例談圓錐曲線離心率的求法

劉艷英

摘 要：求圓錐曲線的離心率是解析幾何中一類常見的問題，在高考中又常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；離心率

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）04-385-01

求圓錐曲線的離心率是解析幾何中一類常見的問題，在高考中又常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)。這類問題涉及多個知識點，綜合性、技巧性較強(qiáng)，方法靈活，是學(xué)生難以解決的一類問題。現(xiàn)結(jié)合例題介紹幾種方法供參考。

一、記準(zhǔn)定義，準(zhǔn)確應(yīng)用

離心率定義： .

【例1】（09浙江）已知橢圓 （a>b>0）的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥X軸，直線AB交Y軸于P點，若 則橢圓的離心率為（ ）

A B C D

解析：設(shè)O為原點，由題意知BP∥Y軸，結(jié)合圖形有 ，所以離心率e= = 選D

二、活用性質(zhì)，簡化計算

準(zhǔn)確把握并熟練應(yīng)用圓錐曲線的幾何性質(zhì)解題可提高解題速度，快速解決選擇、填空題。

【例2】（09湖南）已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中有一個內(nèi)角為60°，則雙曲線的離心率為__。

解析：由雙曲線的對稱性知 ，所以 即c2=3b2=a2+b2，所以a2=2b2，即 從而離心率

三、熟記結(jié)論，快速解題

一個常用結(jié)論：在圓錐曲線中過焦點且與焦點所在坐標(biāo)軸垂直的直線與圓錐曲線的兩個交點之間的線段稱為圓錐曲線的通徑，通徑的長為

【例3】已知橢圓 （a>b>0）過橢圓的右焦點作X軸的垂線交橢圓于A，B兩點，若 ，則橢圓的離心率 為（ ）

A B C D

解析：由已知得線段AB為通徑， 又 ，則∠AOB=90°，結(jié)合橢圓的對稱性與特殊三角形的性質(zhì)知 ，即 兩邊除以 整理得 因為0

四、合理轉(zhuǎn)化，認(rèn)真計算

分析條件，由已知寫出對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號關(guān)系式，即把條件中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，從而得a，c的方程計算出e.

【例4】（09浙江）過雙曲線 （a>0，b>0）的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C.若 ，則雙曲線的離心率是（ ）

A B C D

解析：雙曲線的兩條漸近線方程為 ，過A點的直線方程為y=-x+a，由 解得B點的縱坐標(biāo)為 ；由 解得C點的縱坐標(biāo)為 ，又 ，則 ，整理得b=2a，所以b2=4a2則c2-a2=4a2，所以 ，選C

五、巧取特值，化繁為簡

根據(jù)選擇、填空題不需要解答過程只需有正確的結(jié)果的特點，據(jù)題意取特值是一種快速解題的方法。

【例5】如果雙曲線的焦距，虛軸長，實軸長成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為__。

解析：設(shè)雙曲線的焦距為2c，虛軸長2b，實軸長2a，且滿足c2=a2+b2，所以（2c）2=（2a）2+（2b）2，根據(jù)特殊勾股關(guān)系，不妨設(shè)焦距2c=5，虛軸長2b=4，實軸長2a=3，則離心率

通過以上幾例不難得出解決圓錐曲線的離心率問題的關(guān)鍵是由題意找到a，c的關(guān)系式或方程。具體解決時再根據(jù)選擇，填空題的自身特點靈活選擇方法，快速解答。