拋物方程方法的非均勻網格技術研究

張青洪 廖 成 盛 楠 陳伶璐

(西南交通大學電磁場與微波技術研究所，四川 成都 610031)

引 言

近年來，對流層電波傳播問題的研究引起了國內外學者的廣泛關注，特別是大氣波導對通信系統、雷達系統以及電子系統的影響已成為各國學者關注的焦點[1-5].

拋物方程(Parabolic equation,PE)方法可以同時處理復雜大氣結構和不規則地形對電波傳播的影響，能在相同距離點上計算不同高度的電波衰減值，因而PE既能預測點對點之間的路徑傳播損耗，也可以進行區域電磁特性覆蓋預測，是目前計算對流層電波傳播問題最為準確、有效的模型之一[6].

自20世紀40年代Leontovich和Fock[7]首次提出PE方法以來，雖然人們在不斷地研究效率高、準確性好、穩定性強的PE數值解法，但都是基于均勻網格來實現的[8-9].若整個計算域皆采用一致性細網格來描述，則勢必占用過多的計算資源和較長的運算時間，這對于一些偵察遠距離目標的雷達系統，將很難滿足其實時性的要求；若采用一致性粗網格來描述，則會給PE的計算帶來較大的誤差.基于此，本文研究了PE的非均勻網格技術，在保證計算精度的同時，提高其計算效率.

目前，PE的數值解法主要有分步傅里葉解法(Split-Step Fourier Transform,SSFT)和有限差分解法[10-11].在大尺度傳播環境中，SSFT可方便地用于計算傳播空間媒質變化、地形起伏變化及地表電磁參數變化等條件下的電波傳播問題[12].另外，相對于有限差分解法，SSFT是一種采用了快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)技術的頻域算法，在步進求解過程中，其步長幾乎不受波長的限制，因此適合與非均勻網格技術相結合.本文將采用SSFT研究PE的非均勻網格技術，并利用該技術求解復雜大氣結構中不規則地形上的電波傳播問題以及研究非整格點上的場值求解方法，同時將計算結果與傳統PE進行對比，以驗證該算法的高效性.

1 拋物方程的非均勻網格技術

設電磁場時諧因子為e-iωt，在直角坐標系(x,y,z)下，假設ψ為任意場分量，且與y無關，則對于水平極化波，只有Ey為非零的電場分量，即ψ(x,z)=Ey(x,z)；對于垂直極化波，只有Hy為非零的磁場分量，即ψ(x,z)=Hy(x,z).在電波傳播過程中，ψ滿足二維標量波動方程[13]

(1)

式中：k0為真空中的傳播常數；n為媒質的折射率.定義沿x軸正向傳播的波函數為

u(x,z)=e-ik0xψ(x,z)，

(2)

將u(x,z)代入波動方程(1)中可得

(3)

假設在電波傳播過程中折射指數n不隨距離x變化，將式(3)分解化簡可得前向拋物方程

(4)

式中：Q為偽微分算子，且

(5)

由于存在偽微分算子Q，在復雜的邊界條件下方程無法得到解析解，必須對Q作近似處理，通過數值方法來求解.采用Feit-Fleck近似[14]，可以得到Feit-Fleck型寬角PE方程為

ik0(n-1)u(x,z).

(6)

利用SSFT算法求解可得

(7)

SSFT是一種步進算法，因此必須先計算場的初始值才能步進求解.拋物方程初始場的求解公式為

ug(x0,z)

sin(pz)dp).

(8)

式中：A(p)為發射天線的方向圖函數，且p=k0sinα；Ht為天線的高度；R為地面的反射系數，計算公式如式(9)

(9)

2 數值算例

2.1 水平地面電波傳播特性仿真及分析

為了驗證PE方法非均勻網格技術的有效性，本文先仿真了電波在水平地面上的傳播特性，并將其仿真結果與采用均勻細網格及雙射線法計算的結果進行對比.

圖1為電波傳播至50.04 km處不同高度上的傳播因子.由圖1可知：PE采用非均勻網格技術計算的結果與采用均勻細網格及雙射線法計算的結果吻合很好，由此驗證了拋物方程非均勻網格技術的有效性.

圖1 電波傳播50.04 km時不同高度上的傳播因子

表1為分別采用均勻細網格和非均勻網格時PE計算所需要的網格空間(水平網格數×高度網格數)和計算時間對比.

