試論理解取向的數學教學及其設計

徐兆洋

一、數學教學的兩種取向

在教育實踐中，數學教學有兩種基本的取向。其一，傳遞取向。傳遞取向認為，教學是傳遞知識并發展學生智能的過程。課堂教學中，教師的主要任務是傳遞知識，學生的任務是接受并主動地內化知識，知識的多少反映了學生的學習能力和發展水平，好的教學意味著比較有效地傳遞。其二，理解取向。理解取向認為，教學是不斷增長學生的實踐能力和社會化的過程。課堂教學中，教師不直接向學生傳授知識，而是創造學習環境，學生在自主探究、合作與交流的活動中，通過知識的建構和意義的賦予，理解知識的意義，進而理解世界的意義，發展和豐富個體的意義世界。

無論是傳遞取向還是理解取向的教學，知識都是教學的基本內容。但是，如何進行知識教學？知識教學的意義何在？兩種取向的教學遵循著不同的理念和實踐。傳遞取向的教學認為知識是可以傳遞并為個人所擁有的物品，教學立足于知識的傳遞和掌握：知識是教學的起點，也是教學的終點，是學生學習和理解的對象。教師傳遞知識的方法主要是講授，學生掌握知識的方法主要是記憶和練習。講解和練習是傳遞取向教學的基本特征，無論是“精講多練”、“精講精練”還是“變式練習”，改進教學方法的目的都是為了更有效地傳遞和掌握知識。傳遞取向的教學認為，知識是智力發展的基礎，知識教學的意義在于發展學生的心智技能。通過知識的傳遞和掌握，學生的計算能力、推理能力、邏輯思維能力等心智技能可以得到發展和提升。

理解取向的教學認為知識作為人類理解世界的結果，是世界意義的表征，教學立足于知識的建構和意義的賦予：教與學的起點不是知識而是來自于現實世界的、對學生來說沒有現成的程序可以解決的問題，問題解決的過程就是建構知識和理解知識意義的過程。學生只有在解決問題的活動中，才能不斷建構知識運用于其中的世界，并深化對知識意義的理解。如果學生單憑記憶掌握了知識，而沒有理解知識的意義，那么這樣的知識對學生來說仍然是沒有意義的，既不能用來解決問題，也不能帶來理智上的進步。因此，理解取向的教學認為，知識教學的意義在于幫助學生理解和把握現實的世界，培養學生面對復雜情境時所需要的實踐性思維、批判性思維、創造性思維，以及問題解決活動中搜索和使用信息、決策的能力等，以便更好地應對社會發展變化的挑戰。

二、數學理解取向教學的涵義

數學教學內在地包含理解：創設情境可以建立日常經驗與課本知識之間的聯系，幫助學生理解數學知識的意義。運用變式可以突出數學概念的本質屬性與非本質屬性，幫助學生理解概念的內涵。搭建腳手架能夠創建符合學生認知發展水平的教學任務，促進學生理解的實現。舉例是數學教學中最常用的方法，通過圍繞某一主題列舉各種典型例題，幫助學生理解有關知識之間的聯結，建立比較完善的認知結構。理解取向的數學教學包含三個方面的涵義。

第一，理解性學習（learning with understanding）。理解性學習是數學學習的一種品質。數學學習常常有機械學習的傾向：學生習慣于記憶定義、公式、原理和操作性程序，不去思考知識之間的內在聯系和操作性程序運用的原理。其結果是，學生所獲得的是孤立的、離散的知識，缺乏生長和遷移能力，不能形成必要的認知策略和智慧技能。理解性學習能夠避免機械學習的傾向，促進意義學習的發生。所謂理解性學習，是指學習者主動地參與知識建構、建立新舊知識的聯系、以及圍繞某一主題進行“彈性實作”——“解釋、證實、推斷、聯系和以一種超越知識與常規技能的方式進行應用”。例如，對于一個定義、公式或法則，如果學習者不僅理解了它的形式和意義，并使之成為已有認知結構的一部分，而且能夠利用其進行有效的思維和行動，那么，這樣的學習就是理解性學習。也就是說，理解性學習的本質是一種以激發思維參與的活動。無論是建構知識，還是彈性實作，都離不開觀察、實驗、猜想、驗證、抽象、分析、推理、判斷等思維的參與。沒有思維的積極參與，任何理解都是不可能發生的。在教學實踐中，理解性學習提倡個性化的參與和多樣化的學習與表征方式。學習者可以根據自身思維方式的特點，選擇獨立思考、自主探究、協作學習等不同的參與方式；可以操作實物、圖形、符號等直觀性的表征，也可以運用模型化語言進行抽象的演繹。不同的理解方式之間并不存在優劣之分，只有認知方式和發展水平的差異。另外，理解性學習極為重視課堂中的討論和交流。因為討論和交流不僅能促使學習者認識到知識間的關聯和重組，而且有助于提高他們的理解性學習。當前，在數學教育領域，“數學學習重在理解”的觀念已經獲得普遍的認同。

