談類比法在中職圓錐曲線教學中的應用

楊建芬

摘要：中職圓錐曲線的教學，包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線，類比法是方法論中的基本方法之一，教師充分運用類比的方法，可以提高學生的學習興趣，有效地幫助學生理解概念，掌握圓錐曲線的相關知識，同時培養學生的創造性思維與提高創新能力。

關鍵詞：中職類比法圓錐曲線

一、中職圓錐曲線教學

中等職業教育課程改革國家規劃新教材的基礎模塊，我們學習了圓的方程，在拓展模塊教材中，又系統地學習橢圓、雙曲線、拋物線，從動點軌跡的角度研究了橢圓、雙曲線及拋物線，得到描述動點軌跡的方程，稱之為二次方程，稱這些曲線為二次曲線。早在古希臘的亞歷山大時期，阿波羅尼奧斯總結了前任的成果，就建立了完美的圓錐曲線論，編著成書《圓錐曲線論》，書中將圓錐曲線的性質網絡殆盡，證明了由同一個圓錐曲面可以截取到圓、橢圓、雙曲線及拋物線等幾種曲線。因此二次曲線又叫做圓錐曲線。

中職學生基礎普遍差，基礎知識參差不齊，接受能力、分析能力、思維能力偏低。而中職教材的數學概括性強、內容抽象，學生不易理解，學習起來也比較枯燥、乏味，一些學生有明顯的厭學情緒，這直接影響著數學教學和學生素質的提高。

圓錐曲線的學習對概念的掌握和運用要求極高，如果能將一種研究思想或方法運用于圓錐曲線的教學中，既有利于教師的教，又有利于學生的學，那么將會達到事半功倍的效果。結合多年的教學實踐并不斷改進，本人總結出在圓錐曲線教學中運用類比法的一般過程，可以有效地幫助學生理解區分概念，掌握圓錐曲線相關知識，同時培養學生的創造性思維與提高創新能力。

二、類比法的界定和意義

類比法也叫比較類推法，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法。其結論必須由實驗來檢驗，類比對象間共有的屬性越多，則類比結論的可靠性越大。類比法的特點是“先比后推”。“比”是類比的基礎，“比”既要“比共同點”也要“比不同點”。

哲學家康德說過“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往可以指引我們前進。”在數學的教學與研究中，類比法是進行合情推理的一種非常重要的思維方法。在我們分析問題解決問題的過程中，可以利用一個較簡單的類比問題的解答方法或結果，去找到原問題的解決方法。可以說，類比法是探索問題、解決問題與發現新結果的一種卓有成效的思維方法。

三、類比法在中職圓錐曲線中的應用

（一）圓與橢圓的類比

在數學教材中，很多新知識都是在原有知識的基礎上發展而來的，因而在新知識中多少都會帶有舊知識的痕跡。橢圓新授課時，通過對圓的知識回憶，運用類比法給學生創造最佳思維環境，可以使學生猜想出橢圓的內容、結構、研究思想與方法，激發學習的積極性。

1.定義的類比

①取一條定長的細繩，把它兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時畫出的軌跡是一個圓；

②如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

在探究這一過程中，讓學生動手操作，畫出軌跡，有的學生畫出一條線段，有的畫出橢圓，這時分析為什么會得到線段，是因為兩定點的距離等于繩長。接著與圓的定義作類比，引導學生給出橢圓的定義，強調橢圓是平面內到兩定點的距離之和等于常數，且這一常數要大于兩定點的距離。

2.推導標準方程的類比

圓的標準方程是在其定義的基礎上，運用兩點間距離公式推導而來的，具體步驟有：

①找已知條件：圓心的坐標為C（a，b），半徑為r；

②設點找關系：設M（x，y）為圓上的任意一點，則|MC|=r；

③列式計算：√（x-a）2+（y-b）2= r；

④整理化簡：（x-a）2+（y-b）2 = r2。

這個方程就叫做以點C（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程。

掌握了橢圓的定義，分析建立平面直角坐標系，設焦距為2c，橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為2a（2a>2c>0）， 得到

①找已知條件：焦點F1（- c，0），F2（ c，0）；

②設點找關系：設點M（x，y）是橢圓上的任意一點，則 |MF1| + |MF2| = 2a；

③列式計算：√（x+c）2+y2+√（x-c）2+y2 = 2a；

④整理化簡：（a2-c2）x2 + a2y2 = a2（a2-c2）；

⑤設量取簡：從審美角度，結合a>c>0，設a2-c2= b2，則b2x2+a2y2=a2b2，從而得到橢圓的標準方程；

⑥強調關系：a、b、c的大小關系，a最大。

（二）橢圓與雙曲線類比

1.定義的類比

取一條定長的細繩，在繩子的兩頭對稱打兩個結，把繩子的兩端分別固定在圖板的兩點處，抓住其中一個結，套上一個小圓圈，圓圈里放一只鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？再取另外一個結，做同樣的操作。

與橢圓的定義做類比，分析畫圖過程中的變量與定量，引導學生大致描敘出雙曲線上點的特點，師生給出雙曲線的定義，強調雙曲線是平面內到兩定點距離之差的絕對值等于常數，且這一常數要小于兩定點的距離。

2.推導標準方程的類比

建立平面直角坐標系后，設焦距為2c，雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值為2a（0<2a<2c）， 得到

①找已知條件：焦點坐標F1（- c，0），F2（ c，0）；

②設點找關系：設點M（x，y）是雙曲線上的任意一點，則 |MF1| - |MF2| = 2a；

③列式計算：√（x+c）2+y2-√（x-c）2+y2= ±2a；

④整理化簡：（c2- a2）x2 - a2y2=a2（c2- a2）；

⑤設量取簡：因為c>a>0，類似可以設c2- a2= b2，則b2x2-a2y2=a2 b2，便得到雙曲線的標準方程；

⑥強調關系：a、b、c的大小關系，c最大。

3.幾何性質的類比

橢圓的幾何性質包括了圖形范圍、對稱性、頂點和離心率，充分運用代數計算基本知識，從橢圓的標準方程入手，逐一分析和探究，理清了標準方程中a、b、c的幾何意義，以及離心率e的計算和對橢圓形狀的影響。