淺談數學分析對中學數學的指導作用

原春麗

【摘要】在中學數學中，數學分析有著極其重要的指導效能。運用數學分析法來解答問題可以把那些比較抽象和復雜的運算公式給避開，對解題過程進行了優化，適當降低了數學解題的難度，有利于幫助學生找到一條解題的捷徑。本文就從一些具體的實例出發，談一談數學分析對中學數學的指導作用，以期能夠為廣大中學生帶來一些幫助。

【關鍵詞】數學分析 中學數學 指導作用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）07-0115-01

當前，在中學數學當中，受限于知識的局限性，許多中學生在解答一些抽象以及復雜的數學題時往往會陷入一個困境當中，在理解一些基本概念時也會茫然失措，顧此失彼。而利用數學分析就可以把這些難題進行完滿解決。數學分析是一門來源于實踐又在實踐中直接運用的學科，在教材中有大量利用數學分析的知識范例，學生對這些范例進行學習，就會增強自身的應用意識，使自身的數學素養得到提高。由此可見，在中學數學中，數學分析有著很強的指導作用，在解題的過程中合理運用數學分析就顯得非常重要。

一、數學分析和中學數學之間的聯系

數學分析是在中學數學的基礎上形成起來的。數學分析的一些概念如數學導數、數學積分以及無窮級數的收斂等都是在中學數學的基礎中演變而來。一些中學代數和幾何無法解決的問題運用數學分析就能夠有效解決出來，從這一點上來看，數學分析是為了解決中學數學中不能夠解決的問題而逐漸發展形成的。數學分析對函數性質的研究是在實數范圍之內進行的，在數學分析中，實數理論是基礎。通常情況下，實數一般分為兩種，一種是有理數，一種是無理數。然而中學數學無法回答出無理數的一些問題，如無理數有沒有大量存在著？這些問題就可以通過數學分析來進行完美的解答。在中學數學中，函數也是比較重要的內容，而數學分析是對函數進行研究的。中學數學主要是對函數的一些簡單性質以及概念圖像來進行研究，在課文中討論的內容也只是局限在函數的定義域、函數的值域、坐標軸的交點以及極值上，在研究方式上主要是依照把函數的定義給出來，運用式子的恒等變形，經過對方程式進行解答來進行探討的。這就有著非常大的限制性，在學習的時候還要求學生掌握一些技巧，這就在無形之中給函數的研究增添了許多困難。而如果運用微積分去進行研究，函數的解答就會有一個簡單易行的方法。同時，方程和不等式也是中學數學中比較重要的內容。中學數學對方程和不等式進行求解時有很多局限性，需要有一定的技巧才能進行求解。用數學分析來解方程和不等式只要把函數的零點或者是兩條曲線的交點進行解答就可以了。除此之外，數學分析也是和幾何問題有著緊密的聯系，幾何中任意曲線的切線以及漸近線運用數學分析很容易求解出來。

二、數學分析對中學數學的指導作用

數學分析對中學數學有著非常重要的指導作用，在這里，就以幾個數學實例是說明這種指導作用。在中學數學中，討論函數的單調性只能依照其定義來進行，如假設x10進行證明，從而得出函數的基本單調性，這種方法沒有辦法把函數在定義域中的單調性全貌給展示出來，而且還比較機械和繁瑣。在數學分析當中，只需要運用導數的正負關系，就可以把函數的單調區間合理的給求解出來。比如，假設f（x）=x3-x，現對函數f的單調區間進行討論。這道題運用數學分析就可以這樣解：由于f（x）=3x2-1=（■+1）（■-1），因此當x∈（﹣∞，-1/■）的時候，f（x）≧0，f則遞增；當x∈[-1/■，1/■]時，f（x）≦0，則f遞減；當x∈[1/■，+∞]時，f（x）≧0，則f遞增。那么，由此就可以得出函數的單調性；同樣，函數極值的應用題在中學數學中也比較常見。其求解的時候一般運用像平均值不等式這類的基本不等式來進行，這就要求廣大學生要有著非常要的解題技巧才能夠解答出來，而在數學分析當中，只要運用簡單的導數就可以把答案很快解答出來。比如，現求f（x）=x2+432/x的極值。那么，這個題運用數學分析就可以這樣求解：當x≠0的時候，f（x）=2x-432/x2=2x2-432/x2，令f（x）=0，就可以得出一個穩定點x=6。又因為f（6）=（2+864/x3）x=6>0。那么，依照函數極值的第二個充分條件，x=6是f的極小值，則極小值就是f（6）=108；此外，在證明恒等式上，中學數學方法通常運用一些比較高的解題技巧，在數學分析中不必要這么麻煩，它只需要依照拉格朗日中值定理的一個推論就可以把恒等式給證明出來。比如：對arctanx+arccotx=π/2，x∈R進行證明。此題就是利用數學分析中拉格朗日中值定理的有效推論就可以馬上得出答案。證明：因為x∈R，有（arctanx+arccotx）=1/1+x2-1/1+x2=0，因此，arctanx+arccotx=c，y=arctanx的定義域就是（-∞，+∞），值域則是（﹣π/2，π/2），那么y=arccotx的定義域就是（-∞，+∞），值域則是（0，π），同時，為了把c進行確定，可以在定義域中任取x的值，令x=0的時候，有c=arctan0+arccot0=π/2，因此arctanx+arccotx=π/2，x∈R。

對中學數學的教師來說，要不斷的為自己充實數學知識，提高自身的教學素質，只有這樣，才能在教學的過程中把數學知識應用的游刃有余、得心應手。要不斷與數學分析中的理論以及思想方法進行一個接觸與了解，讓自身的知識能與現代社會相符合，能夠更加現代化。用一些新知識和理論去對中學數學中的內容進行理解，讓數學分析中能夠對中學數學教學的實踐做一個有效指導，才能體現出數學的真正魅力。廣大教師要首先熟練掌握與理解數學分析中的理論和指導思想，要持續不斷的對相關資料進行收集，不時做一些讀書筆記，善于把數學分析和中學數學融合在一起，并進行比較。久而久之就會把數學分析運用的瀟灑自如，也就會在貫徹數學分析對中學數學的指導作用上自然而然地運用了。

三、結語

在中學數學中，教師和學生要善于通過數學分析來對數學教材進行一個深刻理解，要注重把數學分析和中學數學結合在一起，靈活運用數學分析中的思想方法和理論原理，高瞻遠矚的去看問題，就一定能夠獲取更多的知識和收獲。同時，就數學本身具有著嚴密性來看，廣大教師要對數學內容中的某一些理論論述深度進行了深入了解，深化對知識實質性的認識，能夠對那些選配的不是很合理的數學問題能及時的充實和熟練掌握。只有這樣，在中學數學教學當中，我們才能更加對數學內容進行一個深刻理解，也才能把中學數學推向一個全新的高度。

參考文獻：

[1]班曉玲，趙雪梅.數學分析選講課程教學改革的探索[J].科教文匯，2012（34）

[2]蘇強.基于幾何畫板研究數學分析中的近似計算問題[J].淮海工學院學報，2012（04）

[3]李惠琴.化歸方法在數學分析中的應用[J].洛陽師范學院學報，2013（02）