2K—H（A）型行星輪系“模型化”分析

徐志山

摘 要：本文首先從實體上建立了行星輪系的物理模型，根據力的平衡和能量守恒關系推導出行星輪系的運動方程；然后從理論上對2K-H（A）行星輪系建立了數學模型，結合數理分析，得出了同樣的運動方程。這種“模型化”的分析方法揭示了行星輪系傳遞運動的內在規律性，為其他輪系的分析提供了新的方法。

關鍵詞：2K-H（A）行星輪系 模型化 物理模型 數學模型

行星輪系屬于非定軸輪系，它結構緊湊、重量輕，可以實現多個傳動比，在傳動、減速機構中多有應用。所謂2K-H（A）型行星輪系，就是兩個中心輪和一個行星架組成的行星齒輪傳動機構，結構示意圖如圖1所示，主要由四部分組成：中心太陽輪A、齒圈B、行星輪C和行星架H，其中A、B、H的轉動軸在一條直線上，稱為行星輪系的基本構件，且軸線固定，C可以繞該轉動軸轉動。設A、B、C的齒數分別為zA、zB和zC，它們的模數都相同，明顯有zA

圖1 2K-H（A）型行星輪系的結構示意圖

一、2K-H（A）型行星輪系“模型化”假設

1.假設

承受一定載荷的行星輪系在傳動過程中傳遞運動和動力，為了便于分析，首先提出三點假設。

第一，若行星輪系中定軸主動件勻速轉動，則其他各個定軸從動件都處于勻速轉動——運動假設。

第二，若不考慮行星輪系各構件間的摩擦和制動帶來的能量損失，則該輪系的輸入功率等于輸出功率——能量守恒假設。

第三，若主動件在嚙合點的施力方向與速度方向一致，該主動件向輪系輸入功率；反之，則吸收功率。從動件在嚙合點的受力方向與速度方向總是一致，對外輸出功率——能量分配假設。

2.特征

根據“模型化”假設，2K-H（A）型行星輪系具有如下特征。

第一，若行星輪系某一構件勻速轉動，則其他各構件均處于轉動平衡。

第二，行星輪系彼此相接觸的構件間存在作用力和反作用力關系，且作用點在嚙合點或轉動中心上。

第三，若行星輪系某一構件在嚙合點和轉動中心上存在作用力，則它們在同一平面內，且彼此相互平行，并對該構件在這一平面內任意一點力矩的代數和為零。

二、2K-H（A）型行星輪系物理模型

根據2K-H（A）型行星輪系“模型化”假設，將它的各個構件抽象為剛體，運用物理學中力與運動的關系，對構件進行受力分析和運動分析，下面分兩種情況討論。

為了便于分析，設定以下參數，

TA——輸入給太陽輪A的動力矩，

TB——輸入給齒圈B的動力矩，

TH——行星架H的輸出動力矩，

rA——太陽輪A的分度圓半徑，

rB——齒圈B的分度圓半徑，

rH——行星輪與太陽輪轉動中心之間的距離，且 ，

——齒圈與太陽輪半徑之比。

1.單自由度物理模型

將2K-H（A）型行星輪系中某一基本構件固定后，該輪系變成有三個活動構件、三個低副和兩個高副的輪系，由平面運動機構的自由度計算公式，可得

F=3n-2PL-PH （1）

這里，n、PL、PH分別為機構的活動件數、低副數和高副數。顯然，該輪系的自由度為

F=3×3-3×2-2=1

我們稱這種輪系為單自由度行星輪系。根據輪系的傳動規律，單自由度行星輪系只需一個主動構件，該機構就有確定的運動規律，但計算它的傳動比與定軸輪系大不相同。為了便于分析計算，先來分析受力，可分解為以下六種情況。

