分類，讓數學探究更有價值

張益趣

《3的倍數的特征》是人教版第八冊的教學內容，對這節課的教學設計，有從2、5的倍數的特征中引入的、有讓學生通過擺火柴棒研究的，其中不乏好點子好設計。但是，大部分教師都要拋出一個問題讓學生思考：“火柴棒的總根數跟3的倍數有什么聯系？”或者干脆問“3的倍數和數位上的數字的和有什么關系？”總覺得教師對學生的引導過于直接，對于五年級的學生，經過這樣的提問，一般都能找到3的倍數的特征，也能用語言來表述。我認為，關鍵在于不但要讓學生找到3的倍數的特征，更應該引導學生怎樣去發現數位上的數字的和與3的倍數之間的關系。我考慮，能不能在本節課中運用分類，讓學生自主探究呢？以下是兩個教學片段：

【教學片段一】

讓學生用30秒時間，寫3的倍數，大部分學生都從小到大寫了25個左右，教師板演了10個：105、111、156、273、300、339、504、918、1527、2442…然后提出探究的任務。

師：請你給自己寫的3的倍數分類，看看能不能找到規律。限時2分鐘。

（結束）學生回答。

生1：3、6、9；12、15、18、21、24…按位數分類。（有3人和他一樣）

師：按位數分類，那么3位數里哪些是3的倍數呢？103、208是3的倍數嗎？（學生回答不出）

生2：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30；33、36、39、42、45、48、51、

54、57、60、63、66…（有32人和他一樣）

師：你分類的標準是什么？

生2：個位是0、9的各歸為一類，共兩類。

生3：共十類。個位是0的一類，個位是1的一類，個位是2的一類，一直到個位是9的一類。

師：懂了。3、33、63是一類；6、36、66是一類，共十類。那21253是不是3的倍數，能迅速判斷嗎？（生無語）

師：看來，分類的方法很多。但是，哪一種分類才能幫助我們發現3的倍數的特征，是有價值的呢？（學生陷入沉思）

以上學生的分類方法，都有不同的標準，從單一分類的角度來看，沒有問題。但是對于尋求3的倍數的特征，卻沒有意義。大部分學生是從2、5的倍數的特征中受到啟示，這是學生的經驗，卻是一種負遷移。課前，我也想到了，那么是不是就一定要先提醒學生，不要走彎路呢？我認為，負遷移也是一種寶貴的經驗，經歷過挫折，對知識的理解就會更加深刻，無需刻意回避。

【教學片段二】

師：繼續觀察這些數，還有其他分類方法嗎？限時5分鐘。（陸續有學生舉手，5分鐘后，共有15位學生舉手，巡視一遍。）

師：誰來介紹自己新的分類方法？

生1：3、21、30；6、15、24、33、42；9、18、36、45、63；39、48、57…

師：你的分類標準是什么？

生1：第一類，每個數數位上的數字的和是3；第二類，每個數數位上的數字的和是6；第三類，每個數數位上的數字的和是9；第四類，每個數數位上的數字的和是12；以此類推。

師：誰來幫他“以此類推”？

生2：每個數數位上的數字的和是15，也是3的倍數；每個數數位上的數字的和是18，也是3的倍數。

生3：每個數數位上的數字的和是21，也是3的倍數；每個數數位上的數字的和是24，也是3的倍數。

師：你能用一句話來表達嗎？

生4：每個數位上的數字的和是3、6、9、12、15、18等，這個數就是3的倍數。

生5：每個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

師：很厲害。但是，我們需要驗證。判斷老師剛才寫的3的倍數（前5個）105、111、156、273、300。

生4：1加0加5等于6，6是3的倍數，105也是3的倍數。

生5：1加1加1等于3，3是3的倍數，111也是3的倍數。

……

（一個學生根據規律回答，其他學生用豎式驗證。）

生6：3的倍數的特征是找到了，但這樣的分類太亂。我一共分3類：

第一類：每個數數位上的數字的和是3：3、12、21、30；

第二類：每個數數位上的數字的和是6：6、15、24、42、51；

第三類：每個數數位上的數字的和是9：9、18、27、36、45…這樣的數是3的倍數。

師：那老師的這些數：339、504、918、1527、2442屬于哪一類呢？

生6：339，3加3加9等于15，然后1加5等于6，分到第二類；918，9加1加8等于18，然后1加8等于9，分到第三類；1527分到第二類；2442分到第一類。所有3的倍數沒有超出這三類的。

