球面與偽球面之異同

侯瑩楠

摘要：本文給出了球面與偽球面的數點異同，并給出了偽球面的面積和偽球體的體積。

關鍵詞：球面；偽球面；體積；三角形；平行公理

一、預備知識

19世紀上半葉，德國數學家黎曼與俄國數學家羅巴契夫斯基分別獨立地創立了非歐幾何，被世人分別稱作黎曼幾何與羅氏幾何，這為數學的發展開辟了新的廣闊天地，堪稱“數學史上的里程碑”。在三維空間里，歐氏幾何，黎曼幾何與羅氏幾何的常曲率空間分別為：曲率為零，曲率為正常數，曲率為負常數。特別地，球面與偽球面分別是黎曼幾何與羅氏幾何中極具代表性的曲面。本文中，我們給出了球面與偽球面的數點異同。

在研究球面與偽球面之前，我們需要先熟知兩種曲面的產生過程。為了便于觀察與比較，我們還需要在代表符號上運用一定的技巧。

（一）球面

定義1在Oxz平面上，我們僅考慮z軸右方的半平面（x≥0），曲線（C）上任意一點到原點O的距離始終保持定長R，則此曲線稱作半圓線。

易知，半圓線的方程為x=Rcosθ，-■≤θ≤■，z=Rsinθ，-∞

其中θ為半徑與x軸所成的角。若把上述半圓線繞z軸旋轉一周，所得的旋轉面稱作球面。它的參數表示是

x=Rcosθcos？漬，-■≤θ≤■，y=Rcosθcos？漬，0≤？漬≤2π，z=Rsinθ，-∞

令球面■={Rcosθcos？漬，Rcosθsin？漬，Rsinθ}，則可由知球面的第一、二基本量分別為E=R2，F=0，G=R2cos2θ，L=R，M=0，N=Rcos2θ，即有球面的第一基本形式I=R2dθ2+R2cos2θd？漬2，第二基本形式II=R2dθ2+Rcos2θd？漬2。

