航空錐齒輪減振阻尼環(huán)設(shè)計(jì)與分析

黃宏亮，李貴林，歐代松

（中航工業(yè)燃?xì)鉁u輪研究院，成都 610500）

0 引言

航空錐齒輪為減輕質(zhì)量通常采用薄幅板和窄輪緣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，由于齒輪在傳動(dòng)誤差等激勵(lì)下產(chǎn)生周期變化的動(dòng)載荷，在一定條件下會(huì)激起薄幅板窄輪緣齒輪的行波共振。有時(shí)結(jié)構(gòu)調(diào)頻極為困難，在避開了最危險(xiǎn)最基本的低階頻率后，可在齒輪的適當(dāng)部位安裝阻尼結(jié)構(gòu)，降低共振應(yīng)力到安全水平之下，不失為一種有效的方法。目前，在國外齒輪減振阻尼環(huán)技術(shù)已在發(fā)動(dòng)機(jī)上得到應(yīng)用，如GE90發(fā)動(dòng)機(jī)就在中央傳動(dòng)錐齒輪上采用了阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)，普惠公司的K.Buyukataman等人則分析了阻尼環(huán)等效阻尼的理論計(jì)算方法[1-2]，但由于沒有結(jié)合有限元方法來確定阻尼環(huán)尺寸、安裝過盈量和安裝位置等關(guān)鍵參數(shù)，其建立的接觸壓力和耗能計(jì)算公式還值得商榷。

本文為確定安裝在中央傳動(dòng)錐齒輪上的阻尼環(huán)關(guān)鍵參數(shù)，從理論分析和仿真分析2個(gè)方面探討阻尼環(huán)設(shè)計(jì)分析方法和流程，得出指導(dǎo)設(shè)計(jì)的相關(guān)結(jié)論。

1 界面接觸理論分析

1.1 分析模型

1.1.1 模型簡化假設(shè)

阻尼環(huán)組合結(jié)構(gòu)理論分析采用一定的簡化處理（如圖1所示），并基于以下假設(shè)[1]：

（1）輪緣和阻尼環(huán)都為圓柱薄殼體（滿足t/D＆lt;0.1。t為圓柱殼體的厚度，D為圓柱殼體的平均直徑）。

（2）輪緣和阻尼環(huán)組合結(jié)構(gòu)僅產(chǎn)生彈性變形，阻尼環(huán)為柔性，輪緣為剛性。

（3）在行波共振中，輪緣和阻尼環(huán)在徑向不發(fā)生分離。

（4）接觸面的摩擦系數(shù)為常數(shù)，沿圓周單位弧長上的正壓力均勻。

圖1 錐齒輪附加阻尼環(huán)的真實(shí)結(jié)構(gòu)和簡化結(jié)構(gòu)

1.1.2 界面接觸耗能機(jī)理假設(shè)

當(dāng)輪緣在外界激勵(lì)下發(fā)生行波共振時(shí)，輪緣與阻尼環(huán)組合結(jié)構(gòu)發(fā)生一致的彎曲變形，輪緣和阻尼環(huán)的外側(cè)纖維受拉伸長、內(nèi)側(cè)纖維受壓縮短，接觸面分別為輪緣內(nèi)側(cè)和阻尼環(huán)外側(cè)，2種結(jié)構(gòu)在接觸面上由于變形不協(xié)調(diào)產(chǎn)生相對滑移，形成干摩擦，耗能產(chǎn)生阻尼[3]。

1.1.3 節(jié)徑共振時(shí)的子結(jié)構(gòu)模型

當(dāng)輪緣和阻尼環(huán)組合結(jié)構(gòu)發(fā)生N節(jié)徑共振時(shí)，以相鄰2條節(jié)線之間的部分（-π/2N≤θ≤π/2N）為1個(gè)子結(jié)構(gòu)[3]，如圖2所示。

圖2 組合結(jié)構(gòu)子結(jié)構(gòu)

