構建和諧數學課堂的五個要義

俞昕

IBM公司曾經登過這樣一則廣告：Stop selling what you have，start selling what they need.（不再兜售你所擁有，開始銷售顧客所需.）這則廣告引起了我對高中數學課堂教學的反思，數學教師在課堂上不能只傳授自己擁有的知識，更應該傳授學生所需要的知識.我們可以冷靜地對課堂教學進行一番通透的反思與思考，我們的課堂教學應關注哪些因素？怎樣的課堂教學能稱之為有效教學？怎樣的數學課堂能體現“和諧”？下面筆者結合自己的教學實踐提出構建和諧數學課堂的五個要義.

目標達成：計劃與現實

任何課都是為了實現一個預期的目標而演繹的一段旅程.教師對每一節課都有自身的目標預期，教師課前基于對課程標準、課程文本以及學生起點的分析，都會設計出計劃要達成的目標.教學目標的設計自然會對教學產生直接的指向作用，不恰當的教學計劃必然導致低效或無效的教學結果.但是，有時經過對照比較發現，教學目標確實達成的課，其實際效果卻并不理想.很多教學效果平平的課往往都是執教教師止于自我預先設計的教學目標而忽視學生最近發展區內發展現狀的結果.所以，在教學活動結束后，學生在最近發展區內發展的現實自然成為反觀教學目標本身達成的另一個重要指標.

高中數學教學應重視學生數學思維的發展與拓展，教師在備課的時候應注意到有些目標是在課堂上實現的，有些目標是在課后實現的，而且往往課后實現的目標更重要.目前我們很多數學教師往往只顧課堂眼前目標，而忽視課后學生的長期發展目標.換句話說，我們數學教學存在兩個目標：短期目標與長期目標.出于應試與高考的壓力，教師注重短期目標：學生是否掌握了課堂上教師傳授的數學知識與技能，能否熟練地解決數學題目.日本著名數學家米山國藏說過：“在學校學的數學知識，畢業后若沒有什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益.”這應該就是數學教育所追求的理想境界.但在考試指揮棒下，數學教育中“教知識”的功能日趨凸顯，而“明事理”的功能卻被忽視，以教來“育人”變成了以教來“考人”，其檢測手段就是考試，而考試也幾乎成為數學教育的終極目的.為應對各級各類考試，在數學教育中，對基礎知識與基本技能的理解與掌握是濃墨重彩的關注，而對基本活動經驗的體驗和基本數學思想方法的形成則是葉公好龍式的關注.這是應該引起我們數學教師關注的問題.

例如在講解“兩角差的余弦公式”時，教師可以進行這樣的嘗試.白天黑夜，一年四季，漲潮落潮，心臟的收縮和擴張時周期運動的體現，而一年四季，白天黑夜是天體運動的結果.而三大天體運動，地球繞著太陽作圓周運動，月亮繞著地球作圓周運動，那么月亮繞著太陽所作的運動情況如何呢？以此為背景教師引導學生進行數學建模：

點Q在半徑為1的圓P上運動的同時，圓心P又在另一個半徑也為1的圓O上運動，P、Q兩點的初始位置如圖1所示，其中OP⊥QP，且P、Q兩點以相同的角速度逆時針方向運動，這時點Q的運動如何刻畫？教師可以引導學生運用向量的方法分析.

教師在引課過程中，描述了公式的起源、公式的發現，其實這不是簡單地在說一個數學問題，而是在教學生怎樣發現問題，怎樣觀察問題，又怎么來建立數學模型，進而再怎樣用數學的方法解決問題，而從一個問題的解決中又如何發現了新的問題，教師在這里做了精心的設計，可能僅通過這一次呈現無法達到教育的目的，但如果教師能長期堅持這樣的設計思想，則必將會引起學生的改變，使學生學會發現、解決問題的方法，對學生來說這才是終身受益的.