（二）偽球面

類似球面的定義，我們首先介紹Oxz平面上曳物線的定義。

定義2設曲線（C）上任意一點的切線上介于切點和軸之間的線段始終保持定長R，則此曲線稱為曳物線。其方程為

x=Rsinθ，0<θ≤■，z=±R（ln tan■+cosθ），-∞

其中θ為切線與z軸所成的角。若把上述曳物線繞軸旋轉一周，所得的旋轉面稱作偽球面。它的參數方程是

x=Rsinθcos？漬，0<θ≤■，y=Rsinθsin？漬，0≤？漬≤2π，z=±R（ln tan■+cos？漬），-∞

令偽球面■={Rsinθcos？漬，Rsinθsin？漬，±R（ln tan■+cosθ）}，則有 ■={Rcosθcos？漬，Rcosθsin？漬，±R■}，

■={-Rsinθcos？漬，-Rsinθsin？漬，±Rcosθ（■）}，

■={Rsinθsin？漬，-R，0}，

■={-Rsinθsin？漬，Rsinθcos？漬，0}，

■={-Rsinθcos？漬，-Rsinθsin？漬，0}，

■=■=■·{±R2cos2θcos？漬，±R2cos2θsin？漬，R2sinθcosθ}={±cos2θcos？漬，±cos2θsin？漬，sinθ}。

從而有偽球面的第一、二基本量分別為

E= ■· ■=R2cot2θ，F= ■· ■=0，G= ■· ■=R2sin2θ，

L=■·■= ±Rcotθ，M=■·■=0，N=■·■=±Rsinθcosθ。

即有偽球面的第一基本形式為I=R2cot2θdθ2+R2sin2θd？漬2，

第二基本形式為II= ±Rcotθdθ2±Rsinθcosθd？漬2。

（三）球面與偽球面上有關概念

在歐氏幾何中，直線（線段）、角、三角形等是非常基礎，極其重要的研究對象。在非歐幾何中，同樣要研究這些概念。而這些概念在球面與偽球面中是怎樣表現出來的呢？

1.偽球面上的“直線”——測地線。通過偽球面的第一基本形式I=■（dx2+dy2）經過保角變換將其映到平面上，則其上的測地線對應于圓心在軸上的圓。現我們僅考慮Oxz平面上在x軸上方的半平面，即稱為羅氏平面。羅氏平面上的半圓即稱為羅氏直線。羅氏平面上的任意兩點恰好由一條羅氏直線連結，通過保角變換，它們對應偽球面上的兩點。相應地，連結偽球面上的兩點只有唯一一條測地線，這與歐氏平面上兩點連一直線亦很相似，所以，我們把偽球面上的測地線稱為偽球面上的“直線”。

2.偽球面上過一點A引兩條“射線”（測地線弧）AB和AC，它們所構成的圖形稱作偽球面上的角，記作偽球面∠BAC，A，稱作“角”的頂點，測地線弧AB，AC稱作“角”的邊。

二、球面與偽球面的相同之處

我們看到，球面與偽球面的第一、二基本量均不相同，但注意到球面中，而偽球面中EG=R2·R2cos2θ=R4cos2θ，這在某種意義上說是相同的，即均為定長的4次方與第一變角θ的余弦的平方的乘積。同樣地，球面上LN=R·Rcos2θ=R2cos2θ，偽球面上LN=？芎Rcotθ·（±Rsinθcosθ）=-R2cos2θ，其絕對值在某種意義上可以說是相同的，它們只是符號相反。這讓我們不禁聯想到了Gauss曲率的一個計算公式K=■，可以得到球面上K=■，為正常數，偽球面上，為負常數，這在一定意義上也可以說是相同的。

有了第一基本量，我們很自然地想到利用公式？滓■■dudv（積分區域D-（u，v）平面的區域）來得到曲面的面積。不難驗證球面的面積為S球=4πR2。

現在我們來得到偽球面的面積，試與球面比較。由于偽球面中所定義的θ角的特殊性，以及偽球面關于xoy面的對稱性，我們先計算曳物線z≥0部分所掃過的面積

S1=■■dθdv

=■■R2cosθdθd？漬

=2πR2■cosθdθ

=2πR2

故整個偽球面面積即為S=2S1=4πR2。顯然，這與球面面積公式相當的吻合，均為定長的平方的4π倍。這也充分表明了只要（偽）球面的（虛）半徑給定，那么它們的面積為定值，并且是有界的，從而也有其上的三角形的面積也是有界的。

在非歐幾何中，已經不存在相似三角形，所以，球面三角形與偽球面三角形均是要么全等，要么不同。平面三角形全等的判定定理有（s，s，s），（s，a，s），（a，s，a），（a，a，s），這些定理在球面與偽球面中同樣成立，因為它們的證明與第五公設無關。值得注意的是平面三角形中證明兩三角形相似的（a，a，a）定理。在球面與偽球面中已不存在相似三角形，那么（a，a，a）定理能否成為證明兩球面三角形或兩偽球面三角形全等的工具呢？回答是肯定的。

總之，球面與偽球面作為非歐幾何中的典型代表，有著許多相同之處。而作為非歐幾何的兩個分支，它們又有著很大的不同。它們的發展仍未達到完善，需要進一步地研究與探索。我們應該繼承和發揚前輩數學家的勇于創新，堅持不懈的精神，在數學王國中貢獻自己的力量。

參考文獻：

1.梅向明、黃敬之，《微分幾何》（第三版）[M]，高等教育出版社，2003

2.王申懷，《平面幾何與球面幾何之異同》[J]，數學通報，2006

3.李忠，《非歐幾何及其模型》[J]，《數學通報》，2005

4.李忠，《非歐幾何及其模型》（續）[J]，《數學通報》，2005

5.李光漢，《球面幾何及其應用》[J]，《中學數學》，2005

【責編 田彩霞】