另辟蹊徑尋找不等式表示的平面區域

朱西芳

線性規劃在近幾年的高考中備受青睞，而解決線性規劃問題的基礎是找出由線性（或非線性）約束條件確定的區域.教科書中給出了用特殊點尋找平面區域的方法，就是“直線定界，特殊點定域”，特殊點定域即利用“同則同域，異則異域”的思想.波利亞在《怎樣解題》中指出：“解題中的成功有賴于選擇正確的方面，有賴于從好接近的一側攻擊堡壘.為了找出哪個方面是正確的方面，哪一側是好接近的一側，我們從各個方面、各個側邊去試驗.”筆者在教學實踐中另辟蹊徑，從另一側找到了判斷平面區域的方法.

引理1：對于二元一次不等式Ax+By+C>0，若B>0，則其不等式所表示的平面區域為直線Ax+By+C=0的上方.

證明：設點為直線Ax+By+C=0上任一點，過點M作平行于y軸的直線，在點M的上方任意取一點N（x，y），都有x=x■，y>y■.

∵Ax■+By■+C=0，By■=-Ax■-C=-Ax-C

又∵y0，

∴By■

∴-Ax-C

即Ax+By+C>0，

因為點M（x■，y■）為直線上任意點，所以對于直線Ax+By+C=0上方的任一點（x，y），Ax+By+C>0都成立.

由此在平面直角坐標系中，以二元一次不等式的解為坐標的點的集合{（x，y）|Ax+By+C>0}是在直線上方的平面區域.

同理還可以得到以下性質：

引理2：對于二元一次不等式Ax+By+C>0，若B<0，則其不等式所表示的平面區域為直線Ax+By+C=0的下方.

引理3：對于二元一次不等式Ax+By+C<0，若B>0，則其不等式所表示的平面區域為直線Ax+By+C=0的下方.

引理4：對于二元一次不等式Ax+By+C<0，若B<0，則其不等式所表示的平面區域為直線Ax+By+C=0的上方.

對以上性質進行比較研究不難得到以下定理（為了便于總結，不妨把“>”理解為正，“<”理解為負）：

定理：對于二元一次不等式Ax+By+C>0（或Ax+By+C<0），當B的符號（正負性）與不等號“>”或“<”的符號相同時，其不等式表示的平面區域必在直線的上方；當B的符號與不等號“>”或“<”的符號不同時，其不等式表示的平面區域必在直線的下方.上下方與A的符號無關.

與復合函數的單調性判斷——同增異減一樣，我們可以把上面的定理簡化為“同上異下”.

利用這個原則，在解有些題時可不用畫圖直接出答案，提高了解題速度；在解有些題時在圖上能很快判斷出平面區域.

例1：不等式2x-y-4<0表示的平面區域在直線2x-y-4=0的？搖 ？搖方.

解：因為y的系數與“<0”的符號相反，根據“同上異下”原則空格處應填“上”.

例2：已知ax+（a+x）y-3>0表示的平面區域是在直線ax+（a+x）y-3=0的下方，求a的取值范圍.

分析：此題用常規方法是：先取特殊點原點帶入，判斷出原點一定在對應直線上方，再討論斜率，畫出直線的兩種可能性，然后利用截距的符號得出a的取值范圍.由于要分多種情況因而增加了題目的難度.但是如果用“同上異下”的原則，就很容易判斷出a的取值范圍.

解：因為已知的平面區域是在直線ax+（a+x）y-3=0的下方，所以y的系數的正負性與“>0”所表示的正號相反，即a+2<0，a<-2.

例3：用三條直線x+2y-2=0，2x+y-2=0，x-y-3=0圍成一個三角形，試寫出三角形內部區域滿足的不等式組.

解：∵平面區域為三角形的內部區域，∴所求的不等式不能取“=”.

在平面直角坐標系中畫出三條直線（如圖），得到三角形內部區域為如圖的△ABC的內部.

因為平面區域在直線x+2y-2=0的下方，在直線2x+y-2=0的下方，在直線x-y-3=0的上方，

所以由“同上異下”原則得到不等式組為：

x+2y-2<02x+y-2>0x-y-3<0

例4：（2007，浙江）設為實數，若{（x，y）|x-2y+5≥03-x≥0mx+y≥0}？哿{（x，y）}|x■+y■≤25|，則m的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

解析：題中所給的集合關系為兩個點集關系，數形結合，畫出其對應圖形，在畫圖中唯一的麻煩是mx+y≥0是不容易確定，但利用“同上異下”原則加上對應直線過原點這一定點，mx+y≥0所表示的平面區域必在直線mx+y=0的上方，由于第一個集合所表示的平面區域一定要在原點為圓心，5為半徑的圓上或圓內，因此直線mx+y=0的斜率-m≤0，又點C（3，-4）對應的斜率K■=-■，剛剛滿足，所以-m≤-■.

從而可得0≤m≤■.

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學必修5.

[2]波利亞.怎樣解題.

[3]唐紹友.線性規劃問題在高考中的走向.