主體互動：質量與機會

主體就是指教師和學生，課堂就是教師與學生之間通過不同方式的互動而演繹的一段通向預期目標地的旅程.主體互動是指教學活動的主體通過語言或行為的方式進行的信息交流.互動方式之一的語言也包括肢體語言在內.沒有主體互動的課堂是難以想象的，但是表現出主體互動的課堂也未必是教學有效的課堂.對主體互動的審視還需要進一步地考察其“質量”與“機會”.所謂質量，是指在主體互動的過程中，有新的、有意義的內容生成，同時師生之間的問與答都融入了思維的積極活動.否則，只是教師連珠炮似的提問和學生不假思索的回答，雖互動頻繁且不乏熱烈，但仍不能視為有效的主體互動.所謂機會，是指主體之間的互動機會對于每一位學習共同體的成員都得到了實現.參與互動是每一位學習共同體的成員應有權利.真正民主的課堂就是要保證主體間平等的互動機會，課堂上每一個互動的環節都要盡可能地涉及更多的成員，并且通過整堂課的各種互動環節，基本上每一位成員都能獲得主體間互動的機會.如果課堂上教師只是與少數幾位學優學生的互動，或者只是學生中一部分活躍分子在互動，都不能夠視為有效的課堂.經過“質量”與“機會”這樣兩個標準的深入考察，我們會發現以往許多課堂表演效果非常好的公開課尚有很大的改進空間.

數學教學應該是教師在課前準備的教案基礎上，通過課堂主體間的互動，從而實現知識、技能以及情感等多方面進行體驗、建構和共享的過程.數學是一門抽象程度很高的學科，很多教師反映數學課堂的互動沒有文科課堂那么容易生成，學生不太容易接受象數學這樣枯燥乏味的學科互動，認為這只是數學優等生之間的談論話題.數學教師應該讓數學成為全體學生共同的語言、共同的話題，讓全體學生參與數學問題的探討.

筆者在教學中經常為學生構建“數學學習共同體”，共同體的組員要滿足組間同質、組內異質，學優生、普通生和學困生相互結合，讓學優生鼓勵幫助其他同學共同進入數學探究的空間.其次教師應該不失時機地為學生創造互動的機會，所提的問題應在學生的最近發展區內，能有效地激發學生的思維興奮點與生惑點.“惑”這種心理現象在數學教學中主要發生在學生遇到數學知識發生發展的生長點和銜接點、數學思想方法的轉折點、數學思維的癥結點等時機.這些關節點、轉折點、癥結點都是典型的思維生惑點，這些思維生惑點的解除必須通過發展認知能力才能實現.知識是思維的對象和工具，從知識觀的角度看，思維生惑點是已知與未知的混合物，是已知和未知的中介，是已知通向未知的橋梁.

例如在“二項式定理”的起始課上，教師：若今天是星期一，再過30天后的那一天是星期幾？怎么算？

知識呈現：時機與形式

知識呈現關注的是課堂上“方法”的因素，教學是一種藝術，教師在課堂上“藝術”表現的好與壞直接與課堂教學質量相關.沒有知識呈現的課堂跟沒有主體互動的課堂一樣難以想象.但是，有知識呈現的課堂比比皆是，而呈現的效果卻又是千差萬別的，其中主要原因往往都在于呈現的時機與形式是否恰到好處.“時機”，簡而言之，就是指在恰當的時間呈現了適當的知識，不早不晚，不緊不慢.“形式”，簡言之，就是指適當的知識以最具表現力的方式呈現出來，信息損失最小，主體間的溝通與理解變得最快捷.否則，知識的呈現即使再全面，但如果時機不對，就會造成主體認知的混亂，教學效果自然就會打折扣；同樣，知識的呈現盡管是如期而至，但是其形式不能最佳傳遞其承載的內容，也會造成主體認知的困難，教學效果也一樣打折扣.對于知識呈現過程中“時機”與“形式”維度的審視，需要有對當堂內容的通透理解以及對學生情景認知的深刻洞察.一節同樣內容的課，不同的呈現形式，不同的呈現程序，課堂教學的效果往往也會大相徑庭.換言之，“好課”與“差課”的距離有時候只有一步之遙，關鍵在于是否在恰當的時間以恰當的形式呈現了恰當的內容.

