對2013年廣東高考數列題的探究及推廣

梁文威

近年來的高考數列解答題，常與不等式證明結合作為壓軸題的形式出現，這類問題既需要證明不等式的基本思想和方法，又要結合數列本身的結構和特點，有著較強的技巧性，能綜合考查考生的邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.因此有關數列不等式的證明是一個常考不衰的題型，用“放縮法”證明數列不等式更是歷年高考命題的熱點，對“放縮法”的巧妙運用往往能體現出創造性，可以化繁為簡、化難為易，達到事半功倍的效果.故此，筆者將分享對2013年廣東高考數列題的探究及推廣，以期與同行交流和探討.

一、試題

二、試題解析

三、試題評價

從試題的編擬來看，這道數列試題充分體現了考基礎、考能力、考素質、考潛能和以考生發展為本的考試目標.試題的第（1）問比較常規，學生比較容易上手，以增加學生解決綜合題和戰勝困難的信心；第（2）問利用遞推關系求數列通項公式，這應該是學生比較熟悉的，這樣可以讓他們能夠心平氣和地思考問題，但在思維的層次上和運算能力上作了一個適當的提升，對中等偏下的學生設置了障礙；第（3）問是為一些優秀學生提供了充分展示自己智力的平臺，讓這些學生能夠脫穎而出.這樣，逐步增加試題思維的難度，達到通過數列壓軸題增加試卷區分度的目的，對今后中學數學教育改革有良好的推動與導向作用.

從數學思想方法和能力要求上看，數列試題著重考查了考生的轉化思想和整合放縮思想等重要數學思想方法.第（2）問，結合題目的已知條件，根據遞推數列的特征進行化簡變形，并有針對性地構造等差數列從而得到數列的通項公式；第（3）問，靈活巧妙地對數列求和進行放縮處理，達到化繁為簡、化難為易，事半功倍的效果.

從評卷情況來看，數列解答題雖然一看題目似乎是“通性通法”，但很多考生的思維定勢比較明顯，不能做到精細的放縮估計.故此，筆者主要針對第（3）問展開深入的探究和推廣.事實上對本題進行適當的延伸拓展、探究，作為一個專題教學，進行數學美的賞析，不失為一個好的探究性學習和研究性學習素材.

四、試題的加強

1. 解答第（3）問的時候，發覺可以用<=-繼續放縮下去，從而得到一個更進一步的估值結果.

評注：上面的推論二是利用了例2的結論將原試題中的更進一步地推廣到（a≥2），可以說是為本道高考數列題探究和推廣畫上的完美句點.

通過對這道高考數列題的深入探究和推廣，筆者發現此題可作為研究性教學的素材，對本題進行研究性教學時，學生可重點研究試題的立意以感悟考查的目的與學習重點，研究試題的解法以優化解題策略和方法，研究試題的推廣以培養探究意識和創新精神.總之，高中數學的主要任務不僅是學知識，也要增強數學素質，優化思維結構，注重思想方法和能力的提升.

責任編輯 羅 峰