讓數(shù)學(xué)思想扎根于課堂

葉育新

一、學(xué)情和教材分析

（一）教學(xué)目標(biāo)分析

基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能分析：本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí)為平行四邊形的面積公式，需要達(dá)到的目標(biāo)要求是“理解”。本節(jié)課的基本技能是正確計(jì)算平行四邊形的面積，需要達(dá)到的目標(biāo)要求是“掌握”，可以將本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能方面教學(xué)目標(biāo)表述為——理解平行四邊形的面積計(jì)算公式，能正確計(jì)算平行四邊形的面積，并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

數(shù)學(xué)思想與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分析：本課探究活動(dòng)中蘊(yùn)含——轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、變與不變的思想、對(duì)應(yīng)思想以及符號(hào)思想。本課最主要的數(shù)學(xué)思想是“轉(zhuǎn)化思想”與“變中有不變”思想，數(shù)學(xué)思想屬于過(guò)程目標(biāo)，需要達(dá)到的目標(biāo)要求是“體驗(yàn)”。在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)方面，本節(jié)課在操作探索過(guò)程中，可以幫助學(xué)生積累“數(shù)格子”的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)圖形面積的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，可以幫助學(xué)生積累圖形剪拼的經(jīng)驗(yàn)，為三角形和梯形面積的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)，還可以幫助學(xué)生積累歸納、推理等思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，本節(jié)課可以將基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)方面的教學(xué)目標(biāo)表述為——在平行四邊形面積公式的探索過(guò)程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和變中有不變的思想，積累數(shù)格、剪拼、歸納、推理等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）學(xué)情分析

從知識(shí)層面來(lái)說(shuō)，學(xué)生在三年下冊(cè)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)《面積和面積單位》，知道“物體的表面或封閉圖形的大小”就是面積；在四年上冊(cè)《平行四邊形和梯形》這節(jié)課中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)平行四邊形的圖形特征，知道“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”；在三年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了《長(zhǎng)方形和正方形的面積》，知道長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式。從經(jīng)驗(yàn)層面來(lái)說(shuō)，學(xué)生經(jīng)歷過(guò)長(zhǎng)方形和正方形的面積推導(dǎo)過(guò)程，積累了一定操作經(jīng)驗(yàn)，比如學(xué)會(huì)用畫(huà)垂線的方法畫(huà)高，在方格紙上畫(huà)平行四邊形，平面圖形拼組等。這些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行四邊形的面積奠定了基礎(chǔ)。五年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主，具有一定的動(dòng)手操作能力和抽象思維能力。因此，本節(jié)課應(yīng)讓他們動(dòng)手實(shí)踐，通過(guò)觀察、比較、探究、推理，充分經(jīng)歷平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程。

（三）教材分析

從教材編排來(lái)看，本節(jié)課的教學(xué)分三個(gè)主要步驟（詳見(jiàn)教材）。

1.現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入。從主題圖中的兩個(gè)花壇（一個(gè)長(zhǎng)方形，一個(gè)平行四邊形）引入一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：兩個(gè)花壇哪一個(gè)大？從而提出如何計(jì)算平行四邊形面積的問(wèn)題。

2.用數(shù)格子法計(jì)算面積。教材安排同時(shí)數(shù)一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)平行四邊形的面積，意圖在于暗示這兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系，為學(xué)生進(jìn)一步探尋平行四邊形面積的計(jì)算方法做準(zhǔn)備。

3.探究平行四邊形面積計(jì)算公式。通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，用割補(bǔ)的方法把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方形，找出兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系，推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算公式。

二、教學(xué)建議

（一）借助格子圖體會(huì)轉(zhuǎn)化思想

本單元編排平面圖形的面積計(jì)算是以長(zhǎng)方形面積計(jì)算為基礎(chǔ)，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以未知向已知轉(zhuǎn)化為基本方法開(kāi)展學(xué)習(xí)。安排順序如圖1所示。

