結合稀疏逼近的正則化方法求解非齊次雙調和方程的Cauchy問題

在利用邊界結點法（BKM）通過徑向基函數和Laplace算子、重調和算子的基本解的線性組合來表示問題的解時，需利用已知的一部分邊界上的邊界條件來推導該線性組合中的待定系數，該過程涉及求解超定線性方程組，由于邊界條件給得不充分，Cauchy問題的解不唯一，故需要用正則化方法來得到逼近解析解的結果，我們選擇使用稀疏逼近正則化方法（又稱lp約束正則化方法），該方法能很好地解決Cauchy問題的不適定性，能很好地反演出跳躍較大的參數部分。本文針對若干具有光滑邊界或分段光滑邊界的數值算例，驗證了該方法的有效性，而且所得的數值計算結果關于噪聲是準確的并隨已知數據噪聲的減小而收斂。

稀疏逼近正則化Cauchy問題一、引言

二維雙調和方程在很多實際問題中需要用到。但是實際的工程應用中，已知的邊界條件可能不完整或者不準確，這樣的問題就是反問題，一般來說反問題是不適定的。本文研究的Cauchy問題就是一種反問題，因而在求解過程中，用基本解方法得到的最小二乘問題的解是不唯一的，需要通過使用正則化方法提高原問題數值求解的準確度。

用基本解方法求解齊次雙調和方程會導致離散的Cauchy問題的線性方程不是滿秩的或是超定的，其解的適定性存在問題，故本文將使用稀疏逼近的正則化方法來求解離散方程組，以避免直接求解非齊次方程時會出現的不確定性。

傳統的Tikhonov正則化方法是將線性反問題

并選擇二次罰項，以使得近似解具有光滑性。本文選擇的稀疏逼近正則化方法，即Φ（x）=x1，同時借助稀疏逼近的優勢，在減少結點數目的同時，仍得到較好的結果。

若該問題有解，則在求解過程中會出現病態的線性方程組，方程組不滿秩或者是超定的且條件數很大。本文使用結合稀疏逼近的正則化方法的邊界結點法求解滿足邊界條件（5）的雙調和方程（3）或（4）。

五、總結

本文使用稀疏逼近正則化方法結合邊界結點法求解非齊次雙調和方程的Cauchy問題，從數值試驗的結果可以看出，這是可行的。并且從以上算例中可以看出，在對源點數、結點數和內點數的關系，以及源點到邊界的距離作[3]中的要求的情況下，計算結果與[3]類似，但是精度更高。結果是較準確的，且在該范圍內，誤差非常小，即使所取點數較多，計算時間仍然較少。當邊界條件有較小噪聲時，計算結果仍然是穩定的，且隨噪聲的減小而收斂。

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