基于HAR族模型的大型商業銀行跳躍風險研究

彭偉 熊苡

摘 要：本文運用HAR-RV、HAR-CJ和HAR-CJN對中國工商銀行、中國建設銀行、中國銀行和中國農業銀行等大型商業銀行的股票進行高頻數據風險價值VaR建模，方法效果評定采用違反率和P值，MAE和MSE作為評價指標。研究結果顯示：已實現波動率和持續樣本路徑方差在中國銀行和中國農業銀行的股票中較大，而在中國工商銀行和中國建設銀行中均較?。恢袊y行和中國農業銀行在跳躍成分、持續時間和尺度均大于中國工商銀行和中國建設銀行；HAR-RV模型效果最差，HAR-CJ居中，HAR-CJN最好。

關鍵詞：HAR-RV；HAR-CJ；HAR-CJN；風險價值

中圖分類號：F832.3 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9031（2013）07-0018-06 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.07.04

一、引言

在金融領域當中，風險管理是非常重要的，特別是對于金融機構來講，風險管理是機構安身立命之根本，而VaR為特定的投資組合提供了很好的風險度量。Var是指在正常的市場環境下，在一定的持有期內和一定的置信水平下可能的最大損失。隨著計算機技術和通訊技術的進步，采集和存儲更高頻率的金融數據已經成為了可能，在這種情況下產生了已實現波動，采用高頻數據對金融波動進行研究更能充分利用金融市場價格運動中的信息，有助于對金融波動的估計和建模。

已實現波動率在高頻數據建模中起到了越來越重要的作用，施紅俊和陳偉忠（2005）利用已實現波動率對廣義自回歸條件異方差類模型的波動率模擬效果進行了檢驗，發現該模型的波動率度量精度略勝一籌，但也只能解釋一小部分收益率的變動[1]。郭名媛和張世英（2006）采用“已實現”波動作為新的波動度量方法在上海股票市場和深圳股票市場的高頻金融數據對兩個股票市場的波動的持續性和協同持續性進行了實證研究[2]。馬玉林（2007）比較基于GARCH模型和已實現波動率模型的兩種VaR預測結果，得到基于已實現波動率的VaR預測效果顯著地優于基于GARCH模型的VaR預測效果[3]。Fulvio Corsia， Stefan Mittnik（2008）運用高頻數據和非高斯分布對S&P500數據進行分析，結果顯示已實現波動率改善了預測效果[4]。Eric Hillebrand，Marcelo C. Medeiros（2010）對道瓊斯23只股票進行分析，結果顯示已實現波動率可以提高非線性模型的精度[5]。龍瑞和謝赤（2011）在日內高頻信息環境下分別采用經典已實現波動率、已實現極差波動率和已實現雙冪波動率等三類方法對滬深300股指期貨的收益波動進行測度[6]。王良和馮濤（2012）基于“已實現”波動、跟蹤誤差計算方法及Granger因果檢驗過程、VAR模型等對“已實現”波動率與跟蹤誤差之間進行了深入研究[7]。朱丹、劉艷和李漢東（2012）建立在高頻金融時間序列基礎上的已實現波動測度是資產價格過程中隱含波動的一致估計量，證明了已實現雙冪變差波動測度是比已實現波動更有效的波動估計量[8]。Manabu Asai和Michael McAleer（2012）通過蒙特卡洛方法對S&P500數據整體波動中的已實現波動誤差進行了分析[9]。