不難看出，“轉(zhuǎn)化”是平行四邊形面積公式推導(dǎo)的核心思想。在本節(jié)課中，如果不借助教師的提示或者教材的暗示，讓學(xué)生獨(dú)立地想到“轉(zhuǎn)化”，是比較困難的。因此，人教版教材先通過(guò)數(shù)格子來(lái)計(jì)算面積，并特意安排了一個(gè)表格，教師可以在學(xué)生填完表格后追問(wèn)“你發(fā)現(xiàn)了什么？”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形的面積可以等于平行四邊形的面積。這就為后面的圖形轉(zhuǎn)化和面積推導(dǎo)奠定基礎(chǔ)。然后進(jìn)一步提出：如果不借助數(shù)格子，能不能計(jì)算平行四邊形的面積呢？

遇到新問(wèn)題為什么懂得這樣思考是思維模式問(wèn)題。在本節(jié)課中，學(xué)生最難確立的就是圖形轉(zhuǎn)化的思路。那么，有沒(méi)有更好的方法幫助學(xué)生確立這種思路呢？是由教師直接告訴學(xué)生？還是讓學(xué)生自己頓悟？如果學(xué)生缺乏這樣的前期學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能否做到頓悟？蘇教版的教材十分重視數(shù)格子圖的呈現(xiàn)，可以為人教版的教學(xué)提供借鑒（如圖2所示）。例1從比較方格紙上每組中的兩個(gè)圖形面積是否相等入手，引導(dǎo)學(xué)生把稍復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成相對(duì)簡(jiǎn)單的、熟悉的圖形，我們可以看到，例1提供的素材不僅僅要求學(xué)生通過(guò)數(shù)格子來(lái)計(jì)算圖形面積，學(xué)生還可以在數(shù)格子的過(guò)程中優(yōu)化數(shù)格子的策略，通過(guò)圖形的分割和平移，感悟割補(bǔ)的思路，為把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的探索活動(dòng)提供思想孕伏。有了這種體驗(yàn)，例2（如圖3所示）進(jìn)一步提出：“你能不能把右圖中的平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形呢？”借助格子圖的背景，學(xué)生不難想到割補(bǔ)法。

體會(huì)數(shù)學(xué)思想最終的目的是幫助學(xué)生建立相對(duì)穩(wěn)定的思維模式。筆者認(rèn)為，為了幫助學(xué)生形成轉(zhuǎn)化的思想，教師可以在課堂總結(jié)時(shí)對(duì)面積推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行回顧和梳理，凸顯轉(zhuǎn)化的思想，并強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的重要性，為下一節(jié)課三角形的面積推導(dǎo)奠定基礎(chǔ)。

（二）幫助學(xué)生積累剪拼的經(jīng)驗(yàn)

明確了圖形轉(zhuǎn)化的思路后，對(duì)如何將平行四邊形轉(zhuǎn)變成長(zhǎng)方形就顯得尤為重要。在本節(jié)課中，學(xué)生想到用圖形轉(zhuǎn)化的思路推導(dǎo)平行四邊形的面積公式屬于思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形則屬于操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如果學(xué)生不能順利地將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形，就會(huì)給后面的面積推導(dǎo)造成障礙。有的教師為了掃除學(xué)生探究過(guò)程中的障礙，幫助學(xué)生順利地通過(guò)操作得出結(jié)論，設(shè)計(jì)了過(guò)于具體的操作要求。例如，（1）拿出一張平行四邊形紙片，（2）畫(huà)出平行四邊形的高，（3）用剪刀沿著高剪開(kāi)，（4）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，由于學(xué)生受到事先設(shè)計(jì)好的程序的束縛，而使得整個(gè)操作活動(dòng)缺乏創(chuàng)新性和生成性，缺乏必需的個(gè)性體驗(yàn)，但是，如果教師不提示學(xué)生沿著高剪開(kāi)，會(huì)有多少學(xué)生會(huì)順利地進(jìn)行剪拼呢？蘇教版的做法是借助格子圖的直觀暗示（如圖4）。觀察格子圖，學(xué)生不難想到可以沿著高剪開(kāi)，再平移。在出現(xiàn)兩種不同剪拼的方式后，教師可以追問(wèn)一句：“為什么要沿著高剪開(kāi)呢？”其實(shí)，借助圖形可以發(fā)現(xiàn)，沿著高剪開(kāi)會(huì)產(chǎn)生直角，而形成長(zhǎng)方形需要直角，這樣，通過(guò)觀察和嘗試，學(xué)生就可以順利地進(jìn)行剪拼。

