從不等關系的數學化到數學地審視不等關系

何繼剛

【設計理念】

蘇教版必修5第三章《不等式》的章頭語是數學家陳省身的語錄：“我們欣賞數學，我們需要數學。”這寓意深長的話語，非常恰當地描述了“不等關系”這一課的教學定位：“我們欣賞不等關系，我們更需要不等關系。”

本節課是本章的起始課，也是學習本章的基礎。通過學習“不等關系”有助于學生認識到學習不等關系及不等式的必要性和重要性，通過感受具體情境中的不等關系，可以激發學生產生用數學研究不等關系的強烈愿望，并且為進一步學習后面的內容奠定良好的基礎。

不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，不等式與方程、函數、三角等內容有著密切的聯系，是數學研究的重要內容。建立不等觀念，處理不等關系與處理等量問題同樣地重要。

按照為學生學習而設計教學的理念，“不等關系”要以“學的組織方式”為中心來進行教學設計，我覺得在“不等關系”教學設計時要考慮三條線索。

第一條是“不等關系”的思想、觀念、方法與知識線索。根據現代認知心理學，本課我們要學習如下三類數學知識。第一類是陳述性知識：什么是不等關系、不等式模型；第二類是程序性知識：如何尋找不等關系，處理不等關系的流程（設、列、解、驗、答）；第三類是策略性知識：這隱含在整個不等關系知識的學習過程之中，是一些認知策略和對不等關系思維過程的自我反思以及數學思想方法的應用策略等，如對數學建模思想（一元一次不等式模型、一元二次不等式模型、不等式組模型等）的應用。

本課“不等關系”教學設計的本質，就是要在數學的自然形態和數學的學術形態兩極的中間，構建一種既反映數學本質又適合學生學習數學的教育形式。

第二條是學生對不等關系的認知線索。因為學習的主體是學生，我們要關注學生的最近發展區：初中（八年級）已學習了簡單的不等式知識，已經知曉“大于”“小于”等符號的用法和意義，已經能比較兩數的大小，并能用數學語言進行表達。在相關知識的學習過程中，學生已經有了將生活中的數學現象抽象為數學問題或數學模型形式的體驗，獲得并積累了一定的解決實際問題的數學經驗，已具有一定的抽象概括能力、數學建模能力和合情推理能力，同時在以前的學習中學生已經有了很多合作的過程，具備了一定的活動經驗和合作交流能力，這些都為本章的學習奠定了基礎。

第三條是教師的教學組織線索。教學過程要通過教師的組織來實現。關于教學組織，要關注三個方面。

第一個方面是知識的整體性。只有把“不等關系”放到整個高中課程的知識脈絡里，才能更好地認清各類不等關系和應用不等關系的本質，才能清楚我們應該如何幫助學生去理解“不等關系”的本質。

第二個方面是學生的主體性。強調學生的主體性，在教學設計中就要把學生認知的發展放在心里，要做到這一點，一定要通過課前診斷，了解學生對“不等關系”的認識達到了什么程度，哪些地方他們已經掌握，還有哪些地方還存在困難，只有在此基礎上，我們才能有針對性地通過創設情境，提出問題，激活學生已有的“不等關系”的知識和經驗，營造一個有利于新知識建構和問題解決的學習環境，引導學生深度參與探究“不等關系”的過程，提高學生構建“不等關系”數學模型的能力。

第三個方面是教師的主體性。新課程的理念是倡導學生積極主動地探索知識的發生、發展過程，教師應該盡力做好學生探究活動的引路人。本節課，作為教師要完成好如下基本任務：把學生從充滿“不等關系”的現實世界帶到充滿理性思維的數學世界，并讓學生獲得“數學地思考”不等關系（不等關系的教學價值之一）的體驗。

【教學流程】

第一步，導與學——預習引導，獨立初學。

第二步，展與評——互動交流，點撥概括。

第三步，練與思——應用拓展，回顧小結。

第四步，做與診——鞏固練習，診斷反饋。

【教學目標】

1.通過具體情景，感受和欣賞在數學世界、日常生活、生產實踐、科學實驗中存在的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。

2.經歷由實際問題建立不等關系模型的過程，體會并滲透集合思想、分類思想、數形結合思想、代數思想和方法；通過“導與學”“展與評”“練與思”“做與診”四個步驟，達成強化“數學地思考”不等關系的教學目的。

3.通過解決具體問題，掌握數學建模的流程、方法。體會不等關系的數學模型在生活和科學發展中的重要地位和作用，培養發現和應用不等關系的意識和嚴謹的思維習慣，為后續教學奠定基礎。

【教學過程及設計意圖】

1.導與學。

【“導與學”是第一階段教與學的互動。本課教學設計從課前“導”開始。“導與學”是通過問題情境、問題串聯引導預習，促進獨立初學，進而誘發“困惑點”，實現教與學的互動，促進學生對數學知識的自主建構和主動生成。】