第一種情況：A為固定件，B為主動件，H為從動件。

第二種情況：A為固定件，H為主動件，B為從動件。

第三種情況：B為固定件，H為主動件，A為從動件。

第四種情況：B為固定件，A為主動件，H為從動件。

第五種情況：H為固定件，A為主動件，B為從動件。

第六種情況：H為固定件，B為主動件，A為從動件。

下面以第一種情況為例，分析輪系各構件間的受力情況，其受力圖如圖2所示。

圖2 A為固定件，B為主動件，H為從動件

在圖2中，假設中心太陽輪A為固定件，轉速ωA=0，齒圈B為主動件，轉速為ωB，行星架H為從動件，轉速為ωH。對行星輪C的轉動有影響的力是：受到中心太陽輪A、齒圈B和行星架H的力FAC、FBC、FHC分別作用在嚙合點OA、OB和行星輪的中心OC上，主動件齒圈B的轉向，顯然有B對C的力FBC方向向右，且FBC的大小與主動件的輸入轉矩有關?，F在來判斷其他力的方向和大小。

行星輪C處于轉動平衡狀態，滿足對嚙合點OA的力矩平衡，即 M（OA）=0 （2）

由（2）式知，可以判斷行星輪在轉動中心 處受到的力 方向向左，且有 FHC=2FBC （3）

因為行星輪滿足受力平衡，應有 ∑F（C）=0 （4）

由（4）式知，FAC的方向向右，且有 FAC+ FBC = FHC （5）

由（3）、（5）式，可得 FAC = FBC （6）

同理，可以分析第二種情況至第六種情況中行星輪的受力情況，從中可以看出，即使主動件不同，但它們都有相同的受力情況。在FAC、FBC、FHC中，必有一個為主動件產生的力，稱為主動力；另外兩個分別為從動件和固定件產生的力，稱為被動力，且都滿足（3）式和（6）式。

再來分析圖2的運動情況。

主動件齒圈的輸入功率P1為 PI=TBωB=FBCrBωB （7）

根據作用力和反作用力的關系，從動件行星架為順時針轉動，且對外輸出，輸出功率PO為

PO=THωH=FHCrHωH （8）

根據能量守恒假設，PO=PI′，經過化簡，得到

ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （9）

我們就稱（9）式為單自由度行星輪系基本運動方程。

2.雙自由度物理模型

在2K-H（A）型行星齒輪機構中，若基本構件都不固定，該機構有四個活動件、四個轉動副和兩個齒輪副，由自由度計算公式，可知自由度為2。這樣的機構要有兩個活動的主動件作為輸入件，機構的輸出件才有確定的輸出，這種輪系又稱為差動輪系。從傳動方式上看，該機構的傳動方式有三種。方式一：太陽輪和齒圈為主動件，行星架為從動件；方式二：太陽輪和行星架為主動件，齒圈為從動件；方式三：齒圈和行星架為主動件，太陽輪為從動件。

先來分析方式一。如圖3所示，A、B為主動件，轉速為ωA、ωB，且ωA>ωB，都為順時針方向，H為從動件，根據相對運動關系，太陽輪A對行星輪C的力FAC方向向右，由行星輪系的運動特征，齒圈B對行星輪C的力FBC也向右，行星架H對行星輪C的力FHC向左，依舊有