當(dāng)然，如果大部分學(xué)生學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，則可以放手讓學(xué)生自己剪，在呈現(xiàn)不同的剪拼結(jié)果（有的拼成長(zhǎng)方形，有的拼成平行四邊形）教師可以讓學(xué)生介紹剪拼過(guò)程，然后追問(wèn)：“怎樣剪才能拼成長(zhǎng)方形，一定要沿著高剪開(kāi)嗎？為什么？”（可以借助上述課件演示說(shuō)明）這樣，學(xué)生既明白剪拼的方法，又明確了剪拼的原理，有效積累了圖形剪拼的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（三）關(guān)注探究過(guò)程中的合情推理

合情推理一般分為類比推理和歸納推理。在課堂教學(xué)中，某些概念、法則、規(guī)律等的闡述與探索，常常是抓住兩類知識(shí)的連接點(diǎn)，借助類比推理，由舊知過(guò)渡遷移到新知。這種思維方式比較符合兒童從具體感知向抽象思維過(guò)渡的認(rèn)識(shí)規(guī)律。但是這種推理不一定都是正確的。比如在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形的面積之后學(xué)習(xí)平行四邊形的面積，學(xué)生容易受到“長(zhǎng)×寬”或“邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”的影響，猜想平行四邊形的面積可能等于鄰邊相乘。筆者認(rèn)為，可以借助長(zhǎng)方形框架解決這個(gè)問(wèn)題，以下是一位教師的課堂精彩片段。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察老師手上的平行四邊形。（利用活動(dòng)模型演示將平行四邊形逐漸拉扁）

師：在剛才的過(guò)程中，圖形的周長(zhǎng)變了嗎？為什么？

生：周長(zhǎng)沒(méi)變，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚牡缀透邲](méi)有變。

師：面積變了嗎？為什么？

生：面積在慢慢地變小。

師：現(xiàn)在你覺(jué)得用相鄰的兩條邊相乘能不能算出平行四邊形的面積呢？為什么？

生：不行，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膬山M底邊沒(méi)有變，而它的面積卻在慢慢變小，所以用鄰邊相乘的方法計(jì)算平行四邊形的面積是錯(cuò)誤的。

師：（拉動(dòng)平行四邊形模型）？搖想一想是什么的變化引起了平行四邊形面積的變化呢？

生：是高的變化引起的。

師：我們能不能把平行四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形來(lái)說(shuō)明呢？

在學(xué)生思考、討論的基礎(chǔ)上，教師結(jié)合課件的剪拼演示，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出計(jì)算方法。

上述片段教學(xué)中，在拉動(dòng)長(zhǎng)方形框架變成不同的平行四邊形且面積越變?cè)叫〉倪^(guò)程中，讓學(xué)生直觀感受到在周長(zhǎng)不變的情況下，平行四邊形的面積大小一定與高有關(guān)。當(dāng)然，也可以在高不變的情況下，通過(guò)底越切越短，面積也隨之越變?cè)叫〉难菔荆處熥穯?wèn)學(xué)生，是什么的變化引起了面積的變化？讓學(xué)生得出猜想：平行四邊形的面積大小與它的底和高都有關(guān)系。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以想到平行四邊形的面積（有可能）=底×高。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的猜想和驗(yàn)證是類比推理的重要載體，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，不簡(jiǎn)單否定學(xué)生的錯(cuò)誤想法，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行科學(xué)驗(yàn)證，充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過(guò)程，這樣做有利于發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

合情推理的另一種形式是推理。歸納推理是從已有的事實(shí)，包括定義、公理、定理等出發(fā)按照規(guī)定的法則，包括邏輯和運(yùn)算證明結(jié)論。在經(jīng)歷了以上類比推理后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生借助以下問(wèn)題完成歸納推理的過(guò)程：（1）是不是任何一個(gè)平行四邊形都能剪拼成長(zhǎng)方形？（2）平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后它的面積有沒(méi)有變化？（3）拼成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與原來(lái)平行四邊形的底有什么關(guān)系？（4）拼成長(zhǎng)方形的寬與原來(lái)平行四邊形的高有什么關(guān)系？

（作者單位：福建省福州市錢塘小學(xué)）