師：厲害！（讓其他學生說了兩個四位數，用他的方法來判斷是不是3的倍數，大概有三十個左右的學生能用這樣的方法分析。老師又舉了一個反例。）

師：誰能用幾句話來概括？

生6：一個數，每個數位上的數字的和是3、6、9，如果和大于9的，數位上的數再加，直到出現一位數，如果是3、6、9，那么這個數就是3的倍數。

師：真佩服你們！

第二天，有學生告訴我他發現了一種更快判斷3的倍數的方法，不用把數位上的數都加起來，比如538，3是3的倍數就不要管它了，只要5加8加一下，13不是3的倍數，538就不是3的倍數。我又說了一個四位數2076，學生分析，6是3的倍數，不去管它，2加7是9，9是3的倍數，整個數就是3的倍數。

學生的探究能力如此之強，是我沒想到的，學生快速判斷3的倍數的方法，實際上已經綜合了很多的知識，盡管不能很明確地用語言來表達，但是，方法是完全正確的，其實這又是一個學生新的探究的開始。從本節課中，我有幾點小小的感悟：

一、教師不要害怕學生探究的失敗

學生第一次探究的失敗，完全是正常的，這是他們運用已有的經驗，進行探究后的結果。盡管這種經驗的遷移是負作用的，但是從失敗到成功的過程，記憶是深刻的。負遷移在教學中比比皆是，我們不但不能回避，而且要好好利用，要讓學生積累對數學活動的經驗，同時能將“經驗材料組織化”。

二、教師要給學生創造探究的機會

學生的探究能力其實是教師意想不到的。最后一位學生對3的倍數的概括（一個數，每個數位上的數字的和是3、6、9，如果和大于9的，數位上的數再加，直到出現一位數，如果是3、6、9，那么這個數就是3的倍數。），盡管實際的意義不是很大，但是它更具有橫向的關聯，2的倍數特征是：個位是0、2、4、6、8的數是2的倍數；5的倍數的特征是個位是0或5的數是5的倍數。或許，這種類比聯想更容易讓學生理解新的知識，更何況是學生自己探究出來的。其實很多教學內容我們都可以讓學生進行探究，關鍵是教師如何給學生提供一個探究的載體，一種探究的環境。

三、教師對學過的知識要經常地進行整合

新教材的特點是有些知識點分得比較散，所以教師要經常把學生學過的知識，在新知中不知不覺地再應用，再鞏固。溫故而知新，在復習與鞏固中，學生會對舊知有更高的認識、更深的理解，也容易排除學生對新知的畏難思想。同時要經常地對各種知識進行串聯，編織學生知識的網絡，使學生認識到各種知識之間是相互關聯相互作用的，以利于學生解決一些實際問題或綜合性問題。

四、教師要經常在教學中滲透一些數學思想

分類是一種數學思想，同時也是一種數學思維的工具。人教版小學數學第一冊學生就接觸了分類《整理房間》、第七冊《角的分類》、第八冊《三角形的分類》，讓學生對分類有了更多的理解。其實在生活中，無處不在的分類：超市貨物的擺放、自己書本的整理、性別之間、班級之間等等。對于分類的標準、分類的原則，學生在不知不覺中有了感悟。借助分類，有40%的學生找到了3的倍數的特征，學生完全是在觀察、嘗試、驗證的基礎上探究的，是自主的行為研究。在小學數學中，滲透了很多數學思想，如集合、對應、假設、比較、類比、轉化、分類、統計思想等，在教學中合理地運用這些數學思想，對學生學習數學的影響是深遠的，也會讓我們的數學探究活動更有意義，更有價值。

（作者單位 浙江省慈溪市逍林教辦）