一種提高電力系統頻率檢測精度的改進CZT算法

劉廣孚，夏 雲，張 珊

(中國石油大學信息與控制工程學院，山東青島266580)

頻率是電力系統的主要參數之一，它可以作為系統的狀態反饋量，故在實際應用中有著舉足輕重的作用［1-2］。比如，如果頻率超出了限定值，說明負載可能出現了不匹配現象。此外，頻率也可以用于估計其他電力參數，例如電壓、電流信號的振幅和相位等參數［3］。總之，在電力系統中，有效的功率控制，負載保護繼電器的脫落和恢復設置，以及電能質量的監測與保護等相關功能及應用，都需要進行可靠且準確的頻率測量工作。文獻［4］和［5］對現在流行的一些測量信號頻率的方法進行了總結對比。在眾多的信號處理算法中，線性調頻Z變換(chirp Z-transform，CZT)算法被認為是是檢測信號基波的最好的算法之一，它可以細化要分析頻段的頻譜，得到很高的頻譜分辨率［6-7］。文獻［8］和［9］指出 CZT算法可以在不增加觀察窗長度以及運算負擔的情況下提高頻譜分辨率，也不需要插值或者補零。筆者討論CZT的頻率分析精度，并通過頻譜分析CZT的誤差及原因。

1 CZT算法基本原理

離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)算法是在Z平面的單位圓上進行Z交換，而CZT算法是在Z平面的一段螺旋線上進行Z變換［10-11］。一般來說，設一個有限長度序列x(n)的Z變換為

其中

式(1)定義了如圖1所示的分布在Z平面上的螺旋線的走勢。其中，W0表示螺旋線的伸展率;A0和θ0表示Z平面上起始采樣位置;φ0為螺旋線上采樣點之間的等分角［12］。

圖1 CZT的螺旋線采樣Fig.1 Spiral contour in CZT

由圖1知，CZT要分析的頻段為 fw=［fmin，fmax］，它被細化出M個采樣點(這里的M不需要與時域數據點數N相等［13］)。該頻段的上下邊界頻率的表達式為

其中，fs表示采樣頻率。一般地，CZT的頻譜分辨率定義為

而DFT的頻譜分辨率為

其中，TN=N/fS為采樣時間，即采樣信號的時間長度。

DFT的頻譜分辨率完全取決于采樣時間(或觀察窗寬度)，而CZT的頻譜分辨率與觀察窗的寬度無關［14］。根據式(7)，即使采樣時間很短，只要M足夠大，CZT頻譜分辨率就可以任意小［15-16］。

在CZT中，當A0=1，W0=1時，螺旋線變成了單位圓，而單位圓是螺旋線的特例。當θ0=0以及φ0=2π/N 時，即分析頻段為［0，fs］(fs為采樣頻率)時，一段螺旋線就變成了完整的單位圓，而DFT就是在這個單位圓上采樣的。當M=N時，CZT就是DFT，所以DFT是CZT的一個特例。

在CZT中，一般M≥N，fmin＞ 0，fmax＜ fs，所以其頻率分辨率高于DFT。

2 CZT頻率誤差分析

CZT因為具有很高的頻率分辨率而得到了廣泛應用，但對其頻率精度或者誤差的研究則較少。雖然當M足夠大時CZT的頻率分辨率會非常高，但其誤差并不一定很低，即CZT的頻率分辨率和頻率精度是兩個概念，不可混淆。本文中從頻譜的角度討論其誤差原因及特性。

2.1 CZT頻率誤差

因為實際電力信號中的主要頻率成分是基頻，其諧波及次諧波成分相對很弱，所以可以近似看成是單頻信號。首先分析單頻信號的CZT誤差，然后再對電力信號進行分析。設頻率為50 Hz的單頻信號為

其中初相位為5°，便于與后面的電力仿真信號相對比。CZT算法的相關參數設置為:采樣頻率fs=10 kHz，數據時間窗寬度或采樣時間TN=0.1 s，細化頻率段fw= ［10 Hz，90 Hz］，頻域點數M=500。得到的CZT頻譜如圖2所示。

圖2 式(9)所示的單頻信號的CZT頻譜Fig.2 CZT frequency spectrum of single tone signal in equation(9)