1.2 界面接觸分析

1.2.1 切向接觸分析

（1）界面切向變形分析

當(dāng)圓環(huán)發(fā)生N節(jié)徑振動(dòng)時(shí)，圓環(huán)的任意角度位置點(diǎn)的徑向位移w可表達(dá)為[5，7]

式中：w為圓環(huán)上θ角度處的徑向位移（向環(huán)心為“-”，向外為“+”）；W0為圓環(huán)上 θ=0位置點(diǎn)徑向振幅；N為節(jié)徑數(shù)；θ為圓環(huán)上任意位置點(diǎn)的角坐標(biāo)；ω為結(jié)構(gòu)振動(dòng)圓頻率。

圓環(huán)的撓曲線微分方程為[6]

式中：M為彎矩；EI為彎剛度，E為彈性模量，I為截面對中性軸的慣性矩；R為圓環(huán)變形前中性軸曲率半徑；ρ為圓環(huán)變形后中性軸曲率半徑。

圓環(huán)彎曲時(shí)的切向應(yīng)變?chǔ)舃為[3,13]

式中：εb為圓環(huán)彎曲的圓周切向應(yīng)變；σb為圓環(huán)彎曲的正應(yīng)力；C為圓環(huán)的半厚度。

（2）界面切向滑移分析

輪緣和阻尼環(huán)一致彎曲時(shí)在同一角度位置點(diǎn)的切向應(yīng)變差Δε為

式中：Δε為圓周切向應(yīng)變差；εr為輪緣彎曲的圓周切向應(yīng)變；εd為阻尼環(huán)彎曲的圓周切向應(yīng)變；Cr為輪緣的半厚度，Cr=Rr-Rt；Cd為阻尼環(huán)的半厚度，Cd=Rt-Rd；Rr為輪緣的中面半徑；Rd為阻尼環(huán)的中面半徑；Rt為接觸面處的半徑。

由材料力學(xué)可知

式中：Ad為阻尼環(huán)的橫截面面積；f為圓周切向分布力函數(shù)；v為圓環(huán)上θ角度處的周向位移；Δv為周向相對位移。

由此可得

由式（7）、（8）可知，接觸面上每 1微元點(diǎn)沿周向做相對簡諧運(yùn)動(dòng)，每1微元點(diǎn)的干摩擦遲滯回線如圖3所示[10]，則有：當(dāng) V（θ）＆lt;μP/kd時(shí)，處于沿 OB 段的彈性變形階段，無相對滑移；當(dāng) V（θ）=μP/kd時(shí)，處于彈性變形到塑性變形的過渡階段，此時(shí)為臨界狀態(tài)；當(dāng)V（θ）＆gt;μP/kd時(shí)，沿 BC 段運(yùn)動(dòng)時(shí)存在塑性變形，有相對滑移。其中：kd為θ角度處微元點(diǎn)的的切向剛度 ，kd=f/Δv=T1/T2=N2AdE/（RdRt）；P為接觸面線壓力。

圖3 每1微元點(diǎn)的遲滯回線

定義 2個(gè)參變量 x=μP/（T1W0）、θ0=arcsin（μP/（T1W0））/N，由此可知：當(dāng) x≥1時(shí)，V（θ）＆lt;μP/kd，阻尼環(huán)上每1點(diǎn)都無相對滑移，處于全部黏鎖狀態(tài)，此時(shí)總是無耗能；當(dāng)x＜1時(shí)，在組合結(jié)構(gòu)半子結(jié)構(gòu)區(qū)內(nèi)的[0,θ0）角度范圍內(nèi)，V（θ）＆lt;μP/kd，在該區(qū)間內(nèi)無相對滑移；在（θ0,π/2N]角度范圍內(nèi)，V（θ）＆gt;μP/kd，在該區(qū)間內(nèi)存在相對滑動(dòng)，有耗能功能。

