雙散射環境下互耦對多入多出系統容量的影響

李岳衡 彭文杰 燕 璐 居美艷 黃 平

(河海大學計算機與信息學院，江蘇 南京 211100)

引 言

多入多出(Multiple Input and Multiple Output，MIMO)多天線收發技術是新一代綠色無線通信系統中實現高速數據傳輸的關鍵技術之一. 已有研究結果表明[1]，收發端散射環境導致的陣列接收信號空域相關性會對MIMO系統容量產生顯著影響. 對于收發兩端皆使用天線陣列的多天線系統，隨著整個系統尤其是移動終端日漸小型化的發展需求，天線陣元間的互耦效應已不可避免地成為影響陣列空域相關性和系統容量的重要因素[2-3]. 在已發表的研究成果中，文獻[4]初步給出了互耦對MIMO信道空域相關性及系統容量的影響；文獻[5]報道了多元陣列天線間的互耦對MIMO系統容量的影響，但僅考慮了接收端天線存在互耦效應的情形. 這些研究雖然分析了天線單元間互耦可能對空域相關性的影響，不過其所采用的信道模型都是基于簡單獨立同分布的瑞利衰落模型，故不具普遍性和現實性.

顯然在具體考慮互耦效應對MIMO系統性能影響之前，選擇或者建立一個合適的MIMO傳輸信道是非常有必要的，如此則可最大程度地模擬互耦效應對實際MIMO通信系統的功用，并在此基礎上對原系統加以改進與完善. 文獻[6]給出了一種基于散射效應的非頻率選擇性Rice衰落幾何單反傳輸模型，但該模型僅適用于發射端天線較高，即其周圍不存在阻擋電波傳播的障礙物，且散射體只存在于接收端的情形. 顯然在實際MIMO信道中，散射體的位置不僅僅位于接收端周圍，在發射端周圍也應有大量散射體存在. 為此文獻[7-8]考慮了更切合實際的散射體位于收發兩端的情況，但論文的應用背景是大尺寸MIMO系統，忽略了收發兩端天線陣元本身的互耦效應對MIMO系統容量的影響，故其研究結論不適合緊湊型MIMO系統. 文獻[9]雖然分析了天線單元間的互耦對室內MIMO無線信道的影響，亦即考慮了散射體位于發射端與接收端的情況，但并沒有給出散射體排列等參數對MIMO系統容量影響的具體分析，研究內容不夠完善.

1 陣列互耦效應

當兩個或者多個天線近距離放置時，天線之間由于電流或電場的耦合會產生相互間的干擾，這種干擾就是所謂的互耦效應. 天線間互耦效應通常用耦合系數矩陣來表征.

圖1 陣列互耦網絡模型

如圖1所示即為陣列互耦網絡模型.n元天線陣受來波照射之后在每個陣元上激發電動勢Vi1，Vi2，…，Vin；zL1，zL2，…，zLn為負載阻抗，z11，z22，…,znn為天線自阻抗. 由文獻[10]的推導過程可知：若耦合系數矩陣在不計互耦時為單位陣，則在考慮互耦時耦合系數矩陣為

(1)

式中：ZL=diag(zLi),(i=1,2，…，n)是負載對角矩陣；In是n維單位矩陣；Z=(zij),(i=1,2，…，n) 是互阻抗矩陣；Zs=diag(zii),(i=1,2，…，n)是自阻抗矩陣. 假設各個天線的自阻抗相等且負載阻抗zL1等于自阻抗的共軛，此耦合系數矩陣可通過以下公式求得[10]：

Cr=(zL1+z11)(ZL+Z)-1.

(2)

以陣元自阻抗z11，以及陣元1和陣元2的互阻抗z12為例，Z矩陣各元素的求法如下[11]：

z11= 30×[0.577+ln(8πl/λ)-ci(8πl/λ)+

jsi(8πl/λ)];

(3)

(4)

互耦效應最終對整個陣列接收信號的影響可表示為

式中：v=[V1,V2,…,Vn]T為計及互耦效應后天線陣各陣元的接收信號矢量；vi=[Vi1,Vi2,…,Vin]T為不考慮互耦效應時各天線陣元上的接收信號矢量.

2 雙散射環境MIMO系統傳輸特性

2.1 雙散射MIMO信道傳輸模型

在非視距(Non-Line-of-Sight，NLOS)傳播中，無線傳輸信道的兩端一般會產生散射衰落. 為研究方便，僅考慮信號為平面波的近場散射MIMO傳輸模型. 文獻[7]最早提出并研究了一個雙散射環境MIMO信道傳輸模型.

