由一道高考題看數(shù)學變式教學

鄧謙棠

縱觀每年的高考試卷，我們都可以發(fā)現(xiàn)許多“似曾相識”的題，其實，他們都是從課本上的習題變式而來.例如2010年湖北省高考數(shù)學理科試題第5題：已知？駐ABC和點M滿足++=，若存在實數(shù)m使得+=m成立，則m=（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

此題由人教A版的普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修4第120頁復習參考題（B組）第5題：“已知向量，，滿足條件++=，===1，求證：？駐P1P2P3是正三角形.”變式而來.那么，怎樣進行課本習題的變式教學呢？

一、變式教學的目的

高中數(shù)學學習的內(nèi)容跨度大、抽象性強，只有促進高中生對數(shù)學知識的深刻理解，才能達到掌握和靈活運用數(shù)學知識的目的.在數(shù)學學習中，通過變式教學，可以把一個看似孤立的問題從不同角度向外擴散，并形成一個有規(guī)律可尋的系列，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解決此類問題的思路和方法，有意識地展現(xiàn)教學過程中教師與學生數(shù)學思維活動的過程，充分調(diào)動學生學習的積極性， 培養(yǎng)學生獨立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識以及創(chuàng)造性的邏輯思維方式.同時，在變式教學模式下，學生不需要大量地、重復地做同一種題型的練習，減輕了學生的學業(yè)負擔，提高了學習效率.

二、變式教學的方法

下面以課本《數(shù)學》必修4第91頁的第6題為例，談?wù)劻曨}變式教學的方法.

原題： 已知向量，，求作向量，使++=0.表示，，的有向線段能構(gòu)成三角形嗎？

分析：如圖1，設(shè)=，=，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，由向量加法的平行四邊形法則可知+=，即=.顯然，當，不共線時，表示，，的有向線段能構(gòu)成三角形.

1. 創(chuàng)設(shè)新情境，培養(yǎng)學生思維的靈活性

創(chuàng)設(shè)新情境是指把條件放在一些特殊的情境中，使問題得以深化.而且，在新的情境中，解決問題的方法不僅僅拘泥于原題的方法，這就要求學生有扎實的基礎(chǔ)，有變通的能力，以養(yǎng)成思維的靈活性.

變式1：如圖2，已知向量，，滿足條件++=，則點M是？駐ABC的_____心（選填“內(nèi)”、“外”、“重”、“垂”）.

分析：

方法1：以MB，MC為鄰邊作平行四邊形MBDC，設(shè)平行四邊形MBDC的對角線MD、BC交于點E，則E為BC的中點，+==

2，由++=得+=-，即=-2，所以M，A，E三點共線，且=2，所以點M是？駐ABC的重心.

方法2： 以M為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），則=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），由++=，得（x1+x2+x3，y1+y2+y3）=（0，0），

所以點M可表示為（，），即點M是？駐ABC的重心.

變式2：設(shè)P是平面ABC內(nèi)任意一點，若=（++），則G是？駐ABC的_____心（選填“內(nèi)”、“外”、“重”、“垂”）.

分析：由=（++）可知++-3=，

即（-）+（-）+（-）=

即++=

由變式1可知，G是？駐ABC的重心.

變式意圖：與原題相比，變式1是在？駐ABC中根據(jù)條件++=來研究點M的性質(zhì)，其本質(zhì)還是運用向量加法的平行四邊形法則，并未發(fā)生大的改變，但創(chuàng)設(shè)？駐ABC這個新的情境，就可以利用坐標法來解決問題.變式2在變式1的基礎(chǔ)上再次變換了新情境，要求學生適當變形，靈活處理，拓寬了學生的思維，使得學生思維的靈活性得到提高.

2. 增加新條件，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性

增加新條件是指在原題的基礎(chǔ)上，增加更多的限制性條件，使題目的難度層層遞增，這要求學生在深層次地理解原題的解題思路上，拓展思維，舉一反三，鍛煉思維的創(chuàng)造性.

變式3： 已知向量，，滿足條件++=，===1，求證：？駐P1P2P3是正三角形.（必修4第120頁復習參考題（B組）第5題）

分析：由變式1知點O是？駐P1P2P3的重心，由===1知O點是？駐P1P2P3的外心，所以？駐P1P2P3是正三角形.

變式4：已知向量，，滿足條件++=，且·=·=·，求證：？駐P1P2P3是正三角形.

分析：由·=·移項得·（-）=·=，所以⊥；同理可得⊥，⊥，所以O(shè)點是？駐P1P2P3的垂心， 又由變式1知點O是？駐P1P2P3的重心，所以？駐P1P2P3是正三角形.

變式意圖：變式2和變式3都是在變式1的基礎(chǔ)上增加一個條件，考查了學生對三角形的重心、外心和垂心的掌握情況，題目的難度層層遞增，符合學生的思維方式，提高了學生思維的創(chuàng)造性.

3. 變換新角度，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性

變換新角度是指把原題的條件和結(jié)論變動和加深，但知識點不離開原題的范圍，這要求學生在掌握原題的基礎(chǔ)上，能夠發(fā)散思維，能夠逆向地去分析問題，提高思維的發(fā)散性.

變式5：設(shè)M是？駐ABC的重心，則++=__________.

分析：根據(jù)變式1的作法，易知++=.

變式6：若？駐P1P2P3是正三角形，向量，，滿足條件===1，求證：++=.

變式7：已知向量，，兩兩所成的角相等，且滿足===1，求證：++=.

分析：如圖3，以點O為圓心，1為半徑作圓，則點P1、P2、P3都在此圓上，由向量，，兩兩所成的角相等知∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1=120°，以O(shè)P2、OP3為鄰邊作平行四邊形OP2PP3，則+=，且該平行四邊形為菱形，∠P2OP=∠POP3=60°，即？駐P2OP為正三角形，=1，又∠P1OP2+∠P2OP=180°，所以P1、O、P三點共線，所以=-，即++=.

變式意圖：變式5是變式1的逆運算，變式6和變式7都是變式3的逆運算.針對這幾個問題，我們要引導學生變換思維的角度，運用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題，使得學生對數(shù)學知識有一個全方位、多角度的認識，提高了學生思維的發(fā)散性.

三、變式教學的價值

以下列舉近幾年高考中學生感到“似曾相識”的題目，以此說明變式教學在高三復習中的重要性.

例1（2009年寧夏、海南理科題）已知O、N、P在？駐ABC所在平面內(nèi)，且==，++=，且·=·=·，則點O、N、P依次是？駐ABC的（ ）

A. 重心、外心、垂心

B. 重心、外心、內(nèi)心

C. 外心、重心、垂心

D. 外心、重心、內(nèi)心

例2（2009年陜西理科題）在？駐ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足=2，則·（+）等于（ ）

A. - B. - C. D.

例3（2006年浙江高考理科題）設(shè)向量，，滿足++=，（-）⊥，⊥，若||=1，則||2+||2+||2的值是 .

例4（2005年全國高考數(shù)學試題（全國卷Ⅰ）第15題）？駐ABC 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，=m（++），則實數(shù)m=____________.

在數(shù)學教學中，教師應(yīng)該有意識地引導學生研究課本中的一些典型問題，通過創(chuàng)設(shè)新情境、增加新條件、變換新角度等多種途徑，挖掘習題潛在的數(shù)學價值.

責任編輯 羅 峰