數學方程思想方法例析

瞿峰

數學思想和方法是數學基礎知識、基本技能的本質體現，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活應用數學知識、技能的靈魂.因此，在解題過程中準確快捷的關鍵是正確運用數學思想方法. 求值時，當問題不能直接求出時，一般需要設未知數建立方程.用解方程的方法求出結果，這也是解題中常見的具有導向作用的一種思想.這里對方程思想舉例予以說明，以供同學們學習參考應用.

例1 如下圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，其中∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度數.

【分析】要求∠ADB 及∠BCE 度數，依條件知∠DBC= ∠DBA= ∠DAB. 采用“間接設元”比“直接設元”更有利于溝通各已知量之間的關系， 所以設∠DBA 為 x. 設元后，再用三角形內角和定理作為等量關系列出方程 .

【解答】在△ABC 中，由于BD 平分∠ABC ，

∴ ∠DBC= ∠DBA.

又∠DBA= ∠DAB ，設∠DBA=x ，

那么∠DBC= ∠DAB=x.

∵∠ACB=78°，

∴ x+2x+78° =180°，

解得 x=34°.

∴∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA

=180°-2x=112° .

在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，

∴ ∠CEB=90° .

∴ ∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB

=180°-2x-90° =22° .

故∠ADB=112°，∠BCE=22° .

【評析】這是角平分線性質與方程的結合解題，是方程思想在幾何中的應用，用方程的思想，這類問題變得簡單明了。

例2 等腰三角形頂角的外角與一個底角的外角和等于245°，求它的頂角的度數.

【分析】這是關于等腰三角形角的計算.可考慮應用設未知數列方程的方法計算.

【解答】解： 方法一，設這個等腰三角形的頂角為x，根據同一三角形中等邊對等角，則它的一個底角為（180-x）°，這個頂角的外角為（180-x）°，底角的外角為[180-（180-x）]°.

由題意可得： （180-x）+[180-（180-x）]=245

∴180-x+180-90+x=245

∴-x=245-270

∴x=50

答：這個三角形頂角為50°.

解： 方法二，設頂角為x，底角為y，頂角外角為（180-x）°，底角外角為（180-y）°.

由三角形內角和定理可得：x+2y=180

由題意可得： （180-x）+（180-y）=245， ∴x+y=115，

∴x+2y=180x+y=115

解方程組得 x=50y=65

答：這個三角形頂角為50°.

【評析】方程是解決很多數學問題的重要工具，很多數學問題可以通過構造方程而獲解.事實上，用設未知數的方法表示所求的未知量，可使計算過程書寫簡便，也易于表明角與角之間的關系.

例3如圖，△ABC是等腰三角形，分別向△ABC 外作等邊△ADB 和等邊△ACE，若∠DAE=∠DBC，求△ABC三個內角的大小.

【分析】先利用∠DAE=∠DBC求出∠BAC與∠ABC之間的關系， 再利用內角和定理求出它們的大小.

【解答】在△ADB 和△ACE等邊三角形中，

∴∠DAE=60°+∠BAC+60°，

又∠DBC=60°+∠ABC

并且∠DAE=∠DBC，

∴120°+∠BAC=60°+∠ABC

即∠ABC=60°+∠BAC，

又∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°+∠BAC，

設∠BAC=x， 則x+2（x+60）=180，

解得x=20.

即△ABC三個內角的大小分別為20°， 80°， 80°.

【評析】本題是幾何與代數的綜合題，先利用幾何的等量關系，再列出方程求解.方程是解決數學問題的重要工具，也是重要的數學思想.幾何計算、幾何證明也常通過方程解決.

例4 已知一次函數的圖象經過A（-2，-3）、B（1，3）兩點.求這個一次函數的解析式.

【分析】關鍵是要確定x與y的函數解析式，而確定函數解析式的關鍵在于確定系數k，而系數的確定就需要借助于解關于的方程.

【解答】設這個一次函數的解析式為y=kx+b.

∵一次函數的圖象經過點A（-2，-3）、B（1，3），

∴-2k+b=-3k+b=3.

解得k=2b=1.

∴這個一次函數的解析式為y=2x+1.

【評析】這是一個用“待定系數法”解決的函數題，是方程思想在代數中的應用.

總之，在初中數學的學習中，要善于總結歸納，強化方程思想，感受用方程解決問題的優勢，逐步培養和提高自己用方程思想解決問題的能力.

（作者單位：山東臨沂臨港經濟開發區臨港一中）