疏松砂巖油藏水平井管外地層塑性擠壓充填模擬

賈鎖剛，董長銀，武 龍，隆佳佳，馮勝利，陳 君，阿雪慶

(1.中國石油青海油田分公司鉆采院，甘肅敦煌736200;2.中國石油大學石油工程學院，山東青島266580;3.川慶鉆探工程有限公司鉆采工程技術研究院長慶分院，陜西西安710018)

水平井礫石充填包括管外地層礫石充填和套管內循環礫石充填，是一種效果好、有效期長的防砂(完井)工藝。管外礫石充填是指高壓大排量條件下礫石顆粒由攜砂液帶入地層，在管外地層中形成高滲透帶。管外礫石充填技術不但具有良好的防砂效果，而且還可以最大程度降低對油氣井產能的傷害，甚至具有增產作用［1-3］。以上優點使水平井管外礫石充填成為疏松砂巖水平井礫石充填防砂完井的發展方向之一，并已有少量實際應用。文獻［4］中提出了疏松砂巖地層水平井管外礫石充填的兩種模式:裂縫開裂延伸和塑性擠壓破壞模式，并研究了管外地層巖石破壞模式的判別方法。對于水平井地層巖石的破壞研究，重點主要集中在低滲透水平井水力壓裂領域的裂縫開裂條件和裂縫延伸領域［5］，對疏松砂巖地層在高壓擠注條件下的塑性擠壓充填模擬研究幾乎處于空白。文獻［6］根據摩爾－庫侖準則和平面應變軸對稱問題的基本方程，建立了垂直井近井地帶塑性變形區的應力與應變關系數學模型。文獻［7］依據離散元理論，使用商業模擬軟件PFC2D對地層巖石按照膠結強度強、膠結強度中等、膠結強度弱等3種情況進行模擬，得到一些定性認識。但上述研究均未對水平井開展針對性研究，也未形成系統的模擬理論與方法。筆者針對上述水平井管外地層礫石充填問題，基于沿水平井井身軌跡變化的主應力及地層巖石力學參數非均質分布的基礎，建立疏松砂巖地層高壓擠注條件下的水平井管外地層塑性擠壓充填模擬數學模型，預測充填半徑隨施工時間的變化及其沿水平井井身軌跡的分布規律。

1 水平井近井地應力分布

1.1 水平井近井地應力

假設:在地層深處，高壓擠壓井段圍壓起主要作用，并且井筒直徑遠小于施工井段長度，不考慮井眼軸線方向的應變。

基于上述假設，疏松砂巖地層水平井管外地層塑性擠壓充填可簡化為垂直于井筒軸線的平面應變問題。使用柱坐標系，以具有普遍意義的斜井為研究對象，原始地層主應力可分解為斜井直角坐標系下的 σxx、σxy、σyy、σyz、σzz和 σxz6 個應力分量。由于坐標轉換后井周截面上的最大和最小主應力不一定是σxx和σyy，因此，為了得到井周截面上的最大和最小主應力，仍需將坐標系繞z軸逆時針旋轉(圖1)。在繞井眼軸線旋轉過程中，各個面上的應力將發生變化。根據旋轉變換矩陣可得到各個面上轉換后的應力分量 σxx′、σyy′、σzz′、σxy′、σxz′和 σyz′。上述轉換是為了保證得到一個最大應力σxx′和對應的最小應力 σyy′。

應力轉換關系［8］表達式為

其中繞z軸旋轉的變化矩陣為

轉換坐標后的應力分量可表示為

式中，σxx、σyy、σzz和 σxx′、σyy′、σzz′分別為坐標系轉換前、后的主應力，MPa;σxy、σyz、σzx和 σxy′、σxz′、σyz′分別為坐標轉換前、后的剪切應力，MPa;γ為繞井眼軸線z逆時針旋轉的角度，rad。

圖1 坐標系旋轉示意圖Fig.1 Sketch map of coordinate system transformation around z axis

在繞井眼軸線z逆時針旋轉的角度γ從0增加到π的過程中，會出現一個最大的主應力σxx′和對應的最小主應力σyy′。研究表明，3個剪切應力相對于主應力值小一個數量級，計算時忽略剪切應力的作用，即認為巖石受力變形后其應力分布仍保持在垂直井筒軸線的平面上，且井筒截面上應力σxx和σyy的差值要比應力值小一個數量級。所以，可認為井筒受均勻壓應力 σ(R)=(σxx′+σyy′)/2 的作用，建立數學模型可得到沿井周的破壞半徑。

