圖形變換法在幾何證明中的創新運用

徐謙

《義務教育數學課程標準》（中華人民共和國教育部制定，北京師范大學出版社出版，2011年）指出：“數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象 思維和推理能力；培養學生的創新意識和實踐能力；促進學生在情感、態度與價 值觀等方面的發展。”因此，學生要通過數學課程的學習，學會數學思想，掌握數學的基本方法和基本技能。

我們在初中數學教學中經常會碰到一些條件比較分散的幾何綜合題，這時候我們就應該采取一些方法把這些條件集中起來，常用的方法就是圖形變換，即平移、旋轉、對稱、相似變換、等積變形等，添加輔助線是圖形變換的具體表現。下面我們通過一些例子，重點談談平移法、旋轉法、對稱法這幾種變換方法在幾何證明題中的具體運用。

一、平移法

平移法就是把某個圖形沿著一定的方向從一個位置平移到另一個位置的方法。平移法的依據是利用“平行四邊形的性質”和“中位線定理”，平移法在梯形的有關計算和證明中表現得較為充分，如過一點作腰的平行線、構造平行四邊形和三角形、把腰平移到同一個三角形中、把兩底平移到同一條直線上等。

例l 如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分別是AD、BC的中點。求證：EF=1/2（BC-AD）。

探求：由結論中的BC-AD是兩底的差，想辦法把AD移到BC上，考慮到E是AD的中點，故過E分別作EM∥AB，EN∥DC，交BC分別于M、N，則MN=BC-AD。再結合平行線的性質和直角三角形的性質，問題得證。

二、旋轉法

旋轉法就是把某個圖形繞著一定的點進行旋轉，從一個位置旋轉到另一個位置。在正方形中，旋轉法使用較多，圓中的四點共圓也可以把一個角旋轉到所需要的位置上。

例2 如圖2，已知點P是正方形ABCD內一點，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度數。

探求：已知條件非常簡單，學生如果沒有學習旋轉法或對旋轉法比較生疏的話，一下子很難求解。我們要想辦法把已知條件集中起來，如正方形是旋轉圖形、三條線段的比以及直角三角形的性質（勾股定理）等。具體方法：把△BAP繞B點按順時針旋轉900，轉到△BCE處，故有∠APB=∠CEB、BP=BE、AP=CE，同時設PA=x、PB=2x、PC=3x，可求出PE=2，最后利用勾股定理的逆定理可以得到答案。

例3 如圖3，以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形CE和正方形BF，且CD⊥AB于D，求證：（AF+AD）2=EF2-

CD2 。

探求：從結論上看，AF、AD接成一條線段，又都是平方的形式，由此想到勾股定理，故延長FA至D'，使AD'=AD，再證△AED'≌△ACD，從而得證。實際上也可以看做是把△ACD繞點A按順時針旋轉900到△ACD處。

三、對稱法

對稱法就是把某個圖形以定直線為軸對折到對稱的位置上的方法，常常以角平分線、線段的中垂線為軸。

例4 如圖4，已知AD是△ABC

的角平分線，

且AC

求證：CD

探求：在AB上取AE=AC，連結DE，顯然有△ACD≌△AED。也就是把△ACD翻折到△AED位置上，可得∠BED=∠FCD>∠B，獲證。

四、截長補短法

截長補短法是初中數學幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數量關系。具體說就是把a=b+c轉化為b=a-c或反過來使用，尋求問題的解決方法。截長補短法是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。

五、加倍折半法

加倍折半法具體地說就是把a=2b轉化為b=1/2 a或反過來運用。在證明角的2倍或1/2以及線段的2倍或1/2中運用較多所作的輔助線一般是角的平分線或取線段的中點。

六、截取、延長法

截取法、延長法就是在證明線段或角不等關系時，在長線段上取一段等于短線段或把短線段延長等于長線段，構成全等三角形，將要比較的量轉化到可以比較的同一個三角形中。前面講的例4也可以采用這種方法，即延長AC至F，使AF=AB，連結DF，再證明△ABD≌△AFD，所以BD=DF，在△DFC中進行比較，可以得證。

七、相似變換法

就是利用相似比改變圖形的大小而不改變其形狀的方法。利用相似三角形的性質可以解決有關平行、比例和面積等問題。另外還有等積變形法，就是不改變圖形的面積只改變圖形的形狀的方法，利用“同底等高的三角形面積不變”的定理解決問題。在此不再舉例。

總之，在初中數學教學中，幾何是教學的重點，也是教學的難點。當我們碰到一些條件比較復雜的幾何綜合題時，要想方設法利用圖形變換的方法來求得答案。教無定法，貴在得法。只要我們按照《義務教育數學課程標準》的要求組織教學，培養學生的抽象思維和推理思維能力，就能讓學生學會數學思想，掌握數學必備的基礎知識和基本技能，從而提高他們的創新意識和實踐能力。

（江蘇省新沂市第四中學）