基于PCA的盲信號預處理方法研究

趙忠華　楊曉梅

摘 要：盲信號分離技術是信號處理領域發展相對較晚的一種理論，目前已迅速成為該領域內重要的組成部分。本文首先對盲信號的基本研究方法和分離問題的數學模型作了介紹，詳細介紹了盲信號分離技術中的預處理方法PCA，并指出其主要特點和性能。

關鍵詞：盲信號；預處理；PCA

1 引言

近年來，盲信號分離（BSS）成為一個全新的信息處理領域，它綜合了信號估計、最優化、概率論、信息論以及隨機信號等理論。隨著技術的發展，盲信號分離方法在通信、圖像處理、語音識別、生物醫學、地震監測、水聲信號處理等眾多領域具有重要的理論價值和應用前景。盲信號分離技術是指在源信號和傳輸通道的參數未知的情況下，僅根據源信號的統計特性，由觀測信號恢復出源信號的過程[1]。

1.1 盲信號分離技術的數學模型

盲信號分離技術的基本數學模型如圖1所示[2]。由于盲信號的傳輸通道參數未知，通過對傳輸通道模型的假設，可分為瞬時線性混合模型、非線性混合模型和卷積混合模型等。

其中為，假設s1（t），s2（t），...，sN（t）為N個未知的源信號，經過傳輸（混合）后，接收到的M個觀測信號為x1（t），x2（t），...，xM （t）。y1（t），y2（t），...，yN（t）為分離后的輸出信號。因此盲信號分離可以用下面的混合方程描述[2]：

式中，S（t）=[s1（t），…，sN（t）]T，稱為源信號向量；X（t）=[x1（t），…，xM（t）]T，稱為觀測數據向量，而M×N維的矩陣A稱為混合矩陣，其元素表示信號的混合情況（即傳輸通道參數）。

盲信號分離問題的提法是：在混合矩陣A和源信號向量S（t）未知的情況下，只根據觀測數據向量X（t）確定分離矩陣W，使得變換后的輸出為：

則Y（t）就是源信號向量S（t）的估計。

而盲信號分離技術就是尋找分離矩陣W，使輸出信號Y（t）盡可能的逼近真實源信號S（t）[2]。

以上混合方程基于無噪聲的理論模型，若考慮混合中的噪聲，混合方程改寫為[3]：

這也屬于線性混合模型，只要在盲信號分離過程中滿足對源信號的假設，就可以實現 的估計，然后再進行降噪處理，從而實現對源信號的估計。

1.2 實現盲信號分離的假設前提[2]

由于源信號S（t）和分離矩陣W均是未知的，因此作為W結構信息缺失的一種補償，必須要對源信號和分離矩陣W做出某些附加假設，一般假設如下[4]：

假設1：分離矩陣W為可逆或滿秩矩陣（n≤m）；

假設2：源信號各分量si（t）為零均值的平穩隨機過程

假設3：源信號各分量si（t）相互統計獨立，且其中最多只能有一個分量服從高斯分布；

假設4：si（t）的方差均為1。

2 盲信號的預處理

由于分離矩陣W未知，實際接收到的數據十分復雜，特別是源信號分量比較多的情況下，若si（t）的均值不為零、方差不為1，在進行信號分離時計算量會非常大，因此可通過白化方法使其均值為零、方差為1。這個過程稱為盲信號的預處理。一般情況下，如果將預處理后的信號用ICA（獨立分量分析）算法進行分離，能夠的到更快的收斂速度和更好的穩定性[5]。盲信號的預處理一般包括兩個部分：信號的中心化和白化。

2.1 信號中心化

令 ，其中 為向量X（t）的均值向量，這樣 ，這個過程就是信號的中心化。進行盲信號的分離之后還可以將均值向量加回到估計信號向量中。根據概率統計的理論， 可以由X（t）的樣本估計得到。

2.2 信號的白化

對向量X（t）進行線性變換，得到一個具有單位方差的新向量Z（t），則 ，且使得Z（t）中的各分量zi（t）互不相關，且有 。這個過程就稱為白化。因此將信號白化就是要找到線性變換矩陣P。

3 基于PCA的盲信號預處理方法

PCA（Principal Component Analysis，主分量分析）是統計數據分析、數據壓縮、特征提取等領域所使用的經典方法之一。其主要目的是通過降維的方法分離出信號中的主分量（即能量最大的成分）[6]。

3.1 PCA原理

PCA算法從數學角度看就是最小均方誤差下的最優正交變換，對消除信號間的突出信號有很好的效果。而主分量的方向就是信號矢量具有最大方差的方向，因此可以用主分量來代表信號矢量。以一個二維數據表為例，若信號樣本分布如圖2（a）所示。

設其樣本重心為e，顯然a1方向信號離散度最大，即此方向上信號變化最大，因此其攜帶的信息量最大。則稱a1為第一主分量。如將坐標原點平移到e點，并旋轉得到一個新坐標系a1ea2。很明顯在新坐標系下進行信號的分析及計算要更加的簡便。因此從本質上說主分量分析就是分析該線性空間的秩和基，下面用最小二乘法來進行分析。

3.2 PCA的計算方法

設觀測數據向量X（t）中每個變量有K個樣本，由此得到一個N×K的數據表，對其進行中心化，設去均值后的觀測向量為X，下面求線性變換矩陣P，此過程就是對坐標系進行旋轉。

設各分量的線性組合為：

下面先求第一主分量Z1，有 ，其中 為第一主分量對應于X各分量的權重。為保證在旋轉坐標系時，空間尺度不發生改變，則要求滿足||P1||=1。即尋找向量P1使其滿足以下條件：

其中CX為X的N×N維協方差矩陣，則滿足式（5）的P1的取值應該是協方差矩陣CX的單位特征向量 的線性組合，并設其特征向量的排列順序能使其對應的特征根 滿足 ，那么由式（5）和式（6）組成的最優化問題的解為 。則第一主分量 [7]。

以此為依據，令第m個主分量 ，則Zm的方差取到最大值的條件是Zm與已找到的所有的主分量不相關，即： ，且考慮有 ，則

在求出第一主分量的前提下，可以求出第二主分量的權重 。以此類推可以得到觀測數據各個分量的線性組合，達到旋轉坐標的目的，即對觀測數據進行了白化處理。

4 結束語

盲信號分離技術對信號處理技術的發展起了關鍵的作用，還有許多技術和算法有待解決。而PCA算法是盲信號分離技術中廣泛使用的一種算法。文章通過對盲信號處理過程的分析，介紹了基于PCA的盲信號預處理方法，其目的是降低數據的維數，從而減少后期的盲信號處理中的運算量。

[參考文獻]

[1]高鷹，謝勝利.基于非線性PCA準則的兩個盲信號分離算法[J].《計算機工程與應用》，2005（22）：24～26.

[2]焦芳芳，封志宏，楊桂芹.盲信號分離及盲信號抽取研究[J].《無線電工程》，2011，41（9）：11～14.

[3]胡婧，張更新，熊綱要.盲信號分離技術綜述[J].《數字通信世界》2010（4）：64～68.

[4]張賢達，保錚.通信信號處理[M].北京：國防工業出版社，2000：367～383.

[5]邊肇棋，張學工，等.模式識別（第三版）[M].北京：清華大學出版社，2010： 161～181.

[6]楊幵睿，孟凡榮，梁志貞，等.一種自適應權值的算法[J].《計算機工程與應用》，2012，48（3）：189～191.

[7]胡廣書.數字信號處理——理論、算法與實現（第三版）[M].北京：清華大學出版社，2012：325～327.