如圖2所示，發射端和接收端分別由M和N

圖2 雙散射MIMO傳輸模型

個全方向天線組成線陣，且周圍都圍繞著大量散射體，以至于無法實現視距(Line-of-Sight，LOS)傳輸. 假設兩端散射半徑分別為Dt和Dr，R表示發送端散射體到接收端散射體之間的距離，發送端和接收端天線間距分別為dt和dr，發送端和接收端的角展度分別為αt和αr，αS表示發送端散射體到接收端散射體的角展度，發送端散射體和接收端散射體到各自天線陣的距離分別為Rt和Rr.

在雙散射傳輸模型中，

(6)

(7)

假設收發兩端周圍的散射體個數都是S，則接收散射體的角展度為

(8)

2.2 信號相關特性分析

據文獻[12]可知，存在散射的情況下，天線陣元m和陣元k之間的相關系數可表示為

(9)

式中：p(α)是波達方向的概率密度函數；αr為接收端角展度. 當波達角在[-αr/2，αr/2]區間服從均勻分布時，有近似相關系數公式[7]為

式中：Rαr,dr為N×N階接收端相關系數矩陣；S(奇數)表示散射體數量； αr,i表示接收端散射線陣第i個散射體發射信號到接收天線線陣的波達角. 若設置參數值：Rt=Rr=50 m，波達方向滿足均勻分布時，可得圖3所示天線1和天線2之間相關系數隨散射體半徑變化的曲線.

圖3 波達方向為均勻分布時相關系數

圖3中實線表示由公式(9)所得天線陣元間相關系數的理論值，虛線表示由近似相關系數公式(10)所得的陣元間相關系數的仿真值. 從圖3可以看出：當天線間隔小于λ/2時，相關系數隨散射體半徑的增大而減小，且相關系數值都比較大；當天線間隔大于λ/2時，相關系數剛開始隨散射體半徑的增大而減小，最后接近于貝塞爾曲線.

若波達方向角服從零均值高斯分布，即波達方向角概率密度函數p(α)滿足[12]

(11)

圖4 波達方向為高斯分布時相關系數

在收發兩端都存在散射體的情況下，由文獻[7]可知信道傳輸系數矩陣為

(12)

式中：Rαr,dr、RαS,2Dr/S、Rαt,dt分別為N×N、S×S、M×M維的接收天線陣、接收端散射線陣與發射端散射線陣、以及發射天線陣的相關系數矩陣；Gr和Gt分別是N×S和S×M維的瑞利衰落矩陣.

公式(12)揭示了各散射參數可能對MIMO信道傳輸性能的影響，尤其展示了散射體半徑和天線間距對計算MIMO系統信道傳輸特性的重要性.

2.3 信道容量計算

根據Foshini經典MIMO信道容量公式[13]，對于M×N的MIMO系統，有

(13)

式中：IN為N×N單位陣；ρ為接收陣元平均信噪比；M為發射端天線個數；H為信道傳輸矩陣.

把式(12)代入到式(13)，并設定系統各位置參數如下：發射天線陣與接收天線陣之間的距離為R=10 km；散射體個數S=21；發射端天線陣與接收端天線陣到散射體之間的距離為Rt=Rr=50 m；發射天線和接收天線個數同為4，即M=N=4；信噪比ρ=20 dB；發射端天線間距和接收端天線間距為dt=dr=0.5λ. 由于信道容量是一個隨機變量，迭代10 000次，可得到雙散射體環境下MIMO系統信道容量的仿真結果如圖5所示.

圖5 散射體半徑對信道容量的影響

由上述仿真結果可知，在散射體數目固定、發射端散射體半徑與接收端散射體半徑相同的前提下，MIMO系統容量與散射體半徑有密切的聯系. 在散射體半徑變大的情況下，系統容量隨散射體半徑的增大而變大，這是由于陣元間相關系數隨散射體半徑增大而下降導致的.

3 互耦效應對MIMO系統容量影響

由式(9)可以得出相鄰陣元m、k在不計互耦效應時接收信號之間的相關系數，而由式(5)進一步可得在計及互耦效應下的接收陣列相關系數矩陣[11]為

式中：Rαr,dr是不計互耦時接收矢量的相關系數矩陣；Cr為接收端互耦系數矩陣. 根據MIMO信道Kronecker分解模型[14]及類似推導過程，可以推出存在互耦效應下發射陣列相關系數矩陣為

(15)

式中Ct為發射端陣列互耦矩陣.