在一堂《幾類不同增長的函數模型》中執教者設計了“校慶”的背景（正值該校準備舉辦校慶），校慶公告：某校定于2011年11月20日上午舉行建校10周年暨辦學55周年慶典活動，誠邀各級領導、歷屆校友、歷任教職員工和社會各屆朋友屆時光臨，同度喜慶時光，共謀美好發展！

問題1：為了盡快落實校友的聯絡工作，擬設三個工作組.第1組（書信）：每天發40份邀請函；第2組（電話）：第一天通知10人，以后每天比前一天多通知10人；第3組（QQ）：第一天通知2人，要求每人收到通知后第二天轉發2人（未收到通知者）.請列舉各小組每天通知人數，并預測需聯絡天數.

問題2：QQ用戶擁有1個太陽可以建立QQ群，使用QQ在2小時及2小時以上，記當天為活躍天，

以上四個探究問題的設置在同一個大背景下，由淺入深、由簡單到復雜，設置了適當的階梯，在恰當的時候將學生的思維引入層層深入的探究與思考，充分體現了數學知識呈現時機的恰當性與形式的合理性.

教學環節：流暢與合理

一堂課應當是一個結構井然、環環相扣的整體.“課堂是教師對教學的一種結構化的設計與演繹.”一堂課的起承轉合就是通過教學環節來實現的.每一節課都有其教學環節，但是并不是各教學環節的按部就班都能有效地體現教學的內容和目標，關鍵在于其間交替演進的流暢感與合理性.一節課各教學環節的完成需要流暢，但不是每一節嫻熟流暢的課都是有效的.有些公開課可以把每一個教學環節用時掌控精確到秒，一切盡在預期中，但教學效果卻流暢有余而學生認知不足.另外，一節課的相鄰環節之間需要有邏輯性，但是只是各教學環節有邏輯性的機械組合卻同樣不能演繹課堂的精彩.正如很多失敗的公開課一樣，各教學環節經過了各專家的設計論證，不可謂邏輯性不強但教師的演繹卻生搬硬套般索然寡味.所以有效的課堂一定是既有如行云流水的流暢感，又有環環相扣的邏輯性.

筆者在一堂《數系的擴充與復數的概念》中設計了“數系之旅”以及“數之旅”中的三個課堂環節.第一站“憶方程，回首數系發展，了然于胸”、第二站“制高點，鳥瞰虛數、復數，撥云見日”、第三站“塑理性，回顧真理之路，勇往直前”.這樣的課堂三環節設置使得學生在整個課堂上都被教師設置的懸念牽引，學生充滿了好奇心，主動想去探究每一站的數學知識.從課后學生的反映來看，學生都覺得這樣的數學課很新穎，他們都非常喜歡，都說“數學課原來也可以這樣好玩的”.

在上課前的課間時間就開始播放一段有關復數歷史的視頻.上課伊始，教師：剛才的視頻中向我們介紹了很多著名的數學家，比如法國數學家柯西、德國數學家高斯等等，以及他們所涉及的一個神秘的數學領域，在這個領域中有一種神秘的“數”，或者說是“不可能的數”、“虛幻的數”，研究這種數需要我們豐富的想象力，今天就讓我們插上想象的翅膀開始我們的“數系之旅”.

（幻燈片顯示本節課研究的課題“數系之旅”（（數系的擴充與復數的概念）

教師：首先讓我們進入數系之旅的第一站“憶方程，回首數系發展，了然于胸”.我們旅行的起點從最簡單的方程開始，請大家說出方程x-1=0的解，大家呼之欲出.