問題情境1：回答下面的問題，并談談你對數學家陳省身語錄“我們欣賞數學，我們需要數學”的理解。

（1）什么叫不等關系？

（2）你能列舉出一些不等關系嗎？

生活中：

數學中：

科學實驗中：

【以上問題是預習部分，目的是引導學生從身邊的數量關系和數學文化的層面，切入并感悟“不等關系”這一主題，實現與生活、課本、同學、教師的互動，為課前自主學習與課上生生合作、師生合作作準備。】

問題情境2：完成下列填空，并歸納出將不等關系數學化的基本步驟。

（1）我國《道路交通安全法》第91條明文規定：血液酒精c含量超過20mg/ml但不足80mg/ml的為酒駕，達到或超過80mg/ml的為醉駕。

不等關系詞：

數學表達式：

（2）某品牌乳飲料的質量檢查規定，乳飲料中脂肪的含量m應不少于2.5%，蛋白質的含量n應不少于2.3%。

不等關系詞：

數學表達式：

（3）設點A與平面α的距離為d，B為平面α上的任意一點，則d不大于AB。

不等關系詞：

數學表達式：

【以上問題是課前預習題，其目的是，培養學生用數學的觀點看問題的意識，學會數學地思考問題的方法，為學習不等式建模方法作準備。】

問題情境3：下圖為某三岔路口交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A，B，C的機動車輛數如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等），試判斷x1，x2，x3的大小關系。

【通過上例引發學生數學地思考生活中的不等關系，學會利用不等式模型評估交通的車流量問題。】

問題情境4：（根據蘇教版必修5中問題改編）某博物館的門票每位10元，20人以上（含20人）的團體票8折優惠。若你替一個團隊去購買門票，應該選擇怎樣的購票策略？

【設置以上開放性問題，是預設的“導學點”，其目的是引發學生對“相等關系”與“不等關系”認知上的沖突，激起學生強烈的求知欲，打開學生對不等問題的興趣，激活學生自主學習的動機。

課前診斷是“獨立初學”與課堂教學之間的重要環節，通過觀察預習的過程、與學生對話、檢查導學案等途徑，促進學生對“獨立初學”進行自我診斷與教師課前診斷，由此發現學生學習本課內容的“困惑點”，形成有效反饋，這是上好這節課的前提。】

2.展與評。

【“展與評”是第二階段教與學的互動。展示環節是展示學生自主學習的成果、學生與課本對話的成果、合作學習的成果，更重要的是引發課堂對話、互動探究，外顯難點、疑點，呈現數學思維的“探究點”。

“展”與“評”是交織在一起的兩個環節，“展”中有“評”，“評”中有“展”，展示環節首先對預習成果進行了展與評，在此基礎上繼續展評，應用新知識解決例題的成果。】

展示活動一。展示“問題情境1”引導下的自學成果，由學生講述對上述問題的理解，通過揭示豐富的生活意義、實踐意義、幾何意義、代數意義來列舉并欣賞不等關系，引導學生深入到已學過的數學模塊中去找不等關系，到不同的學科領域中去找不等關系，來深化我們的教與學。

如：某路段限速40km/h，司機在該路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式是：

數學中的不等關系：“三角形的兩邊之和大于第三邊”“函數單調性的定義中的不等關系”“若為銳角（單位為弧度）由單位圓及三角函數線可比較出α，sinα，tanα的大小關系”等。

展示活動二。由學生講述對上面“問題情境2”中問題的理解，引領學生進行歸納推理，獲得與不等關系對應的數學模型（數學本質），用數學語言揭示出不等關系的心理操作流程（思維結構）：

展示活動三。分析1：由“情境問題3”中圖形知：x1=50+x3-55，x2=x1-20+30，x3=x2-35+30，由此得：x2=x3+5，x1=x3-5，故x1

分析2：設由路段CA進入路段AB的車輛數為a則有x1=50+a，x2=（50+a）-20+30=60+a，x3=55+a，∴x2>x3>x1。

展示活動四。預設可能有學生給出如下解答：

思路1：設購票人數為x人，購票費用y元，則y=10x（1

圍繞以上求解，請學生進行評價。若沒有人找到“局限性”，可作如下提示：是不是人數少于20都要買普通票呢？針對這一問題，讓學生分組討論，然后各組派一人發言。預設有如下思路：

思路2：20人團體票是10×0.8×20=160元，=16，所以不少于16人時買團體票，少于16人時買普通票劃算。

首先肯定其正確性，再用代數思想分析這種算術解法的局限性，引導學生給出如下思路：

思路3：設購票人數為x人，則當10x>20×10×0.8時，買團體票劃算，所以x>16。

答：超過16人x>16時買團體票劃算；少于16人x<16時買普通票劃算；x=16時花費一樣。

事實上，將“思路1”改進一下，可用分段函數表示如下：

10x（1≤x<16）160（16≤x<20）8x（x≥20）

展示活動五（應用）。例1：某商品進價每件40元，售價是每件60元，每周可賣出300件。市場調查反映：每漲價1元，每周要少賣出10件。要想獲得不少于6000元的利潤，該商品的價格應定在怎樣的范圍內？（列式不求解）