1.2 擠壓條件下水平井近井破壞帶劃分

假設:①水平井裸眼井段井眼軸線為直線，無井筒迂曲;②較短的井眼長度單元情況下地應力沿井軸方向無變化，只隨角度和半徑變化;③近井地帶巖石各向同性;④剪應力數量級比正應力小，可忽略;⑤近井地層圍巖受均勻壓應力作用;⑥破壞模式為塑性擠壓充填。

如圖2所示，將近井地層分為井筒、中間塑性壓實區和遠處彈性變形區。對水平井實施高壓擠壓充填作業時，水平井筒內壓力為pd。開始充填時，攜砂液對井筒周圍巖石進行擠壓充填，巖石發生變形。如圖2所示的充填壓實過程中水平井筒半徑由r0增大為r1，在塑性壓實區域半徑r2以外的地層巖石仍保持原始彈性變形狀態。

圖2 水平井近井擠壓充填帶劃分示意圖Fig.2 Sketch map of compaction packing zone divide around horizontal well bore

2 水平井管外地層塑性擠壓充填模型

2.1 彈性變形區的應力與位移

采用柱坐標系，對于給定的深度h，由r、θ確定空間上一點。任意點(r、θ)處的巖石應變張量的幾何方程［8］為

式中，εz、εr和εθ分別為軸向應變、徑向應變和切向應變;u為巖石單位徑向位移，m;w為巖石單位軸向位移，m。

根據廣義胡克定律可以得到巖石變形的本構方程為

其中

式中，σr、σθ和σz分別為徑向、切向和垂向主應力，MPa;υ為泊松比;E為彈性模量，MPa。

根據假設條件，軸向應力變化和剪切應力可以忽略，則垂直于井筒軸線的截面為平面應變，變形后仍保持為平面。這樣巖石的應力平衡方程式可簡化為

聯立可得

采用分離變量法求解得到方程(7)的通解為

式中，c1和c2為積分常數。

對于彈性區，邊界條件為

式中，R為外邊界半徑，m;r2為塑性壓實區最大半徑，m。

求解可得

彈性區相對位移為

根據式(11)可得彈塑性交界處(r=r2)的相對位移為

2.2 塑性變形區域的應力與位移

在水平井靠近井筒的塑性變形區域內，地層巖石突破彈性變形條件，產生塑性破壞，其應力－應變關系遵從Mohr-Coulun準則，可表示為

式中，σ1為最大主應力，MPa;σ3為最小主應力，MPa;C為巖石內聚強度，MPa;φ為巖石內摩擦角，rad。

在彈性變形階段，井筒內邊界處的徑向及切向應力表示為

對于水平井管外地層塑性擠壓充填，井內壓力較高，一般有pd＞σ(R)。此時 σθ＜σr，徑向應力 σr表現為壓應力，切向應力σθ表現為拉應力，水平井眼直徑擴大，即有σ3=σθ和σ1=σr。根據方程(13)有

將式(15)帶入平衡方程(6)，得

在充填區與塑性區交界處，即r=r1處σr=pd，由此可得

將式(17)帶入式(16)得

在彈性區和塑性區交界處，即r=r2處有

由式(15)和邊界條件式(19)可得

化簡可得到塑性區擴張比為

式中，r1為裸眼塑性擴張半徑，m。

2.3 管外地層擠壓充填區和壓實帶半徑計算

根據水平井塑性擠壓段的巖石體積變化等于彈性變形區的體積變化與塑性壓實帶的體積變化之和的原理，可得

式中，Δ為塑性壓實帶的平均體積應變;r0為水平井筒半徑，m。

疏松砂巖油藏巖石由巖石骨架顆粒和孔隙空間組成，且顆粒間膠結疏松。在進行高壓擠壓充填作業時，隨著泵壓增高，井底壓力增大，地層巖石介質所承載的內部應力也不斷升高，巖石基質顆粒間發生崩塌和聚結。擠壓充填過程中，水平井筒周圍地層巖石介質顆粒之間的原始膠結被破壞，顆粒間隙變小，巖石孔隙度也變小。根據上述分析，塑性變形區的體積應變可按疏松砂巖施工前后的巖石介質孔隙度的比值計算:

式中，φ1為疏松砂巖地層巖石的原始孔隙度，即施工前的地層孔隙度;φ2為高壓擠壓塑性壓實區的巖石介質孔隙度。

對方程(22)進行簡化并忽略［u(r2)］2項可得

在高壓擠壓作業中水平井井底施工壓力高于壓應力，即pd＞σ(R)。因此根據計算得到的彈性變形區位移方程(21)可以推導得到

由式(25)可得井徑擴張率為

方程(26)可用來計算塑性變形帶的擴張率，從而進一步得到井徑擴張率r1/r0，最后可求出塑性擠壓充填帶的半徑r1和塑性壓實帶半徑r2。

3 模擬計算結果分析

某水平井井斜角88.63°，垂深1.18382 km，井斜方位角248.5°。最大原始水平主應力方位角120°，利用測井計算得到的平均地層巖石密度2002.3 kg/m3，最大水平應力構造系數0.902，最小水平應力構造系數0.257。已知該井2.1～2.2 km井段的測井數據，并根據其計算得到巖石力學參數沿井身軌跡的分布規律。

3.1 管外擠壓充填破壞剖面的動態模擬結果

利用本文模型對該算例水平井水平段管外塑性擠壓破壞剖面進行動態模擬。不同井底壓力下的充填形態如圖3所示。

根據圖3的模擬結果可知，由于水平段較長，導致巖石力學參數及地應力的非均質性，管外地層塑性擠壓充填也表現出較強的非均勻性，其充填剖面的分布規律與巖石強度參數的分布規律相似。對比分析結果表明，巖石強度相對較低的井段，最終擠壓破壞的半徑相對較大。算例中，在該井后半段巖石強度相對較高，模擬計算得到的擠壓充填破壞半徑也相對較小。

圖3 水平井管外地層破壞剖面動態模擬Fig.3 Dynamic simulation of failure radius distribution along horizontal wellbore

當井底施工壓力較低時，水平段管外塑性擠壓破壞形態相對比較均勻，充填破壞半徑沿井身軌跡的變化差異不十分明顯。當井底施工壓力達到較高值時，水平段管外塑性擠壓破壞形態及尺寸逐漸沿井身軌跡方向呈現出一定的非均勻性。

3.2 水平井擠壓充填橫向破壞形態靜態模擬結果

使用上述算例水平井井身2.15 km處的巖石力學數據進行管外塑性擠壓充填破壞形態的模擬計算與分析。該位置處地層巖石的內摩擦角為39.1°，巖石內聚力為3.85 MPa，泊松比為0.314，巖石彈性模量為11952 MPa。不同井底壓力下的管外破壞形態如圖4所示。

由圖4可以看出:當井底施工壓力較低時，水平井管外地層塑性擠壓破壞形態相對比較均勻，其沿井周角的非均質性不十分明顯;而當井底施工壓力逐步達到較高值后，管外地層巖石的塑性擠壓破壞形態也表現出一定的非均勻性。這表明，疏松砂巖油氣藏水平井在高壓擠注情況下，近井地帶地層巖石主要受井眼內流體壓力的影響較大，而受外圍地層地應力的影響相對較小。但隨著管外地層塑性擠壓破壞半徑的增加，外圍地層地應力的作用和影響逐漸體現出來，表現為橫向塑性擠壓剖面的非均勻性。

圖4 水平井管外地層徑向破壞剖面動態模擬Fig.4 Dynamic simulation of failure radius around horizontal wellbore

3.3 擠壓充填擴張比敏感性分析

3.3.1 巖石內摩擦角對充填結果的影響

設定如下計算參數:內聚力2.0 MPa，彈性模量800 MPa，巖石泊松比0.3，體積應變0.1，平均井筒截面壓應力σ(R)=20 MPa。不同疏松砂巖內摩擦角條件下，高壓擠壓過程中，井徑擴張率r1/r0及壓實區擴張率r2/r1隨井底壓力pwf變化曲線如圖5所示。

