數學式形結構的教學與能力的培養

李妙紅

產生式遷移理論認為，先后兩項技能學習產生遷移的原因是兩項技能之間產生式的重疊，重疊越多，遷移量越大。產生式的相同或相似是遷移產生的最佳條件。而任何數學問題都會以一定的形式出現，它的結構模式可能與已知的公式及題型具有相同或相似的地方，這就為解決新的數學問題提供了有效的途徑。因此在數學教學中通過揭示這種結構模式上的內在聯系，加深學生對數學式形的認知，并通過這種認知的遷移，促進解題策略的遷移，從而提高學生的解決問題能力。

一、 公式型“數學式形結構”

由問題的結構形式與某些已知的公式相同或相似，聯想到一個先前學過的結構更清晰的命題，從中找到解題的策略，培養學生的思維習慣和解決問題的能力。

例1.求函數y=■+■的最小值及相應x的值。

本題解法主要是要把求函數的最小值轉化為求到兩點的最小距離（過程略）。

由上面的例子可以看到，由于對兩點間距離公式和點到直線的距離公式的結構的認知及這種認知的遷移，并利用數形結合把一道難于解決的問題轉化為一個比較具體、直觀且易于解決的問題，開闊了學生的解題思路，有利于學生解決問題能力的培養。

二、 特例型“數學式形結構”

通過分析一些特例的“數學式形結構”的更深層次的結構規律，并挖掘其結構的背景，使學生對問題的結構模式認知產生遷移，從而從一個特例的解法得到一類問題的解法，促進解題能力的提高。

例2.求和：■+■+■+…+■。

【解析】觀察通項公式的特點，發現an=■=■-■。

∵■=■-■，∴原式=（1-■）+（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=1-■=■。

上面的“裂項求和法”還可以推廣到數列的通項型如：■=■-■；■=■-■；■=

■-■■=

■■-■等式形結構數列求和。

如此可見，我們通過深入分析一個特例的結構規律和解法，可以得出某一類的一般解法，實現了源于課本，高于課本，提高了學習效率，同時也提高了學生探索、發現及解決問題的能力。

三、創新型“數學式形結構”

1. 通過換元或構造。

根據數學式形結構特點引發聯想，進行“換元”或構造，簡化結構或構造新的數學模式，從中找到解題的策略，培養思維的獨創性，有利于在更高層次上發展學生的能力。

例3.已知非零實數a、b、c滿足a+b+c=abc，求證：■+■+■=4。

本題解法主要由已知條件a、b、c∈R且a+b+c=abc聯想到ΔABC中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（A+B+C=π）入手（過程略）。

2. 通過歸納和引申。

通過對數學式形結構的歸納引申，發現規律性的結構，培養探究問題的能力和創造力。

例4. 給定數列Xn且Xn+1=■，求X2012-X1002的值.本題主要解法通過構造Xn=tanan，tan30°=■來將問題進行轉化，從而將問題簡單化（過程略）。

數學式形結構是很豐富的，學生對數學式形的認知、理解程度，從某種意義來說，反映出學生數學素養水平的高低。學生對于公式的理解和應用，對類似或相同結構命題解法的聯想、遷移，對數學問題的歸納、引申，其直接的原因是對于數學式形結構的認知。因此，在平時的教學中，要重視式形結構的認知和應用的教學，充分挖掘教材的潛力，發現更多有利于發展學生能力的題材，促使學生全面素質的提高。

責任編輯徐國堅