第二，為理解而教（teaching mathematics for understanding）。從廣義上說，數學是人類在理解世界的活動中建構并借此表示世界意義的方式。然而，數學的形式化特征遮蔽了數學知識的原初意義，于是，數學教學常常專注于知識的形式運演，忽視對知識意義的理解。學生“掌握”了知識，卻不知道知識來自哪里，也不知道知識向何處去。“為知識而教”把豐富的、多樣化的理解性活動簡化為機械的、形式化的記憶和訓練，忽視了知識教學作為發展學生理解世界方法的重要目的。“為理解而教”關注知識意義的生成，致力于引導學生學會對未知世界的探索。事實上，現實世界中大量的情景問題蘊含著豐富的數學背景，是數學知識產生的經驗起點，也是學生理解知識意義的源泉。“為理解而教”引導學生在探索現實世界的活動中，經驗、理解和反思數學知識的產生過程，獲得基本的數學活動經驗，為學生理解知識的意義積累豐富的經驗基礎。在教學實踐中，“為理解而教”通過設計綜合實踐活動、課題學習和數學建模，激發學生參與以“數學化”為特征的理解性活動：對真實任務進行直觀性操作，為真實任務建立一個數學模型，用符號、公式等語言準確地描述模型的意義或概念，在抽象的數學表述和直觀、具體的事例之間進行適當的轉換等等。教師則通過創設豐富的學習環境，幫助學生把經驗和事實組織成概念體系，了解學生的理解需要并提供有效的表征及評價方式支持學生的理解。通過設計基于真實世界的理解性活動，“為理解而教”不僅使學生學會如何建構知識，而且理解了知識的意義，從而能夠對各種現象做出解釋，使客觀的世界成為意義的世界。正是在這一意義上，約翰·杜威指出：“只有理解才是真正的學習。”

第三，學會數學地理解（learning to mathematically understanding）。學會數學地理解是理解取向的數學教學的主要目標。所謂數學地理解，或者說數學地思維，就是從數學的角度觀察、思考和處理種種現象、問題。數學是理解世界的結果。從數學中最簡單的數與形，到現代數學中的許多概念、分支，都是數學家在理解世界的過程中抽象或建立起來的。面對紛繁復雜的現實世界，數學能夠用極其簡約的概念來描述和刻畫社會經濟生活中的各種現象、關系和變化，幫助人們更好地理解生活、做出理性的決策。因此，數學地理解已經成為人們應對日常生活的一種基本能力。作為學校教育的一門課程，數學教學承擔諸多的任務。但是，與掌握一些具體的知識、技能相比，教會學生數學地理解也許是數學教學更為基本的價值訴求。課程專家泰勒曾經指出，學習一門學科的價值不是體現在“對將來在該學科從事高深研究的學生提供什么樣的基礎教學”，而是體現在“對哪些不打算成為該學科領域專家的學生的教育能做出什么貢獻、對外行或一般公民有何貢獻”上。學會數學地理解體現了學校數學所能給予學生的最一般的教育價值，也是衡量學生是否具有數學素養的主要尺標。理解取向的教學把現實世界作為數學教學的平臺，引導學生從觀察現實生活中的現象開始，讓學生經歷從現實世界上升到數學世界、從數學世界回歸到現實世界的過程，在現實世界與數學世界的交替和反復中，為學生學會數學地理解奠定必要的基礎。