對HAR模型研究相對已實現波動率較少，Ray， S，Savin， N. E（2008）將HAR模型和Fama模型結合起來對道瓊斯五年和十年的數據進行了預測[10]。Francesco Audrino（2010）介紹了運用HAR模型估計和預測S&P500和30年國債已實現波動之間的關聯[11]。Her-Jiun Sheu（2011）通過HAR模型計算出的臺灣股市結果達到了最佳的夏普比率[12]。YIN（2012）運用基于實現波動率的跳躍模型HAR-RV對中國八只股票進行了分析，結果表明發展中國家的股票跳躍比發達國家要大[13]。Dimitrios P.Louzis，Spyros Xanthopoulos（2012）將HAR模型運用于不同頻率對股市的不同正負沖擊[14]。國內研究HAR模型的就更少，張小斐和田金方（2011）構建了已實現波動率的HAR-L-M 計量模型，實證分析結果顯示，中國市場的異質程度要強于美國證券市場， 同時個股更容易受多種異質驅動因素的影響，個股穩定性要比股指差[15]。西村友作和孫便霞（2012）以上證綜指、恒生指數以及S&P500指數的日內高頻數據作為研究對象，采用跳躍顯著性檢驗方法和擴展HAR模型，對波動跳躍特征進行了實證研究[16]。

對HAR-CJ 和HAR-CJN的研究，國內還沒有涉及，本文主要運用HAR-RV、HAR-CJ和HAR-CJN對中國工商銀行、中國建設銀行、中國農業銀行和中國銀行的股票數據進行建模，并且對實證結果進行分析。

二、已實現波動

Anderson（1998）首先指出高頻數據能夠更加精確的測量波動率風險[17]。Anderson（2001）定義已實現波動率為日內收益率的累積平方和[18]。

RVt，t+1=■（rt，j）2（1）

其中，rt，j為t日j時刻日內收益率。

資產價格服從標準跳躍擴散過程：

dps=？滋（s）ds+？滓（s）dw（s）+k（s）dq（s） （2）

其中，？滋（s）為連續的和有界變差的漂移項；？滓（s）為正向波動過程；w（s）為標準布朗運動；k（s）dq（s）為跳躍項，如有跳躍項，dq（s）=1，否則為0；k（s）為跳躍的大小。

為了分解連續和跳躍成分，需要穩健波動的一致估計量，Barndorff-Nielsen 和Shephard提出了RBV，定義如下：

RBVt=？滋■■（■）■rt rt →■？滓2（s）ds （3）

其中，？滋■≡■是一個標準的正態隨機變量的期望絕對值。RV和RBV之間差別二次變差部分歸結于跳躍：

Jt=RVt-RBVt→■k2（s） （4）

假設無跳躍的情況下，檢驗統計量定義為：

JSt=■→N（0，1） （5）

TQt=？駐-1？滋■■■rt 4/3rt 4/3rt 4/3→■？滓4（s）ds （6）

其中，？駐=1/M。

對數價格過程中跳躍成分和連續成分非參數測量分別為：

C■■=I（JSt≤？椎？琢）×RVt+I（JSt>？椎？琢）×RBVt （7）

J■■=I（JSt>？椎？琢）×（RVt-RBVt） （8）

其中，I（·）為指示函數，？椎？琢為正態分布中的臨界值。

三、HAR系列模型

（一）HAR模型

logRV■■=？茁0+？茁1logRV■■+？茁2logRV■■+？茁3logRV■■+？著t（9）

其中，logRV■■表示日已實現波動的對數，logRV■■表示周已實現波動的對數，logRV■■表示月已實現波動的對數。HAR模型對波動率的時間系列和行為的模擬和預測都比其他模型（GARCH，ARFIMA）表現要好。HAR模型中將短期和長期的已實現波動率作為回歸項，同樣對模型給予了直覺的解釋，其中后面的解釋項可以解釋不同市場參與者對信息到來時的反應，并且直接聯系到對應的長期和短期的行為。HAR模型同ARFIMA和FIGARCH一樣含有真實長記憶模型。

HAR-RV-CJ模型是Andersen（2007）提出了，對于已實現波動運用了兩個解釋變量即跳躍和資產價格連續的樣本路徑。

logRVt=？茁0+？茁CDlogCt+？茁CWlog（Ct-5，t）+？茁CMlog（Ct-22，t）

+？茁JDlog（Jt+1）+？茁JWlog（Jt-5，t+1）+？茁JMlog（Jt-22，t+1）+？著t （10）

其中，log（Ct-5，t）為周連續成分的對數，log（Ct-22，t）為月連續成分的對數，log（Jt-5，t+1）周跳躍成分的對數，log（Jt-22，t+1）表示月跳躍成分的對數，log（Jt+1）表示跳躍為0時候的情況。

