感悟不等關系的探究之旅

何繼剛

在2013年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動江蘇寶應中學賽點，有9位教師進行了同課異構的教學展評，課題是蘇教版必修5《不等式》第一課《不等關系》。每位教師的課都有自己的特色，讓我們看到了在新課改引領下青年教師成長的喜人局面，也充分展現了本次展評活動“以學定教，學教相長”的教學特色。下面對張家港崇真中學刁克老師的課，談幾點看法，一管之見，供同仁參考。

一、幾點特色

刁老師的課很有生活氣息，他成功地將學生帶入充滿不等關系的“觀影之旅”，在具體情境中，他扮演了“導游”角色，引領學生經歷了一個又一個不等關系的探究。本課也很有“數學性”，在處理生活中不等關系的過程中，積極引導學生用數學模型來思考問題，增強了學生將生活問題數學化的意識和能力。

1.生活引領：以生活經驗為基礎，感知不等關系。

本節課以一個觀影之旅為主線，創設了生動的系列化的問題情境，并通過圍繞不等關系的問題鏈，引導學生觀察分析、自主發現、合作探究，感悟和提煉生活中的不等關系，為構建學生的數學認知結構奠定了基礎。

2.導問引領：以問題為中心，探究不等關系。

刁老師在引出課題后，通過3個問題以及思考題構成的問題鏈，進一步引領學生發現生活中存在的“不等關系”，并用數學語言將其數學化，營造探究問題的自主學習氛圍。

“問題1”的設計意圖在于，突出一元一次不等式數學模型的具體應用，思考題是“問題1”的拓展，它可以強化學生分類討論的意識，提高學生應用不等關系進行思辨的能力。通過處理思考題中的兩種方案，提高了學生分析數據、利用不等關系進行決策的能力。

“問題2”的設計意圖在于，引導學生理解和掌握用一元二次不等式數學模型解決實際問題中的不等關系問題，同時引導學生從變量設法的不同，來理解和選擇解決問題的方案，培養學生解決不等關系問題的靈活性。

“問題3”引導學生學會了根據題目建立多個不等條件和同時成立的不等關系模型，可以讓學生學會根據題目準確地列出二元一次不等式組，為后面利用線性約束條件解決目標函數問題做好鋪墊。

這三個問題環環相扣，分層遞進，使學生對不等關系的認識由淺入深、由表及里，使學生的探究逐步走向深入，強化了運用不等式模型解決不等關系的意識，學生的數學化的能力得到提升。

3.活動引領：以形成思維模式為目標，建構不等關系。

刁老師的課堂很注重學生的參與，每個問題提出后，他均能有效地組織學生活動，讓學生在交流中互補，在交流中建構數學模型，在交流中培養學生發現不等關系的能力。他通過有效的活動實現了思維建構、知識建構與數學模型的建構，通過分組合作學習探究，解決了3個實際生活中的不等關系問題，讓學生獲得了“一元一次不等關系的數學模型”“一元二次不等關系的數學模型”“二元一次不等式組（線性約束條件）的數學模型”。

4.展評引領：以生生合作、師生合作為推手，感悟不等關系。

刁老師的課堂注重通過學生的展示與教師的點評相結合的方式來促進學生進行反思與感悟。例如他追問這樣一個問題：《西游記2》劇組為影片上映做宣傳，準備制作宣傳海報，已知宣傳海報由鋼管支撐，要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍，怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？

對該問題，學生討論得很熱烈，刁老師在請了兩名學生上黑板展示后，告訴學生在實際建立不等關系時，第一要注意不等關系必須符合實際意義，第二要注意所設未知量的單位。這一環節，有學生自主學習成果的展示，也有老師引導下的自覺感悟；有合作學習帶來的廣泛思考，也有老師引導下學生數學知識的主動建構所帶來的感悟；有學生展示帶來的智慧操作，也有學生通過自己的操作帶來的對數學活動經驗的感悟。

二、幾點建議

1.讓列舉不等關系的過程成為深度感知的過程。

本節課學生從自己的生活中發現了很多不等關系，但是這些不等關系，在初中學習不等式時也常常涉及到，因此，僅舉這些實例還缺乏深度和廣度。教學中，我們要從不同維度和不同領域引導學生列舉“不等關系”，如：從生活中、從生產實踐中、從科學實驗中、從學過的數學中（圖形中的不等關系、函數的單調性、正余弦函數的有界性等）去尋找不等關系，將教學與學生的經驗結合起來，讓學生的學習成為有意義的學習。

要讓學生經歷必要的認知過程，即感受不等關系的情境，產生用數學刻畫不等關系的認知傾向，形成問題提出、探究分析、再數學建構的過程。

加強比較教學，要體現建立相等模型與建立不等模型之間的決策過程，通過兩種方案的比較，可以形成一種深度教學的過程。

2.用有遞進的問題鏈逐步引導學生進行深度學習。

本節課的核心概念是“不等關系”，主問題是“如何用數學刻畫不等關系？”即怎樣用數學的語言表示不等關系？教學設計要圍繞主問題設計“問題鏈”，以此引導學生開展生活感悟、數學思維活動、合情推理（嘗試將列出的不等關系用數學式子表示）、相互討論、合作交流等活動，進行深度學習，幫助學生建立不等關系的認知結構：

還要通過問題、作業來設計延續“不等”問題的思維情境，讓“不等關系”的數學思維不斷向后續學習過程延伸。

3.讓構建不等關系的過程成為滲透數學思想的過程。

不等關系的學習要能夠讓學生充分經歷“類比”這一重要的推理過程，感受合理推斷的探索與發現功能。刻畫相等關系的數學模型（等式）與刻畫不等關系的數學模型（不等式）將各自對應于一個“集合”，這兩類“集合”既不相同，又存在密切聯系。在教學過程中，既可以滲透“集合”思想，也可以滲透分類討論的思想與思維方式。

不等式是刻畫不等關系的數學模型，因此，不等式的學習過程是數學建模的學習過程，是使學生感受“模型化”思想與方法的最佳時機。在構建不等關系時，需要先引入字母表示相關的量，因此，這樣的過程又是滲透代數思想的過程。

4.讓運用不等關系的過程成為體現數學價值的過程。

不等式作為刻畫不等關系的數學模型的理論價值與應用價值是什么？這是一個比較深刻的問題，也不是在一節課上就能夠充分體現的，但是，不等式作為用數學來思考的工具，它的簡單美、化歸作用、定量分析作用等數學價值，在這節課的教學中應有所滲透。

（作者系江蘇省特級教師、江蘇省揚州大學附屬中學副校長）