如何選擇正余弦定理解題

趙雪冬

“正余弦定理”是普通高中課程標準實驗教科書數學必修5的第一章第一節的主要內容，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，該部分內容在高考的考查中主要涉及三角形的邊角轉化、三角形形狀的判斷、三角形內三角函數的求值以及三角恒等式的證明問題.根據在教學中的觀察，很多學生的問題是即使熟知正余弦定理的公式，在解決具體問題時，也經常不知道該選擇兩個定理中的哪個更好，不能對邊角靈活轉化，從而使問題復雜化，甚至解不出來.本文就此問題總結了一個小經驗，讓學習數學困難的學生能恰當選擇定理，簡化計算過程應該會有一定的作用，下面進行具體敘述.

根據正余弦定理公式的特點，正弦定理涉及兩邊兩角，余弦定理涉及三邊一角，相對來說，應用正弦定理解題要求已知與角有關的條件多，應用余弦定理要求已知與邊有關的條件較多.因此，在選擇定理時，給學生的經驗是：“角多一般用正弦，邊多一般用余弦。”雖然很多題目用正余弦都可以解決，但應用上面的經驗經常可以使問題簡化.如以下幾個例題.

小結兩種解法：顯然，兩種解法對比之后，解法一避免了討論與很多計算，相對解法二要簡單的多.在解法二中已知sinB求cosB的過程需要討論cosB的正負，已知A和B的三角函數值求sinC的思路與計算量，都是學生難以在短時間內掌握的.因此可以看出恰當選擇定理對學生解題正確的重要性.

小結例2：當已知條件出現角多既已知兩個或三個角的度數或三角函數值時，同時給的邊的條件最多只有一個，此時選擇余弦定理很難解出，因此角多一般選擇用正弦定理解題.

以上是針對學生解關于正余弦定理應用時感覺困難的一點小建議.通過實踐，學生感覺應用“經驗”，能更快找到思路，使解題更加順利.當然，任何經驗方法可能都有一定的局限性，本文只是通過這個經驗讓學生能在一般題型上有所啟發，做題更加順利.

（作者單位 北京市東方德才學校）