HAR-CJN模型包含四個方面：①HAR-C表示連續樣本路徑；②ACH模型表示跳躍發生概率；③HAR-J表示跳躍尺度平方；④GARCH-t模型表示隔夜收益。

HAR-C模型：

logC■■=？茁0+？茁CDlogC■■+？茁CWlog（C■■）+？茁CMlog（C■■）+

？茁JDlog（J■■+1）+？茁JWlog（C■■+1）+？茁JMlog（C■■+1）+？著t+1，c（11）

其中，C■■≡h-1[C■■+C■■+…+C■■]，C■■≡h-1[J■■+J■■+…+J■■]。

GARCH-t的誤差結構如下？著t+1，c=？滓t+1，c*■*zt+1，c，zt+1，c～t（v），？滓■■=wc+？琢1，c？著■■+？茁1，c+？滓■■

（二）ACH模型和HAR-J模型

計數過程N（t）表示直到時間t跳躍發生的天數，跳躍發生的風險率為：

ht=Pr[N（t）≠N（t-1）|Ft-1] （12）

其中，Ft-1是到t-1天時的可得到信息，無信息更新的ACH（1，1）模型為：

ht=1/（？追N（t）-1）（13）

其中，？追N（t）=？棕+？琢1dN（t）-1+？茁1dN（t）-1，dN（t）-1是持續時間，dN（t）-1=tN（t）-1-tN（t）-2。

增廣的ACH（1，1）通過一個外生變量來更新條件期望持續時間：ht=1/（？追N（t）-1），？追N（t）=？棕+？琢1dN（t）-1+？茁1？追N（t）-1+？啄zt-1，其中？啄zt-1會調整信息。

將過去連續樣本路徑變量，過去跳躍尺度，期望持續期作為條件跳躍函數的變量：

logS■■=？茁0+？茁CDlogC■■+？茁CWlog（C■■）+？茁CMlog（C■■）

+？茁SDlog（S■■）+？茁SWlog（S■■）+？茁SMlog（S■■+1）

+？姿？追t（i-1）+？酌dt（i-1） （14）

其中，S■■為平方跳躍尺度，t（i）表示對應天數跳躍發生的次數，已實現波動率的預測表示如下：

RVt|t-1=Var（rt|Ft-1）=E（C■■|Ft-1）+E（J■■|Ft-1） （15）

其中，E（C■■|Ft-1）表示從HAR-C模型中計算出的波動連續成分中條件均值，E（J■■|Ft-1）波動跳躍成分中條件均值。

E（J■■|Ft-1）=E（S■■|Ft-1，It=1）·P（It=1|Ft-1）=E（S■■|Ft-1，It=1）·ht（16）

其中，E（S■■|Ft-1，It=1）是跳躍尺度的條件均值，ht是t時刻跳躍發生的條件概率，It是指示函數。

四、VaR預測和檢驗

資產回報系列rt

rt=？滋t+？孜t=？滋t+？滓tzt（17）

其中，？滋t是rt分布的均值，？滓t是？滋t分布的規模，zt是隨機變量，則

rt=？滋t+■（18）

h步預測VaR為

VaRt|t-h=？滋t|t-h+？滓t|t-hQa（z）。（19）

第一階段的檢驗，將擊中系列記為Ht=I（rt<-VaR■■），Ft-1表示直到t-1天得信息，無條件覆蓋測試要求擊中數的觀測數統計上等于要求的水平H0 ∶ E（Ht）=？琢，似然比測試統計量為：