三、理解取向的數學教學設計策略

1.選擇生成性問題

在理解取向的教學中，學生的理解通常產生于問題，但問題是否具有生成性對于維持并發展學生的理解是至關重要的。所謂生成性問題是指，如果一個問題經過一般化、特殊化、類比、推廣等產生一系列新問題，而且，這些新問題能夠引導學生的理解持續深入地發展，促進學生的認知水平從低層次向高層次的躍遷，那么這個問題就具有生成性或者說是生成性問題。如，從“如何用正方形地板鑲嵌”這樣一個習以為常的問題出發，可以生成一系列新問題：從正方形的鑲嵌到正多邊形的鑲嵌問題、從正多邊形的鑲嵌到一般多邊形的鑲嵌問題、從一種多邊形的鑲嵌到兩種或三種多邊形的鑲嵌問題，等等。由生成性問題產生的新問題可以是同一主題下維度上的拓展，也可以是不同主題間形式上的類比，甚至是不同學習領域數學結構之間的轉換。一個生成性問題通常包含豐富的內容和技能，能夠為學生的理解提供基本的概念框架，使得學生從中學到的不僅是當前情境的體驗和理解，還能學到適應環境、處理和深入思考問題的方法。在選擇生成性問題時，首先應關注生成性問題的真實性。生成性問題通常應是現實世界中的真實任務，“真實任務通常是日常生活中的活動，具有極大的潛在動機資源。”理解具有情境性，真實任務的情境可以轉變為對學生具有自我參照意義的、樂于參與的理解性活動。其次，生成性問題應具有動手操作和思維操作二重性。理解是行動中的認知，動手操作能夠幫助學生建立直觀性或經驗性理解，這對于發展學生，特別是低年級學生的數學理解來說是不可或缺的環節。第三，生成性問題應符合學生的認知發展水平，特別是要能夠促進學生當前數學認知水平的發展。有時，由原問題生成的新問題也能引起學生的理解，但卻不能提高數學認知的水平，這是在選擇生成性問題時需要盡力避免的。值得指出的是，一個有價值的生成性問題應該能夠引導學生逐步深入地理解數學課程中的一些核心概念、重要的思想方法、以及基本的數學結構等。因此，在選擇生成性問題時，需要思考數學課程中哪些主題值得深入地理解，通過對哪些主題的理解能夠更好地把握數學的本質等。如此，才能設計出一個有價值的生成性問題。

2.確定理解性目標

確定理解性目標是理解取向教學設計的重要環節。面對確定的學習主題，教師只有明確“什么是值得學生理解的”，才能設計出一些更有價值的學習活動；學生只有知道“需要理解什么”，才不至于因生成性問題所帶來的豐富的學習活動而無所適從。理解性目標是師生在教學活動中有意識追求的對象，是理解取向的教學的價值體現。與“行為目標”不同，理解性目標主要不是用于描述學生的學習結果，而是用來描述學生在特定的數學活動中的行為表現，旨在引導學生“經歷”、“體驗”和“探索”，獲得豐富的數學活動經驗。例如，在“翻轉茶杯”的主題中，理解性目標可以包含這樣幾個方面：解釋從“翻轉茶杯”這一直觀性的操作活動中抽象、建立乘法模型的過程；利用乘法模型運演的結果說明“翻轉茶杯”問題的答案；通過符號或實物操作驗證從模型中推演出的結果的合理性；描述“翻轉茶杯”情景中作為知識的乘法意義的拓展和建構過程；等等。在這里，理解性目標主要使用解釋、說明、驗證、證實、描述、區分、辨別等體現過程性的行為動詞。可以說，理解性目標本質上是一種過程性目標、表現性目標。作為一種過程性目標，理解性目標是隨著教學過程的展開而自然生成的，是教學情境的產物和問題解決的結果；作為一種表現性目標，理解性目標關注每一個學生在教學情境中所產生的個性化表現，指明學生將在其中作業的情境、學生將要處理的問題以及從事的活動任務。在確定理解性目標時，要把握好目標的層次結構與理解的層次性和認知發展水平之間的關系，使得目標真正成為促進學生理解的“引擎”。在一個真實的任務中，理解或意義建構活動一般經歷直觀性理解、經驗性理解、模型化理解、具體化理解等幾個相互關聯的階段，其中，模型化理解是數學理解的本質，理解性目標應是以模型化理解為中心的、包含其他幾個具體目標共同構成的層次性目標結構。另外，在確定理解性目標時，必須關注數學的內容、思想方法和特殊的表達形式，使其成為數學課程的核心。