表1 網格空間和計算時間對比

從表1可以看出：采用非均勻網格技術的PE節省了計算所占用的內存空間和所需時間，提高了計算效率.

2.2 標準大氣結構中不規則地形上的電磁特性模擬及分析

本算例計算了一個包含不規則地形、標準大氣結構等復雜環境的電磁特性，具體的參數設置如下：

1) 發射源信息

發射天線高25 m，發射頻率為1 GHz，天線水平極化，其方向圖為2.1所述的高斯方向圖函數，其中：θbw=3°.

2) 環境信息

假設地面上大氣為標準大氣.地表的相對介電常數為15，導電率為0.03 S/m，地形剖面如圖2所示，其中尖峰A高度H1= 50 m，距發射站 3.04 km，尖峰B高度H2=80 m，距發射站8 km，尖峰C高度H3=80 m，距發射站10 km，正弦山峰D的地形函數為

-ω

(10)

式中：h=150 m；x1=16 km；w=1 km.

圖2 地形剖面圖

本算例中非均勻網格劃分的標準為：在有不規則地形存在的區域采用細網格，而其它區域采用粗網格.圖3和圖4為分別采用均勻粗網格和非均勻網格計算得到的全空間電波傳播因子分布偽彩圖.

圖3 采用均勻粗網格時空間傳播因子偽彩圖

圖4 采用非均勻網格時空間傳播因子偽彩圖

由圖3和圖4可知：PE采用均勻粗網格計算的結果中忽略了第一個尖峰的影響，且對地形的體現也比較粗糙，而采用非均勻網格則能更好地描述地形對電波傳播的影響，其計算結果更準確.

圖5為電波傳播至20.04 km時不同高度上的傳播因子輸出，并將其與PE采用均勻細網格及均勻粗網格計算的結果進行對比.

圖5 電波傳播至20.04 km處不同高度上的傳播因子

由圖5可知：PE采用均勻粗網格時計算結果產生了較大誤差，而采用非均勻網格計算的結果與采用均勻細網格計算的結果吻合很好，且其計算結果更精確.

表2為分別采用均勻細網格和非均勻網格時拋物方程網格空間(水平網格數×高度網格數)及計算時間對比.

表2 網格空間和計算時間對比

由表2可知：在本算例中，相對于均勻細網格而言，采用非均勻網格技術后，PE的網格數下降達68%，計算時間減少了71%.這表明采用非均勻網格技術的PE既保證了計算精度，又極大地減少了計算所占的內存和時間，具有高效性.

2.3 非整格點上的電場值求解

圖6中，r和r+Δx在整格點上，D點位于非整格點上.

圖6 非整格點網格示意圖

傳統的PE計算過程中，非整格點處的場值一般是通過前后二格點處的場值線性插值得到，具體的插值方法為

(11)

通過采用非均勻網格技術來計算，具體就是在D處取Δx=D-r，這樣就相當于把D轉換到整格點上，進而求解.

采用2.2節中綜合環境的算例，計算了電波傳播至20 km時不同高度的衰減.

圖7為不同距離處的網格步長分布圖.

圖7中非均勻網格采取的最小步長為20 m，最大步長為160 m，需要得到20 km處不同高度的場值.由于距離20 km不在整格點上，故它步長單獨處理，此時Δx=40 m.

圖8為采用非均勻網格PE計算的結果與采用線性插值及均勻細網格計算結果的對比圖，算例中均勻細網格步長值為20 m，此時計算距離剛好處在整格點上.

由圖8可知：PE采用非均勻網格計算的結果與采用均勻細網格計算的結果一致，比線性插值結果更準確，因此更適合于求解非整格點上的場值.

圖7 非均勻網格步長分布圖

圖8 電波傳播至20 km時不同高度傳播因子對比

3 結 論

研究了拋物方程方法的非均勻網格技術，并結合典型對流層環境的電波傳播問題對其有效性和準確性進行了驗證.實例仿真了復雜大氣結構中不規則地形上的電波傳播特性，并將計算精度、計算時間等與均勻網格拋物方程結果進行對比.結果表明，采用非均勻網格的PE既具有良好的精度,又能減少計算內存和時間，具有綜合優勢，這對快速而準確地預測電磁波在復雜環境中的傳播特性具有重要的意義.

