探究輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用

黃翠蓮

摘 要：構(gòu)造輔助函數(shù)由于能夠較快的解決變量的問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用比較廣泛。尤其是在高考的解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起輔助函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，從多變元的數(shù)量關(guān)系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關(guān)系，常可使問題變得明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑。

關(guān)鍵詞：輔助函數(shù)；化歸；轉(zhuǎn)化探究

一、直接法構(gòu)建輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用

例題1：若 x>0，求證：sinx

分析：如果直接從函數(shù)角度入手y=sinx和y=x，易得當(dāng)x>1，sinx

歸納分析上述解題步驟我們不難得出幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

（1）轉(zhuǎn)化：把已知問題轉(zhuǎn)化為與0相關(guān)的方程或不等式；

（2）構(gòu)建新函數(shù)y=g（x）

（3）利用導(dǎo)數(shù)等方法，從函數(shù)的單調(diào)性或有界性等角度入手，去分析推理，證明

探究1：不等式的證明：

不等式證明的本質(zhì)就是比較大小，可以是整式與常數(shù)、整式與整式之間的大小問題，常見的不等式證明即可轉(zhuǎn)化為整式值的大小比較，特別是轉(zhuǎn)化為整式與常數(shù)的比較，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

如：已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，恒有

分析：結(jié)合例題1的方法對于不等式進(jìn)行移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手求出最大值與0的關(guān)系即可證明。

探究2：方程的根與恒成立問題：

方程的解和恒成立問題是我們在高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，如何解決好這些問題是我們初步應(yīng)用數(shù)學(xué)思想構(gòu)造輔助函數(shù)的一個(gè)養(yǎng)成過程，當(dāng)然在具體的題目中要求我們要善于分類和化歸。

如：已知函數(shù)在是增函數(shù)， 在（0，1）為減函數(shù)。

（1）求f（x）、g（x）的表達(dá)式；

（2）求證：當(dāng)x>0時(shí)，方程有唯一解；

（3）當(dāng)b>-1時(shí)，若在x∈內(nèi)恒成立，求b的取值范圍.

分析易得：

問題（2）是關(guān)于方程根的問題，結(jié)合例題1的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得。設(shè) ，

令，并由x>0得解知x>1令由列表分析：

可知在x=1處有一個(gè)最小值0，當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，>0，

∴=0在（0，+∝）上只有一個(gè)解.即當(dāng)x>0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解。

問題（3）是恒成立問題，當(dāng)b>-1時(shí)，使得在x∈內(nèi)恒成立對于原來的式子轉(zhuǎn)化為在x∈內(nèi)恒成立，

故設(shè)，

在為減函數(shù)又b>-1所以：-1

通過以上的例題我們知道方程有解、無解和解個(gè)數(shù)問題及恒成立問題可以用“變量分離法”轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，或直接構(gòu)造函數(shù)求最大值和最小值，進(jìn)而進(jìn)行比較得出。

綜合上述幾個(gè)問題可知，在構(gòu)建函數(shù)是要注意到：當(dāng)F（x）在 [a，b]上單調(diào)遞增，則x>a時(shí)，有F（x）>F（a）。如果f（a）=φ（a），要證明當(dāng)x>a時(shí)，f（x）>φ（x），那么，只要令F（x）=f（x）-φ（a），就可以利用F（x）的單調(diào)增性來推導(dǎo).也就是說，在F（x）可導(dǎo)的前提下，只要證明>0即可.

二、間接法構(gòu)建輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用

上述幾個(gè)問題相對來說比較形象明了，我們?nèi)菀讟?gòu)建出相應(yīng)的函數(shù)，但有一些問題直接構(gòu)造解決不了問題，需要我們進(jìn)一步去剖析，化歸為我們常見類型在構(gòu)建輔助函數(shù)，這就要求我們?nèi)プ⒅仡}目所給的函數(shù)的特征。

例題2：（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立。

分析：本題是山東卷的第（II）問，數(shù)列的實(shí)質(zhì)是特殊的函數(shù)，用函數(shù)思想解數(shù)列問題能夠加深對數(shù)列概念及公式的理解，同時(shí)加強(qiáng)知識點(diǎn)間的聯(lián)系。但是如果我們直接轉(zhuǎn)化為：

進(jìn)而構(gòu)建此時(shí)我們無法直接利用導(dǎo)數(shù)解決問題，因此必須對于該式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化：只需令，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x>0時(shí)，恒有成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)即可達(dá)到證明。

例題3：證明當(dāng)

分析：如果本題我們直接構(gòu)造函數(shù)，我們無法直接通過導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的求值域問題，這是需要對不等式進(jìn)行變化。

兩邊取對數(shù)得進(jìn)一步化簡得

構(gòu)建輔助函數(shù)（）

，進(jìn)而當(dāng)x>0時(shí)

所以在（1，+∝）為增函數(shù)。可得即f（x）在為增函數(shù)所以即故

綜合上面兩題我們可知該類問題的處理步驟：

（1）嘗試直接構(gòu)建輔助函數(shù)，發(fā)現(xiàn)不可行；（2）對所給的不等式、方程進(jìn)行恒等變形；（3）回歸直接法。

由上我們可以發(fā)現(xiàn)間接法的主要特點(diǎn)是直接構(gòu)建函數(shù)的時(shí)無法直接求導(dǎo)或者求導(dǎo)后比較復(fù)雜無法利用導(dǎo)數(shù)的特點(diǎn)解題，這就要求我們首先要清楚認(rèn)識到所構(gòu)建函數(shù)的易處理程度進(jìn)行嘗試進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題的方法，這樣問題就會(huì)變得簡單明了。

總之，通過對構(gòu)造輔助函數(shù)的研究，我們已看到了函數(shù)思想的初步應(yīng)用，函數(shù)思想的應(yīng)用想當(dāng)廣泛，但這些方面都涉及到最基礎(chǔ)知識，只要在學(xué)習(xí)中扎扎實(shí)實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識，學(xué)會(huì)全面地分析問題，并注意在解題中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，就一定會(huì)真正掌握運(yùn)用函數(shù)思想解題的思路和方法，從而收到事半功倍的效果。