LRuc=2ln（（1-N/T）T-N）-2ln（（1-？琢）T-N（？琢）N）（20）

二元一階馬爾科夫可轉換概率矩陣為：

П=1-？仔01？仔011-？仔11？仔11（21）

其中？仔ij=P（Ht=i|Ht=j）

似然比檢驗為：

LRin=2ln（（1-？仔01）n00？仔01n01（1-？仔11）n10？仔11）n11-2ln（（1-？仔1）n00+n10？仔1n00+n10）

（22）

nij表示從狀態i到狀態j的轉換數目，條件覆蓋測試統計量為：

LRcc=2ln（（1-？仔01）n00？仔01n01（1-？仔11）n10？仔11）n11-2ln（（1-？琢）T-N（？琢）N）（23）

第二階段評價，兩個損失函數為：

MSE=■■（rt+h-E（rt+h|rt+h

MAE=■■（rt+h-E（rt+h|rt+h

其中，T0是估計樣本的最后，K是樣本外VaR預測的尺度，[？撰]是指示函數。

五、實證分析

本文選取了中國銀行（BOC）、中國建設銀行（CCB）、中國工商銀行（ICBC）和中國農業銀行（ABC），時間跨度為2012年7月2日到2013年4月23日，數據為5分鐘高頻數據，一共9431個觀測數。樣本內數據為2012年7月2日到2012年12月31日數據，樣本外數據為2013年1月1日到2013年4月23日數據。

圖1、圖2、圖3、圖4展示了四個大型商業銀行的收益率、核密度和QQ圖，從核密度和QQ圖可以看出收益率數據的分布不服從正態分布。

從表1可看出已實現波動率和持續樣本路徑方差在中國銀行和中國農業銀行數值較大，而在中國工商銀行和中國建設銀行這兩個數值均較小，另外從跳躍方面來講，跳躍成分，持續時間和尺度，中國銀行和中國農業銀行在跳躍方面數值均大于中國工商銀行和中國建設銀行，中國工商銀行股票的跳躍成分較少，持續時間較短，但跳躍尺度會大于中國建設銀行，中國農業銀行的跳躍成分最大，跳躍持續時間最長，中國銀行的跳躍尺度在四個指數中最大。

表2顯示了ACH模型的結果，從結果中可看出，中國銀行和中國農業銀行股票的跳躍持續期和跳躍發生風險率都高于中國工商銀行和中國建設銀行，一次跳躍后無跳躍持續時間越長，跳躍發生的風險率就越高。表3顯示了HAR-J模型估計的結果，從表3可看出，中國銀行和中國農業銀行的股票跳躍尺度的持續性高于中國工商銀行和中國建設銀行。

從表4和5可看出，不論從違反率還是p值，HAR-CJ和HAR-CJN比HAR-RV返回測試結果要好，且HAR-CJN的模型效果最好，中國工商銀行和中國建設銀行的違反率和p值比中國銀行和中國農業銀行的要好很多。從1%VaR來看，中國工商銀行和中國建設銀行的違反率比較接近1%，而中國銀行和中國農業銀行則比較偏離，從5%VaR來看，中國銀行和中國農業銀行的違反率則遠遠偏離5%。

從表6可看出，不論從MAE還是MSE指標來看，HAR-RV模型效果最差，HAR-CJ居中，HAR-CJN最好。另外可看出中國工商銀行和中國建設銀行的這兩個指標較小，而中國銀行和中國農業銀行這兩個指標偏大。

六、結論

本文對中國工商銀行，中國建設銀行，中國銀行和中國農業銀行的股票數據進行風險價值VaR建模，運用的方法為常用的HAR-RV和國內還沒有涉及的HAR-CJ和HAR-CJN這三種方法。對方法效果評定采用了違反率和P值、MAE和MSE作為評價指標，研究結果表明已實現波動率和持續樣本路徑方差在中國銀行和中國農業銀行中較大，而在中國工商銀行和中國建設銀行這兩個數值均較小，中國銀行和中國農業銀行在跳躍成分，持續時間和尺度均大于中國工商銀行和中國建設銀行。不論從違反率還是p值，HAR-CJ和HAR-CJN比HAR-RV返回測試結果要好，且HAR-CJN的模型效果最好，中國工商銀行和中國建設銀行的違反率和p值比中國銀行和中國農業銀行的要好很多。不論從MAE還是MSE指標來看，HAR-RV模型效果最差，HAR-CJ居中，HAR-CJN最好。

（責任編輯：陳薇）

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