（3）界面切向接觸耗能分析及等效阻尼計(jì)算

每1微元點(diǎn)在每1周期內(nèi)的耗能為圖3中遲滯回線的面積，整環(huán)上每1周期耗能Eall為

式中：EN為每1周期每1子結(jié)構(gòu)區(qū)內(nèi)耗能；Eall為每1周期整環(huán)上耗能（2N個(gè)子結(jié)構(gòu)）；δE為每1微元點(diǎn)在每 1周期內(nèi)的單位弧長耗能，δE=4μP[V（θ）-μP/kd]；Ce為等效黏性阻尼系數(shù)；e（x）為參變量函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，e（x）=x（1-x2）0.5-x2arccos x，當(dāng) x≥1時(shí)，e（x）=0；d l為弧長微元，d l=Rtdθ。

當(dāng) x=0.3924時(shí)，e（x）取最大值 0.18115，此時(shí)，等效阻尼系數(shù)Ce最大，最大等效阻尼系數(shù)Cemax=2.8984T1T2Rt，僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)。

1.2.2 法向接觸分析

動(dòng)配合條件下，輪緣與阻尼環(huán)間的過盈量Δ與接觸壓力P、轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為[8－9]

式中：k1=（2a/E）[（b2+a2）/（b2-a2）+（a2+c2）/（a2-c2）]；k2為結(jié)構(gòu)參數(shù)，k2=（π/30）2ρ（3-2υ）（1+υ）a（b2-c2）/E；a 為輪緣的內(nèi)半徑、阻尼環(huán)的外半徑；b為輪緣的外半徑；c為阻尼環(huán)的內(nèi)半徑；υ為泊松比；ρ為密度。

由此可知：當(dāng)過盈量一定時(shí)，接觸壓力隨轉(zhuǎn)速增加而減小，到一定轉(zhuǎn)速后，接觸壓力為0，配合面脫開；當(dāng)轉(zhuǎn)速一定時(shí)，接觸壓力隨過盈量增大而增大。

1.3 阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)定性結(jié)論

1.3.1 阻尼減振效果的表征參數(shù)

引入表征阻尼減振效果的參變量ζ，定義為降幅比[4，11]，則有

式中：ζ為降幅比；W0、W1分別為未加阻尼環(huán)時(shí)輪體最大振幅和附加阻尼環(huán)后輪體最大振幅；C0、C1分別為未加阻尼環(huán)時(shí)材料自身阻尼系數(shù)和附加阻尼環(huán)后結(jié)合面摩擦阻尼系數(shù)。

由此可知：欲使ζ取極大值，必使Ce取極大值；每1固定阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)存在1個(gè)最大降幅比ζmax，該值由最佳壓力保證。

1.3.2 設(shè)計(jì)時(shí)的定性結(jié)論

（1）參數(shù) Rt越大，ζmax越大，但 Rt決定了阻尼環(huán)的嵌入深度，該深度影響齒根強(qiáng)度，一般要求接觸處離齒根的距離大于2.5m（模數(shù)）。

（2）寬度B越大，ζmax越大，B越大越好，但該值由齒輪的軸向結(jié)構(gòu)尺寸限制。

（3）徑向厚度 Cd越大，ζmax越大，當(dāng) Rt和 B 確定時(shí)，通過調(diào)整Cd來調(diào)整ζmax，當(dāng)某一結(jié)構(gòu)達(dá)不到期望的降幅比時(shí)，就增大Cd直到滿足要求。

（4）當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù) Cd、Rt、B 確定后，由關(guān)系式x=0.3942確定最佳線壓力P。

（5）由共振轉(zhuǎn)速n和最佳壓力P確定過盈量Δ。

2 仿真分析

2.1 初始結(jié)構(gòu)有限元分析

2.1.1 輪體模型

初始幾何結(jié)構(gòu)如圖4所示，和實(shí)際結(jié)構(gòu)相比，其采用了簡化處理，以減小瞬態(tài)響應(yīng)分析計(jì)算規(guī)模。

