桿端部小球與標準球的干涉。

廣義的干涉問題比較復雜，這里根據本文中考慮的問題的特點，提出一種簡單的計算方法:將標準球向外等距，等距距離為小球的半徑r，如果空間兩點間的連線與等距后的球面無交，則小球在這兩點間沿該線運動時與標準球無干涉。如果測量點之間的運動路徑均為直線，問題可以簡化為一個平面問題，即半徑為r的圓盤直線運動中與半徑為R的圓盤的干涉問題。如果測桿端部小球接觸標準球表面后，直接運動至下一個測量點位置，小球與標準球將發生干涉，如圖5(a)中黑色區域所示。如圖5(b)所示，R0和P1為兩個需要測量的點，利用平面三角可以得到。

圖5 安全高度的計算

當安全高度滿足

時，測桿端部小球與標準之間無干涉。

當時，理論上小球運動過程中與標準球單點接觸。

上述結果是建立在兩點對應的球心角較小這一假設基礎上的π，顯然如果夾角為，采用上述方法無法得到無干涉的運動路徑。在標準球的檢測中，相鄰測量點與球心連線的夾角約在左右π/6，滿足假設，這里選取其中最大的一個計算回退距離。

測量程序采用DMIS 中的單點測量方式編制，在程序開始部分設置回退距離和安全高度等參數，并設置不進行測頭半徑補償。

2.3 25 個測量點的測量順序與DMIS 程序的自動生成

在實際測量中，還要給出25 個測量點的測量順序。根據前面講到過的點分布的位置(除極點外測量點分為三層)，可以知道，每個點之間的直線距離都十分的接近，從頂部開始，此時測頭末端與測量半球正對，不存在測頭半徑補償問題，故以此點為參照進行其他點的測量。之字形測量順序，使得每層的起始位置之間存在一定的角度并且使測頭在兩次球面點的測量過程中走過的路程最短，以符合安全高度的要求和避免不必要誤差。下面給出本文中的測量順序，如圖6 和圖7。

圖6 測量順序(注:測量從開始到結束)

圖7 測量順序的立體俯視圖

3 測頭系統的誤差顯示

在坐標測量機上運行DMIS 程序，坐標測量機將自動測量25 個點，得到實測值。下面一步是要顯示出這些點的誤差。目前，通常采用二維曲線方式顯示測量點的徑向誤差，這種方法不夠直觀，難于分析徑向誤差與測量點方位的關系。

這里在每個測量點Pi的理論位置繪制一個小球，顯示測量點的誤差εi。小球的半徑ri為每個點誤差εi的一個比例值，比例值e由最大絕對誤差εmax和標準球的半徑R決定，ri=εiRsin(π/12)/εmax，從而保證相鄰兩個點處繪制的小球不會相交。小球的顏色由誤差的正負決定:誤差為正時，小球的顏色為淺色;誤差為負時，小球的顏色為深色。這樣可以直觀地看出各個點的誤差與其位置的關系，一個實測的結果如圖8所示。

4 結論

本文給出了ISO 10360-2 規定的測頭系統檢測策略的新的實現方法。給出了一種半球面上準均勻分布25 個點的方法。DMIS 是坐標測量中測量程序的一種標準語言格式，給出了測量程序中的一個關鍵參數——安全高度的簡單計算方法。最后給出了一種測量點三維誤差的可視化方法，為測頭系統的誤差分析提供方便。

圖8 測頭系統誤差的三維顯示俯視圖

［1］A Weckenmann，T Estler，G Peggs，D McMurtry.Probing systems in dimensional metrology［J］.CIRP Annals- Manufacturing Technology，2004，53(2):657-684.

［2］Paulo Cauchick-Miguel，Tim King，Jim Davis.CMM verification:a survey［J］.Measurement，1996，17(1):1-16.

［3］John G.Ratcliffe.Foundations of Hyperbolic Manifolds［M］.2rd ed.［S.l.］:New York/Springer，2006.