對一道高考題的另解

張光松

新課標全國卷Ⅰ25題：

如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系。

解：（1）設金屬棒下滑的速度為υ則感應電動勢為

E=BLυ ①

平行板電容器兩極板之間的電勢差為

U=E ②

設此時電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有

C=Q/U ③

聯立①②③式得

Q= C BLυ ④

（2）設金屬棒速度大小為υ時經歷的時間為t，通過金屬棒的電流為i。金屬棒受到的磁場的作用力方向沿導軌向上，大小為

f1 =BLi ⑤

設在時間間隔（t，t+Δt）內流過金屬棒的電荷量為ΔQ，按定義有

i=ΔQ/Δt ⑥

ΔQ也是平行板電容器極板在時間間隔（t，t+Δt）內增加的電荷量，由④式得

ΔQ=C BLΔυ ⑦

式中Δυ為金屬棒速度的變化量，按定義有

a=Δυ/Δt ⑧

金屬棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小為

f2=μN ⑨

式中，N是金屬棒對導軌的正壓力的大小，有

N=m g cosθ ⑩

金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，設其大小為a根據牛頓第二定律有

mg sinθ-f1-f2=ma ?

聯立⑤至11式得

a= ?

由12式及題設知，金屬棒做初速度為零的勻加速運動，t時刻金屬棒速度大小為

對于這道高考試題來說，它應該是一道很好的選拔人才，拉開差距的考題，特別是題設中的（2）問從所給的標準答案來看，我們有時很難想到⑥⑦⑧這三個式子。我開始想到的就是利用動量定理去解答此題，不知正確與否，望大家指導交流。

另解：（2）設金屬棒速度大小為υ時經歷的時間為t，通過金屬棒的平均電流為i。金屬棒受到的磁場的平均作用力方向沿導軌向上，大小為

⑤

金屬棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小為

f2=μN ⑥

式中，N是金屬棒對導軌的正壓力的大小，有

N=m g cosθ ⑦

整個過程由動量定理得

（mg sinθ-f1-f2）t=mυ ⑧

又根據電流的定義式知

⑨

聯立④⑤⑥⑦⑧⑨得

⑩

因此，我們要求同學牢固掌握基礎知識，靈活運用基本方法處理問題的同時，讓基礎扎實的學生，積極探索其他的解法，對于培養他們靈活運用知識解決問題能力和求異思維能力，將十分有益。