[1] ATKINSON B W,ZHU M.Coastal effects on radar propagation in atmospheric ducting conditions[J].Meteorological applications,2006,13(1):53-62.

[2] 姚景順，楊世興.拋物方程模型在海上電波傳播中的應用[J].電波科學學報,2009,24(3):493-497.

YAO Jingshun,YANG Shixin.A terrain parabolic equation model for propagation over the ocean[J].Chinese Journal of Radio Science,2009,24(3):493-497.(in Chinese)

[3] ZHAO X L,HUANG J Y,GONG S H.Modeling on multi-eigenpath channel in marine atmospheric duct[J].Radio Science,2009,44(1):1-5.

[4] 康士峰,葛德彪,羅賢云,等.拋物型波方程方法研究復雜環境對雷達和通信傳播的影響[J].電子學報,2000,28(6):68-71.

KANG Shifeng,GE Debiao,LUO Xianyun,et al.Study on effects of the complex environment on radar and communication propagation with the method of parabolic equation[J].Chinese Journal of Electronics,2000,28(6):68-71.(in Chinese)

[5] 楊 超,郭立新,李宏強,等.大氣波導中電波傳播特性的研究[J].西安電子科技大學學報,2009,36(6):1097-1102.

YANG Chao,GUO Lixin,LI Hongqiang,et al.Study the propagation characteristic of radio wave in atmospheric duct[J].Journal of Xidian University,2009,36(6):1097-1102.(in Chinese)

[6] 胡繪斌,毛鈞杰,柴舜連.大氣折射率剖面在寬角拋物方程中的應用[J].微波學報,2006,22(1):5-8.

HU Huibin,MAO Junjie,CHAI Shunlian.Application of atmosphere refractivity profile in wide -angle parabolic equation[J].Journal of Microwaves,2006,22(1):5-8.(in Chinese)

[7] LEONTOVICH M A,FOCK V A.Solution of propagation of electromagnetic waves along the earth’s surface by the method of parabolic equation[J].J Phys USSR,1946,10(1):13-23.

[8] 郭建炎,王劍瑩,龍云亮.森林中電波傳播的拋物方程法[J].電波科學學報,2008,22(6):1042-1046.

GUO Jianyan,WANG Jianying，LONG Yunliang.Parabolic equation model for wave propagation in forest environments[J].Chinese Journal of Radio Science,2008,22(6):1042-1046.(in Chinese)

[9] 李廣成,郭立新,吳振森,等.障礙物對蒸發波導中電波傳播影響研究[J].電波科學學報,2011,26(4):621-627.

LI Guangcheng,GUO Lixin,WU Zhensen,et al.Influence of obstacle towards electromagnetic wave propagation in the evaporation duct [J].Chinese Journal of Radio Science,2011,26(4):621-627.(in Chinese)

[10] 胡繪斌,柴舜連,毛鈞杰.寬角拋物方程在阻抗邊界條件下的應用[J].電波科學學報,2005,20(4):500-504.

HU Huibin,CHAI Shunlian，MAO Junjie.Application of the wide-angle parabolic equation under impedance boundary condition[J].Chinese Journal of Radio Science,2005,20(4):500-504.(in Chinese)

[11] 方 劍,林為干,趙愉深.電磁波在對流層中傳播的拋物化方程的有限差分解法[J].電子科學學刊,1995,17(3):315-320.

FANG Jian,LIN Weigan,ZhAO Yushen.Numerical solution of the parabolic equation representing electromagnetic wave propagation in the troposphere using box method[J].Journal of Electronics,1995,17(3):315-320.(in Chinese)

[12] 李德鑫,楊日杰,王元誠,等.雙向DMFT算法研究不規則地形條件下的電波傳播特性[J].航空學報,2011,32:1-9.

LI Dexin,YANG Rijie,WANG Yuancheng,et al.Characteristics of radio wave propagation in irregular terrain environment by the twoway Improved DMFT algorithm[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2011,32:1-9.(in Chinese)

[13] LEVY M.Parabolic Equation Methods for Electromagnetic Wave Propagation[M].London:IEEE Press,2000.[14] FEIT M D,FLECK J A.Light propagation in graded -index fibers[J].Applied Optics,1978,17(24):3990-3998.