所以在考慮互耦效應后，原不考慮耦合效應的信道傳輸系數矩陣可拓展為

在發射端天線單元功率平均分配時，考慮互耦效應的MIMO多天線系統信道容量計算公式為

(17)

假設MIMO系統采用4根發射天線和4根接收天線，則互耦網絡傳輸矩陣依陣元間對稱特性可寫為

(18)

式中參數a、b、c、d可由式(1)～(4)計算得出.

由式(9)、式(15)～(18)可以計算出天線來波方向服從均勻分布時，四元線陣MIMO系統在計及和不計互耦效應時的“信道容量-累積分布函數”的關系變換圖，如圖6所示.

由圖6可以看出：在雙散射環境下，互耦效應的存在會降低MIMO多天線系統的信道容量；尤其隨著天線陣元間距的縮短，互耦效應對信道容量的影響愈發明顯. 以陣元間隔0.2λ為例，互耦效應使信道容量下降約16%.

圖6 均勻分布下MIMO信道容量累計概率分布曲線

當天線來波方向服從均勻分布時，MIMO系統在計及互耦和不計互耦時，信道容量隨散射體半徑增大而變化的曲線圖如圖7所示.

由圖7可以看出：在雙散射體環境下，當來波角譜滿足均勻分布時，不論是不計互耦還是計及互耦，信道容量都隨著散射體半徑的增大而增大. 但結合圖3相關系數仿真曲線可明顯看出：當陣元間距很小時，比如0.1λ，陣列相關性明顯增大，此時計及互耦后MIMO信道容量將比不計互耦時明顯要小；隨著陣元間距的不斷增大，互耦效應亦隨之減弱，此時計及互耦和不計互耦下的MIMO信道容量曲線逐漸趨于重合.

圖7 均勻分布下MIMO信道容量

當來波方向服從高斯分布時，計及與不計互耦效應時系統信道容量隨陣元間距和散射體半徑變化的仿真曲線圖如圖8所示.

圖8 高斯分布下MIMO信道容量

由圖8可以看出，波達方向為高斯分布的MIMO系統容量隨散射體半徑或天線間距變化的曲線和均勻分布的情形基本類似. 只不過與圖7相比，均勻分布下信道容量增加的速度更快，也就是波達方向為均勻分布的天線對散射體半徑和天線間距的變化更為敏感. 同時，波達方向為高斯分布的平均容量大于波達角是均勻分布的平均容量.

圖9同樣顯示了計及互耦和不計互耦情況下，當接收天線分別為0.2λ和0.3λ時，入射波到達方向角服從高斯分布時，MIMO系統“信道容量-累積分布函數”曲線圖.

圖9 高斯分布下MIMO信道容量累計概率分布曲線

由圖9可知：天線間距增加時，波達方向角為高斯分布的相關瑞利衰落信道的平均容量小幅增加；同時，互耦效應也會降低MIMO信道容量. 不過與圖6相比可以明顯看出：隨著天線間距的增大，波達方向角為均勻分布的平均容量增加速度要比高斯分布的更快，也就是波達方向角為均勻分布的天線系統對天線間距的變化更敏感.

當天線間距為0.2λ時，從圖10兩種分布的比較仿真可以進一步看出，在天線間距較小時，互耦效應對于均勻分布的影響要大于對于高斯分布的影響. 因此，波達方向為高斯分布時的MIMO通信系統的穩定性和可靠性要比均勻分布好.

圖10 天線間距較小時均勻和高斯分布信道容量比較

4 結 論

論文主要研究了收發兩端存在雙散射體這一較符合實際信道傳輸情形下，緊湊型MIMO系統中陣元互耦效應對MIMO信號空域相關及信道容量的影響. 研究結果表明，雙散射信道中陣列信號的空域相關性與散射體半徑之間有密切的聯系，增大散射體半徑可以明顯地降低陣列空域相關性、提升系統容量；此外，在小尺寸天線間距(0.1～0.5λ)下引入陣元耦合效應時，不論散射體半徑如何變化基本上耦合效應都將降低系統信道容量. 另外，當波達方向為高斯分布時，MIMO系統的容量穩定性要優于波達方向為均勻分布時的MIMO系統.

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