在圖2所示的頻譜中，主瓣的最高點(即幅值最大點)對應的頻率值(49.84 Hz)就是由CZT算法計算出來的信號頻率，稱之為CZT頻率。理想的頻譜是關于真實信號頻率(這里指50 Hz)左右對稱的，即主瓣最高點正好落在信號真實頻率上。但是當最高點不在這個位置上的時候，即算出的CZT頻率不等于信號真實頻率，有一定偏差，這一偏差就是CZT頻率誤差，稱為CZT誤差。

仿真結果表明，采樣時間的長短會影響CZT誤差。

2.2 采樣時間對CZT誤差的影響

電力信號的諧波成分一般都在2 kHz以下，所以設置采樣頻率fs=10 kHz。為了研究采樣時間的長短對CZT頻率分析的影響，用不同長度的數據分別進行處理，設置采樣時間分別為0.18、0.14、0.1、0.06 s。為觀察工頻信號附近的頻譜變化，將細化頻率段設置為fw=［10 Hz，90 Hz］。這里主要討論采樣時間的影響，對分辨率要求不高，所以設置M=500，則根據式(7)可知CZT頻譜分辨率為0.16 Hz。利用CZT算法對式(9)所示的單頻信號進行處理，得到頻譜如圖3(a)所示。

圖3 不同采樣時間下的單頻信號的頻譜Fig.3 Frequency spectrums of single tone signal with different sampling time

由圖3可知，采樣時間越長，主瓣越窄，同時主瓣最高點的偏移程度相應地也越小，在圖3(b)所示的局部放大圖中可以清楚地觀察到這一特征。由此可知，CZT的誤差是受采樣時間影響的，采樣時間越長，CZT誤差越小。更多的仿真結果表明，當M足夠大時，CZT誤差幾乎與M無關，也就是說，CZT的頻率分辨率與頻率精度是兩個不同的概念。

2.3 信號初相位對CZT誤差的影響

仿真結果表明，不但采樣時間影響CZT誤差，而且信號的相位對CZT結果也有很大影響。當采樣時間TN=0.1 s，M=500時，選取一些特殊的信號相位值(在0°～180°范圍內每間隔30°取一個相位值)，利用CZT分別計算不同相位下的信號頻譜，結果如圖4所示。當信號的相位不同時，CZT頻譜的幅值不同，頻率誤差(頻譜主瓣最高點偏離真實頻率的程度)一般也不相同。例如，當初相位為60°時CZT頻譜(紅色曲線所示)的CZT頻率誤差為+0.2 Hz，而當初相位為150°時(青色曲線所示)CZT頻率誤差為－0.2 Hz，其結果相對于真實頻率值基本對稱。同樣0°與90°的 CZT 頻率誤差、30°與120°的頻率誤差也是基本對稱的。

由圖4可看出相位相差90°的信號的CZT結果(頻譜最大點)雖然幅值不同，但從位置上看似乎對稱于真實值(50 Hz)兩側。為了驗證這種對稱性的一般性，設兩個仿真信號

圖4 不同相位下的單頻信號的頻譜主瓣最高點位置Fig.4 Highest points of main lobe of single tone signal frequency spectrum with different signal phase

當相位ψ從0°到360°連續變化(間隔0.1°)時，計算各相位時的CZT頻率。參數設置為:采樣頻率fs=10 kHz，M=500，細化頻率段 fw=［10 Hz，90 Hz］，采樣時間TN=0.1 s，頻率分辨率RCZT=0.16 Hz。結果如圖5所示。為了驗證其是否嚴格相對于真實頻率值對稱，將兩組CZT頻率值對應地取平均。結果表明，其對稱性只是近似的、不嚴格的。盡管如此，取平均值后的頻率精度已經大大提高。

圖5 不同相位下的式(10)的兩信號CZT頻率Fig.5 CZT frequencies of two signals in equation(10)with different signal phase

3 改進的CZT算法

對于兩個相同頻率、相同采樣時間的相位差為90°的信號，其CZT頻率相對于真實頻率值近似對稱。如果將兩個CZT頻率求取平均值，則會使頻率誤差大大降低。因兩信號相位差為90°，可稱為正交信號，故該方法稱為正交平均CZT算法［17］(orthometric average CZT，簡稱 OACZT)。

對于一個信號序列，可以根據預估的信號頻率值從信號中抽取出兩個正交信號子序列，然后分別計算CZT頻率并求取平均值。具體實現方法如下:

對于任意待分析信號x，假設其頻率(這里指基頻)為f0(對于電網信號則為50 Hz，對于其他信號可由CZT算法估計)，采樣頻率為fs，則數據點數為N=TNfs的離散序列X定義為