在內摩擦角相同的情況下，井徑擴張率r1/r0隨井底壓力的增大而增大。在井底壓力略高于井筒截面壓應力時井徑擴張率r1/r0接近于1，說明較低的井底壓力不會引起較大的井徑擴張，但其增大速率隨著井底壓力的升高有加大的趨勢。在井底壓力相同的情況下，內摩擦角減小會導致井徑擴張率r1/r0增大。內摩擦角數值越小，井徑擴張率r1/r0增加的幅度越大;反之，增大幅度越小。

在內摩擦角相同的情況下，井底壓力越高，塑性壓實區域擴張率r2/r1越高，兩者成正比關系。當井底壓力相同時，內摩擦角越小，塑性壓實區擴張率r2/r1越大。當內摩擦角數值較小時，塑性壓實區的擴張率r2/r1增幅隨井底壓力的增大而增大。

3.3.2 內聚力的影響

取疏松砂巖的內摩擦角 20°，彈性模量 800 MPa，泊松比0.3，體積應變取0.1，平均井筒截面壓應力σ(R)=20 MPa。不同疏松砂巖內聚力條件下，高壓擠壓過程中，井徑擴張率r1/r0以及壓實區擴張率r2/r1隨井底壓力的變化如圖6所示。

由圖6可以看出:在井底壓力較低的情況下，內聚力對井徑擴張率及壓實區擴張率影響較小;在較高井底壓力下，隨內聚力減小，內聚力對井徑擴張率及壓實區擴張率的影響增大。當內聚力較低時，井底壓力增加到一定程度后，較小的壓力變化就可以引起較大的井徑擴張率變化;當內聚力較高時，井徑擴張率隨井底壓力的變化較小。

圖5 內摩擦角對充填擴張率的影響Fig.5 Influence of rock internal friction angel on extension ratio of packing

圖6 內聚力對充填擴張率的的影響Fig.6 Influence of cohesive strength on extension ratio of packing

3.3.3 彈性模量的影響

取疏松砂巖的內摩擦角20°，內聚力2 MPa，泊松比0.3，體積應變0.1，平均井筒截面壓應力 σ(R)=20 MPa。圖7為水平井高壓擠壓過程中不同彈性模量條件下的井徑擴張率r1/r0隨井底施工壓力的變化關系曲線。

圖7 彈性模量對井徑擴張率的影響Fig.7 Influence of elastic modulus on extension ratio of borehole radius

由圖7可看出，在壓力較低的情況下彈性模量對井徑擴張率影響較小。隨井底壓力升高，彈性模量對井徑擴張率影響變大。在較高的井底壓力下較小的壓力變化就可以引起較大的井徑擴張率變化。

3.3.4 泊松比的影響

取疏松砂巖的內摩擦角20°，內聚力2 MPa，彈性模量800 MPa，體積應變0.1，平均井筒截面壓應力 σ(R)=20 MPa。

圖8 泊松比對井徑擴張率的影響Fig.8 Influence of Poisson ratio on extension ratio of borehole radius

圖8為水平井高壓擠壓過程中不同泊松比下的井徑擴張率r1/r0隨井底施工壓力的變化曲線。由圖8可看出，在低井底壓力情況下曲線基本重合，在較高的井底壓力下各曲線差異也很小，說明泊松比對充填擴張率的影響非常小，可忽略不計。

4 結論

(1)由于沿水平井井身軌跡巖石力學參數及地應力的非均質性，管外地層塑性擠壓充填剖面也表現出較強的非均勻性，并與巖石參數分布規律相關。巖石強度相對較低的井段，最終擠壓破壞的半徑相對較大。當井底壓力較低時，水平段管外塑性擠壓破壞形態沿井身軌跡的變化不明顯;當井底壓力較高時，擠壓破壞形態非均質性逐步變得明顯。

(2)隨井底壓力增高，充填擴張率對各影響因素的敏感性急劇增加。疏松砂巖巖石內摩擦角、內聚力、彈性模量隨著井底壓力的增加對充填擴張率影響增大。泊松比的影響最小，可以忽略。

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