2.1.2 邊界條件

在MASTA軟件中由傳遞誤差激勵(lì)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)分析得到了齒輪動(dòng)載荷曲線F，施加于輪體上[14-15,17]。在實(shí)際工作中，齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，嚙合的輪齒發(fā)生改變，嚙合點(diǎn)的幾何位置基本不變；在分析中，齒輪周向固定約束，等效為嚙合點(diǎn)沿齒輪旋轉(zhuǎn)方向的反向旋轉(zhuǎn)，力的施加通過命令流實(shí)現(xiàn)。

圖4 初始結(jié)構(gòu)分析模型

2.1.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析

在進(jìn)行的瞬態(tài)響應(yīng)分析中，輪緣及幅板區(qū)域的最大應(yīng)力位于輪緣與幅板交界區(qū)域（幅板內(nèi)側(cè)），輪體的應(yīng)力分布如圖5所示。嚙合點(diǎn)（齒寬中點(diǎn)）的位移響應(yīng)和最大應(yīng)力點(diǎn)等效應(yīng)力曲線如圖6所示。

圖5 初始結(jié)構(gòu)輪體應(yīng)力分布

2.2 組合結(jié)構(gòu)有限元分析

2.2.1 接觸分析

附加阻尼環(huán)后的組合結(jié)構(gòu)如圖7所示。分析了動(dòng)配合過盈量下的接觸壓力為16.4 MPa，如圖8所示。由接觸分析及相關(guān)估算得到了結(jié)合面的等效剛度和阻尼等參數(shù)[3,12]。

2.2.2 瞬態(tài)響應(yīng)分析

為減少計(jì)算量，組合結(jié)構(gòu)結(jié)合面采用MATRIX27單元等效[16]，進(jìn)行了瞬態(tài)響應(yīng)分析，輪緣及幅板區(qū)域的最大應(yīng)力位于幅板與齒輪軸交界區(qū)域(幅板內(nèi)側(cè))，輪體的應(yīng)力分布如圖9所示。嚙合點(diǎn)的位移響應(yīng)和最大應(yīng)力點(diǎn)等效應(yīng)力曲線如圖10所示。

2.3 仿真分析結(jié)論

（1）附加阻尼后，輪體（限于輪緣及幅板區(qū)域）振動(dòng)應(yīng)力最大值由67.9 MPa減少為48.05 MPa，即阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)具有明顯的減振效果，能減少輪體振動(dòng)應(yīng)力。

（2）附加阻尼后，嚙合點(diǎn)的位移幅值較初始結(jié)構(gòu)時(shí)減小，且更符合正弦曲線規(guī)律，即阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)能減少嚙合點(diǎn)處變形，以減少傳動(dòng)誤差和動(dòng)態(tài)嚙合力。

3 結(jié)論

（1）阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)具有明顯的減振效果，能減少振動(dòng)應(yīng)力。

（2）阻尼環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)存在1個(gè)最佳接觸壓力，使阻尼環(huán)等效黏性阻尼系數(shù)最大，耗能最優(yōu)。

（3）通過調(diào)整過盈量可獲得合適的接觸壓力，使阻尼環(huán)耗能最優(yōu)。

（4）阻尼環(huán)設(shè)計(jì)需要反復(fù)迭代計(jì)算，適時(shí)修改結(jié)構(gòu)參數(shù)和安裝過盈量以達(dá)到較優(yōu)減振效果。

（5）需要開展最佳耗能和磨損壽命的折中研究，在保證減振性能要求的同時(shí)延長工作壽命。

（6）需要開展開口環(huán)和多層螺旋圈等其他結(jié)構(gòu)形式的耗能計(jì)算研究，以補(bǔ)償磨損，增強(qiáng)阻尼效果。

（7）需要通過試驗(yàn)驗(yàn)證阻尼環(huán)設(shè)計(jì)方法，確定關(guān)鍵參數(shù)。

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