(1)計算90°相位所對應的數據長度Nq(即1/4個信號周期長度):

其中，Nq必須是整數。

(2)從X中截取兩段長度為(N－Nq)的子數據序列X1和X2:

這樣得到的X1和X2是正交的，即相位差為90°，如圖6所示。

(3)利用CZT算法計算出X1的CZT頻率值fCZT1和X2的CZT頻率值fCZT2。

(4)計算兩個頻率值的平均值:

這樣就利用OACZT算法得到了精度遠高于CZT的信號頻率值。

分別利用CZT和OACZT算法對式(9)所示的單頻信號計算不同采樣時間下的信號頻率。仿真參數設置為:采樣頻率fs=10 kHz，頻域點數M=28700，細化頻率段 fw=［47.5 Hz，52.5 Hz］，則根據式(7)算出CZT頻譜分辨率為RCZT=(52.5－47.5)/(28700－1)≈0.0002 Hz。得到的結果如表1所示。

圖6 X1和X2在時域波形上的位置關系Fig.6 Time-domain waveform positional relationship between X1and X2

表1 單頻信號CZT與OACZT頻率結果對比Table 1 Comparison of CZT and OACZT frequencies of single tone signal

關于M的取值，要從兩個方面考慮。一方面是分辨率，更多的仿真分析表明，太高的分辨率是沒有實際意義的，一般使分辨率值達到頻率精度的幾分之一即可;另一方面要與數據點數相結合，當(M+N－1)小于2m(m為可能的最小整數)［12］時，在CZT計算時會在計算過程中對數據序列自動補零，所以M的取值應使(M+N－1)盡量接近或等于2m，在不加大計算量的同時盡量提高分辨率。

由表1可知，隨著采樣時間的增加，CZT誤差和OACZT誤差都呈現減小的趨勢;而相同采樣時間下，OACZT算法與CZT算法相比，其頻率精度至少提高了20倍。

4 電力仿真信號實驗

在以上的討論中，仿真信號均為單頻信號，而電力信號中含有豐富的諧波成分，本文中討論OACZT用于分析電力仿真信號時的基頻精度。

4.1 電力仿真信號頻率分析

根據實際采集的受污染非常嚴重的電網電壓信號的頻譜，生成了一個電力仿真信號。其基頻和各種主要諧波成分的詳細參數(包括頻率值、幅值和相位值)如表2所示。其中三次、五次和七次諧波相對比較嚴重，分別為9%、5%、0.6%。該信號的時域波形圖和頻譜圖如圖7所示。

表2 電力仿真信號各主要成分參數Table 2 Parameters of main components in simulated power signal

圖7 電力仿真信號的波形和頻譜Fig.7 Wave form and frequency spectrum of simulated power signal

首先利用CZT和OACZT算法分別計算電力仿真信號的基頻，參數設置與計算單頻信號時一致。結果如表3所示。將表3與表1對比可知，電力仿真信號的CZT誤差及OACZT誤差均略有增大，但差別甚微。可見，將OACZT應用于電力信號的基頻分析是完全可行的，在相同采樣時間下可大大提高其基頻分析精度。

表3 電力仿真信號CZT與OACZT頻率結果對比Table 3 Comparison of CZT and OACZT frequencies of simulated power signal

4.2 諧波對CZT頻率的影響

電力仿真信號的分析結果表明，諧波的存在會影響CZT基波頻率，從而間接影響OACZT基波頻率，其原因可以通過頻譜進行解釋。在圖8(a)中分別畫出了電力仿真信號的基波(單頻信號)的頻譜、電力仿真信號的頻譜和3次諧波分量的頻譜，并在圖8(b)和圖8(c)中對頻譜頂部和底部進行了局部放大。

由圖8可知，相比于基頻信號的頻譜主瓣最高點，電力仿真信號的主瓣最高點略向左偏移，并且幅值也略大，故CZT誤差略有增大。

諧波之所以會影響基波的CZT頻率，是因為諧波成分(這里指三次諧波)的頻譜旁瓣(圖8(a)和(c)中的紅色曲線)在基頻處雖然很弱但仍有一定的值。電力仿真信號的頻譜主瓣其實就是基波主瓣與諧波旁瓣對應相加的結果，所以諧波無可避免地會對信號主瓣產生影響。同時應該注意到，諧波相對于基波而言是很弱的，其旁瓣就更微弱了，所以諧波使基波主瓣最高點產生的偏移量是很小的，遠小于相位的影響，所以相位相差90°的兩信號的主瓣最高點仍然近似關于真實基波頻率值對稱。所以，OACZT應用于電力仿真信號是完全可行的。