（10）

因為中心輪A和齒圈B對行星輪C在嚙合點的施力方向與速度方向相同，均輸入功率；行星架H輸出功率。在不考慮能量損失時，行星輪系能量守恒，即輪系輸入功率等于輸出功率。

圖3 A、B為主動件，H為從動件

主動件的輸入功率PI為

PI=TAωA+TBωB （11）

因為 TA=FACrA，TB=FBCrB

所以 PI=FACrAωA+FBCrBωB （12）

根據力的作用相互性原理，行星架收到行星輪的反作用力作用，使行星架順時針轉動，行星架輸出功率

PO=THωH （13）

因為 TH=FHCrH

所以 PO=FHCrHωH （14）

根據能量守恒假設，由（12）式和（14）式可得

FACrAωA+FBCrBωB=FHCrHωH （15）

進一步化簡，得

ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （16）

對于圖3還有兩種情況，兩個主動件轉向相反，必然一個主動件向輪系輸入功率，另一個主動件從輪系吸收功率，根據輪系的能量分配假設，得到如下兩種情況。

第一種情況，A順時針轉動，且輸入功率為

ωA - αωB-（1+α）ωH =0 （17）

第二種情況，B順時針轉動，且輸入功率為

-ωA +αωB-（1+α）ωH =0 （18）

綜合分析式 （17）和式（18），寫成統一的矢量式如下。

（19）

我們稱（19）式為雙自由度行星輪系基本運動方程。 、、均為轉速矢量，它們的方向在同一條直線上。在應用（19）式時，首先確定參考正方向，可以是某一矢量的方向為參考正方向，其他矢量與此同向取正值，相反則取負值，這樣就可以將行星齒輪傳動方程的矢量式變成標量式。

同理，運用輪系的能量守恒假設和能量分配假設分析方式二、方式三都得到與式（19）相同的結論。

綜合以上分析，從“物理模型”來分析2K-H（A）型行星輪系，不論是單自由度，還是雙自由度，都遵守同樣的運動規律。

三、2K-H（A）型行星輪系數學模型

所謂數學模型，就是建立研究對象的函數式，首先確定自變量和因變量，然后找出因變量和自變量之間的函數關系。對于2K-H（A）型行星輪系，基本構件和行星輪的運動都在同一平面內轉動，且基本構件的回轉軸線都在一條直線上，由相對運動原理可知，各基本構件間的相對轉速僅與構件間的轉速差有關，而與某一構件的轉速無關，且從動件的轉速隨著主動件轉速的變化而變化。

為了便于分析，假設齒圈B和行星架H為主動件，各自的轉速ωB、ωH為數學模型的自變量，中心太陽輪A為從動件，相應的轉速為因變量，則從動件的轉速和主動件轉速的關系可以用函數表示如下

ωA=ωA（ωB、ωH） （20）

我們稱（20）式為行星輪系的數學模型。在上式中， ωB、ωH為函數的自變量，第一個ωA是函數的因變量，第二個ωA是函數的對應法則。

對（20）式取微分

（21）

其中，的物理意義為：表示在ωH不變的情況下，ωA=隨ωB的相對變化率，若以行星架H為參考系，則可以表示為

（22）

式中，iHAB表示中心太陽輪A與齒圈B在以行星架H為參考系的轉速之比，稱為相對傳動比，在該參考系中，行星輪系轉變為定軸輪系，這樣：

（23）

所以 = - α （24）

同理， = = （25）

由（22）（25）式，可知

（26）

即 （27）

將（24）（27）式代入（21）式中，得

dωA=-αdωB+（1+α）dωH （28）

再對（28）式兩邊積分，當ωA的積分區間為[0，ωA]時，ωB的積分區間為[0，ωB]，ωH的積分區間為[0，ωH]，得到定積分表達式

∫oωA dωA= - α∫oωB dωB+（1+α）∫oωHdωH （29）

整理（29）式，得

ωA+αωB-（1+α）ωH = 0 （30）

寫成矢量式 （31）

綜合以上分析，（19）式和（31）式具有相同的表達式，即數學模型分析和物理模型分析所得結論相同。

四、小結

2K-H（A）型行星輪系有內在的運動規律，通過對其建立物理模型和數學模型，采用“模型化”分析方法，推導出行星輪系的運動方程，既揭示了行星輪系運動規律內在的統一性，又便于加深對行星輪系應用的理解。任何復雜輪系都可以視為由若干個基本輪系組合而成的。2K-H（A）型行星輪系是基本輪系中的一種，這種“模型化”方法同樣適應于其他輪系運動規律的分析。

參考文獻：

[1]饒振綱.行星傳動機構設計（第二版）[M].北京：國防工業出版社，1994.

[2]李純德，鄒本友.行星齒輪傳動速度分析的瞬心——速度矢量法[J].機械設計與制造，2003（4）.

[3]何國旗，李興華.行星齒輪傳動分析的新方法[J].機械工程師，2003（11）.

（作者單位：宣城職業技術學院）