3.設計理解性活動

生成性問題和理解性目標為學生的理解提供了基本的概念框架，但并不意味著學生參與了理解。學生是否參與理解、如何參與理解取決于理解性活動的設計。事實上，作為活動對象的生成性問題或真實任務并不必然保證學生的參與，只有當問題或任務轉變為可以操作的活動時，學生的理解行為才可能發生。在理解取向的教學中，學生參與的理解性活動一般包括實物操作、符號操作和形式化運演三種類型。實物操作和符號操作具有一定的直觀性，為學生的理解提供豐富的“感覺映像”。形式化運演借助于抽象、類比、歸納、聯想等手段建立數學模型，并對模型加以演繹以獲得相關的結果。其中，形式化運演是理解的高級階段，建立在直觀性操作活動之上的反省抽象是形式化運演的經驗基礎。理解取向的教學通過提供具體的、可操作的理解性活動，以確保置身于其中的學生能夠相互影響、自覺地思維與行動。首先，在理解取向的教學中，學生的理解不是以某種認知表征來準確地匹配客觀知識或事實的過程，而是基于學生個體實踐活動的意圖、行動和反思的互動。為此，理解性活動的主體指向應從“在頭腦中進行認知的個人”轉向“在社會和物質情境脈絡中參與認知活動的個人”。因為，社會和物質情境脈絡為學生創設了特定范圍的行為或經驗，學生在觀察、概念工具的應用以及問題解決的過程中，逐步地形成數學地理解世界的能力。其次，設計的理解性活動應滿足學生學習方式多樣化的需要。理解其實是一種極具個性化的行為，它不依賴于“普遍的原則”。如果學生要理解復雜觀點的意義，只能依靠主體自己的思考和探究。設計理解性活動應考慮到學生在理解方面的個性差異，允許學生選擇符合其認知方式和發展水平的參與方式，以便最大限度地促進所有學生在原有認知水平上的提高。再次，建構互動的平臺為個體的理解提供“合法的邊緣性參與”。理解離不開個人的努力，但是，意義的建構是在社會互動中完成的。互動促成了個人建構的、獨有的主觀意義的社會認同和進一步發展。當前，以學習者共同體、概念學習交流和知識建構共同體為特征的互動學習方式在提高學習者行為表現方面得到普遍認同。然而，課堂觀察表明，課堂中不是沒有互動，而是缺少互動的平臺，以至于互動只集中于少數學生之間，多數學生被排除在互動之外，成為互動的“旁觀者”。顯然，在設計理解性活動時，建構互動的平臺有助于促進學生參與高質量討論與共享理解的小組合作。

4.提供表現性評價

評價是教學不可或缺的一部分。對于理解取向的教學來說，評價尤為重要。在不斷趨向理解目標的進程中，學生可能會遇到各種各樣的疑難或困境。而且，在許多情境下，學生的理解通常并非絕對正確或錯誤之物，而是介于正確或錯誤之間的、具有不同程度的連續體。通過對學生在理解活動中的各種行為進行表現性評價，為學生提供及時反饋，引領、拓展和深化當前的理解。例如，指出學生理解活動中存在的問題，可以改進理解行為并使理解精確化，或者，揭示理解結果的適應范圍或限制條件，為學生指明進一步理解或努力的方向。也就是說，表現性評價不是理解完成之后的終結行為，而是理解過程的一個基本方面，“是一個進行之中的、嵌入的過程。”就其實質而言，表現性評價為學生的理解提供了一種程序上的和元認知的“腳手架”：通過揭示理解過程中的優勢和不足，生成新問題、子目標和子問題，幫助學生不斷重組他們的思維，發展多種理解策略和自我調節程序來規劃和接近目標。在課堂教學中，表現性評價的一種主要方式是通過提問引導學生把他們當前對問題的理解表現出來。“理解是一種表現，而不是一種心智狀態。”為了促進學生的理解，提問應有針對性，但不是就問題本身，而應當在元認知水平上進行，如可以問“你是如何得到這個結論的？”、“你的策略還有需要改進的嗎？”，而不是問“你的結論是什么？”等之類的問題。此外，表現性評價應采取靈活多樣的方式：直接針對學生個體行為表現給予即時性評價；通過提供包含各種理解材料或“標準的”評定包，引導學生進行自我參照評價；通過設計表現性任務，綜合評價學生的理解行為、思維技能、理解的深刻性和創造性；等等。但無論何種方式，評價的目的都是為了改進理解的進程、激勵學生的學習。與通常的評價標準不同，表現性評價不僅僅關注一些“共同的標準”，更重視學生在真實的理解情境中的行為和表現，包括獨特的見解、錯誤的觀點、誤解等。評價的重點從關注理解結果的“對錯”轉向理解過程中的思維過程分析，把學生當前的理解與他獨特的目的或過去的經驗，而不是共同的規范或標準相聯系。換言之，表現性評價不完全依賴于外部評價，而是把外部標準和基于個體經驗的“內部標準”相結合，通過建立理解的“自我參照標準”，從而達到評價促進學生發展的目的。

參考文獻

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