圖8 基頻附近的各類頻譜Fig.8 Different kinds of frequency spectrums near fundamental frequency

根據表3的結果可知，采樣時間越長，CZT和OACZT的頻率精度也越高，而在同樣的采樣時間內，OACZT比CZT的頻率精度要高得多。例如當采樣時間為0.4 s時，利用OACZT處理電力仿真信號，得到其基頻為50.001 Hz，誤差0.001 Hz，與傳統的CZT結果(49.981 Hz)相比，精度提高了大約20倍。

5 實際電網信號的頻率波動分析

5.1 實際電網信號頻率分析

基于本文提出的OACZT算法，對某電網電壓信號進行了連續頻率分析(采樣頻率為10 kHz)，在圖9中畫出了該信號的時域波形圖和頻譜圖。其三、五、七次諧波與基波的幅度之比分別為1.3%、1.9%、1.2%，比表2的電力仿真信號更加接近于單頻信號。

圖9 實際電壓信號的時域波形和頻譜Fig.9 Wave form and frequency spectrum of real voltage signal

5.2 實際電網信號動態追蹤

實際電網信號的基波頻率是連續波動變化的，要跟蹤頻率的這種動態變化，就必須使采樣時間盡量短。根據表3的結果可知，對于電力仿真信號，當采樣時間為0.4 s時，CZT頻率精度約為0.02 Hz，而OACZT頻率精度約為0.001 Hz;當采樣時間為0.2 s時，CZT和OACZT的頻率精度分別約為0.08和0.003 Hz。可見，OACZT在很短的采樣時間下仍有相當高的頻率精度，能夠很好地應用于頻率動態跟蹤。當然，采樣時間越長，頻率精度也越好，所以要根據具體分析要求確定采樣時間。如果要求很高的動態性和實時性，就必須以犧牲頻率精度為代價。

為了追蹤監控電力系統頻率的動態性，對連續采集1 min的電壓數據每0.4、0.2和0.1 s計算一次基頻值，并分別用CZT和OACZT進行計算，得到圖10中的電壓頻率波動曲線。計算參數設置為:采樣頻率fs=10 kHz，細化頻率段fw=［47.5 Hz，52.5 Hz］，M=28700。

因為電網電壓的頻率是波動的，采樣時間越短越能反映頻率波動的動態性能，而且其波動范圍很小。在圖10(a)中，因為采樣時間TN=0.4 s下的OACZT頻率誤差為0.001 Hz，而信號頻率波動約為0.02 Hz，所以其結果表現了電網頻率的真實波動情況;而CZT的頻率誤差大約是0.02 Hz，在該采樣時間下，CZT已不適合分析其頻率波動情況。當采樣時間變短時，如圖10(b)和(c)所示，CZT算法的誤差更大，遠遠大過信號頻率的實際波動值;但是OACZT算法仍舊保持著一定的精度，采樣時間TN=0.2 s(圖10(b))時的OACZT精度約為0.003Hz，而采樣時間TN=0.1 s(圖10(c))時的OACZT精度約為0.006 Hz。所以，OACZT比CZT更適合于分析信號基波頻率的波動情況。

圖10 實際電壓信號動態分析結果Fig.10 Dynamic analysis results for real voltage signal

6 結束語

從頻譜上分析了CZT誤差的原因，指出CZT誤差與采樣時間及信號初相位有關，并且兩個正交信號的頻譜主瓣最高點是關于真實頻率值近似對稱的。根據這一正交對稱性，提出了一種改進的CZT算法，即OACZT算法。對單頻信號和電力仿真信號的仿真結果均表明，在相同采樣時間下，OACZT算法比CZT算法具有更好的基頻計算精度，其分析精度比CZT提高了至少20倍。分析了諧波影響基波分析精度的機理，并指出對于電力信號，其諧波對基波的分析精度的影響是很小的。最后，利用OACZT算法分析了1 min的實際電壓信號的基波頻率波動情況，結果顯示，CZT算法只有在較長采樣時間下才能追蹤到基頻的變化，而OACZT算法可以在很短的采樣時間(僅為0.1 s)下精確地監測到基頻的波動情況，實時性更好。

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