巧解排列組合問題

龔亮

摘要：排列、組合題是高中數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的部分內(nèi)容，它與其他知識(shí)聯(lián)系較少，內(nèi)容比較抽象。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)、式、方程、函數(shù)等內(nèi)容時(shí)還能得心應(yīng)手，但在學(xué)習(xí)排列、組合問題時(shí)卻常常束手無策并出現(xiàn)錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：巧解；靈活運(yùn)用；方法

排列組合問題，通常都是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在試卷上，它聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)有趣，但題型多樣，解法靈活。如何使排列、組合題群解得合乎數(shù)學(xué)解題規(guī)律，教給學(xué)生解題技巧，又能讓學(xué)生根據(jù)巧解邏輯，達(dá)到生動(dòng)有趣、興意盎然之功效？首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答。同時(shí)，還要注意講究一些策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。

在以往的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于一些常用解法基本都能掌握，比如，特殊元素法、特殊位置法、直接法、間接法、捆綁法、插空法、先分組再排列法、隔板法。但遇到新題型就不知如何變通運(yùn)用了，下面重點(diǎn)探討幾類特殊題型的解題方法，希望能幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。

一、固定順序問題

例1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 。

解析：先從7人中選出2人加入前排，這樣，前排共要排5人，將前排看做有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中選2個(gè)排新加入的，順序可換，剩下3個(gè)位置按原定順序排好即可，故選C。

例2.在一次射擊比賽中，有8個(gè)泥制靶子排成如圖所示的三列（其中兩列有3個(gè)靶子，一列有2個(gè)靶子），一位神槍手按下面的規(guī)則打掉所有的靶子：

（1）首先他選擇將要有一個(gè)靶子打掉的一列。

（2）然后在被選中的一列中打掉最下面的一個(gè)沒被打掉的靶子，那么打掉這8個(gè)靶子共有多少種順序？

二、隔板法的特殊運(yùn)用問題

例1.有10個(gè)優(yōu)秀名額，分到高三年級(jí)一、二、三班，他們各班的名額不少于他們的班級(jí)數(shù)，共有 種分配方案。

三、構(gòu)造幾何模型

例：在平面直角坐標(biāo)系中，x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)， y軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將x軸上這5個(gè)點(diǎn)和y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有 個(gè)。

（作者單位 江西省南昌一中）