【（1）引導學生按處理不等關系的操作流程，從問題中進價、售價、成本、利潤、銷售額等概念中，理清各量之間的關系；學習利用不等關系建立一元二次不等式模型解決實際問題的技能，提高解決實際問題的能力。（2）改變變量設法來解決此問題，培養學生應用數學建模解決實際問題的靈活性。】

針對本題，可采用如下教學方法：學生分組討論，各組展示。預設變量有兩種設法。

思路1：設每件漲價x元，要想獲得不少于6000元的利潤，則（60+x-40）（300-10x）≥6000

此處忽視兩點，其一，忽視x∈N（漲價是以元為單位的）；其二，忽視實際意義，即忽視x∈[60，90）且x∈N，此處確定定義域也隱含一個不等關系，這也是一個教學難點。因此在處理函數或不等關系問題時，一定要關注定義域問題。

思路2：設每件定價為x元，x∈[60，90）且x∈N，要想獲得不少于6000元的利潤，須有（x-40）[300-10（x-60）]≥6000

展示活動六（展示應用）。例2（根據蘇教版必修5中問題改編）：下表給出了三種食物X，Y，Z的維生素含量及成本。

某人欲將這三種食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，設X，Y這兩種食物各取xkg，ykg，那么x，y應滿足怎樣的關系？（列式不求解）

【引導學生理解和掌握建模思想，將問題中的不等關系數學化為二元一次不等式組，提高學生應用不等式模型數學地思考實際問題的能力。】

由題意，X，Y兩種食物各取xkg，ykg，所以食物Z應取（100-x-y）kg，

則有300x+500y+（100-x-y）300≥35000700x+100y+（100-x-y）300≥40000100-x-y≥0x≥0y≥0

此題，有學生設三種食物各xkg、ykg、zkg，沒有注意到相等關系z=100-x-y。教師繼續通過學生“獨立思考—組內合作—集中展示”，捕捉“內化點”，再次進行點撥、概括、內化。

3.練與思。

【“練與思”是第三步教與學的互動。本環節是通過練習與反思來鞏固、加深對數學建模思想的理解，實現建模和方法的有效遷移，因此設置如下鞏固練習。】

（1）練習與鞏固。

①在圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連結AD、BD。試利用這個圖形，比較與的大小。

②某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產的要求，600mm鋼管的數量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？

（2）回顧與反思。

可激活如下“反思點”。

①畫思維導圖：

②智慧操作：

4.做與診。

【“做與診”是教與學的第四次互動。“做”要完成兩項任務，其一，復習鞏固性作業。其二，預習性作業。復習鞏固性作業是為了學生再次自我診斷和教師對教學的再次反饋，預習性作業是為了下一課的導學。本課作業：必修5，P68，練習。

其目的是為下一課埋下伏筆，形成“課前—課堂—課后”一個完整的循環學習鏈，使學生的數學思維能力在教師指導下能夠在自主學習中實現螺旋式上升。】

【教學反思】

1.“不等關系”的教學設計基于學生的預習。為深度感知教學資源，本課的教學有效性基于課前預習及其課前診斷，成功地引導學生從多個維度、不同領域尋找“不等關系”，是形成深度學習的前提，比如從生活中，從生產實踐中，從科學實驗中，從學過的數學中去尋找不等關系（像圖形中的不等關系、函數的單調性、正余弦函數的有界性等）。要引導學生將教學與生活經驗結合起來，將不等關系的學習與學習函數關系結合起來，使學生的學習成為有意義的學習。

2.“不等關系”的教學設計要引導學生產生螺旋式上升的認知。學生在初中學習不等式時，已學習了一些不等式知識，因此，我們的教學不能在此徘徊，而要在學生已經學過的基礎上，在更高層面上讓學生經歷必要的認知過程，即讓學生感受不等關系的情境，產生數學地刻畫不等關系的認知傾向：形成問題，探究分析，進行數學建構的過程。還要引導學生進行比較學習，體會建立相等模型與建立不等模型之間的選擇過程，通過兩種方案的比較，形成深度教學的過程。

“不等關系”的教學應使學生對數量關系的認知結構更加完整和優化。不等關系的模型與函數關系結合起來，為我們認識世界、理解世界、數學地觀察世界又增添了一個有力的工具。

3.是否落實“以學定教，教學相長”的理念，主要體現在兩個方面。其一，落實各環節的診斷。其二，構建不等關系的過程，生成有效資源的質、量和利用率。不等關系的學習要能夠讓學生充分經歷“類比”這一重要的合情推理過程，感受合情推理的探索與發現功能。

建模的思想是處理“不等關系”的重要思想，因此，不等式的學習過程是數學建模的學習過程，是使學生感受“模型化”思想與方法的最佳時機。在構建不等關系時，需要先引入字母表示相關的量，這樣的過程又是滲透代數思想的過程。

4.已構建的“不等關系”模型是我們認識世界、改造世界的重要工具。“不等關系”的模型，為我們深度研究、深度學習提供了不竭的動力。

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學）