……

（在以往的傳統課堂教學中，復數的這節起始課往往是教師將復數的概念直接灌輸給學生，學生可能會覺得這樣的定義比較突兀，不太容易接受.因此筆者在此設計了先介紹數系發展的歷史，然后向學生揭示需引進“虛數單位”的必要性.）

教師：很好！那么如果我們人為的定義一個新的數，使得它的平方等于-1，那是否可行呢？創造是要冒險的，正所謂云里霧里看“新數”，虛無縹緲，接下來就讓我們慢慢揭開這個“新數”的神秘面紗.讓我們進入數系之旅的第二站“制高點，鳥瞰虛數、復數，撥云見日”.讓我們首先跟隨數學大師的足跡，瑞士數學家歐拉首先引入i表示虛數單位，并且規定i2=-1. 盡管歐拉引進了虛數單位，并也在使用它，但歐拉仍然對此不甚了解，稱“它們是不可能的數……它們通常被稱為想象的數，因為它們只存在于想象之中.”在此教師簡略的向學生介紹公式“eiπ+1=0”.

……

（通過讓學生自己歸納、抽象出復數的基本代數形式.在此后三個“披荊斬棘”教學活動中，仍然堅持以學生為主體，以學生自主探究為主，讓學生自己總結出數學思想方法和“兩個復數相等”的概念.這樣的教學設計符合學生的學情，使得學生在數學學習活動中沒有壓抑感，讓思維自由馳騁.學生把數學課堂視為展示智慧、顯露才華的平臺，把數學學習活動當作探索科學、獲取真知、培養能力的有效途徑，都積極主動地投入教師設置的數學思維活動中，并最大程度地釋放自己的潛能.）

教師：在剛才的數系之旅第二站中大家都有精彩的表現！讓我們進入今天數系之旅的最后一站，第三站“塑理性，回顧真理之路，勇往直前”.

……

進入“旅途回望”環節，教師：請大家談談我們這堂課學習了哪些知識？運用了哪些思想？又有哪些體驗和感悟呢？

學生自由發言.進入“數之旅休息站”，教師布置課后拓展作業……

教師：最后讓我們以一副對聯來結束本節課的學習.請大家一起來朗讀.

學生：上聯是“數之旅，層層深入，奇趣無比”；下聯是“縹緲峰，披荊斬棘，撥云見日”；橫批是“虛數不虛”.

教師：希望我們今天的“數系之旅”也“此行不虛”.下課！

筆者在本堂課中設計了明暗兩條線，明線是“復數的有關新知”，暗線是“科學的發展就如數系的發展，需要我們有不斷追求真理的勇氣與毅力”.在數系之旅的第一站中，筆者通過數系的發展歷史，特別是“無理數”的產生歷史，向學生滲透了“雖然現在看來簡單的數系但她的發展卻歷經艱難與艱險”.在數系之旅的第三站中，筆者首尾呼應式的向學生介紹了復數的發展歷史，進一步讓學生深刻體會“數學的發展如同數系的發展”需要經歷幾代數學家付諸于長時間的努力與毅力才能得以完善.從課堂教學的效果與學生的學習投入性來看，整堂課的設計還是較流暢與合理的.

課堂知識：預設與生成

一堂課的教與學就是一個預設與生成相互作用的矛盾運用.傳統的課堂特別強調課前對知識的預設，諸如充分利用科教書和教學參考書提供的信息資源，除此之外，經驗豐富的教師可能還會涉及本學科領域內知識之間的前后聯系、其他學科領域的相關內容，以及學習者的生活經驗、社會知識.但是，在新課程理念指導下，課堂教學過程中的知識除了上述靜態的信息資源之外，還應包括課堂實施過程中動態生成的信息資源.換言之，學生也是課堂知識的建設者和生成者.他們往往會在教師預先準備的信息含量之外，經過主體間的情景互動，交流碰撞生成新的課堂知識，從而大大豐富了預期的課程內容.

因此，從課程資源的開發與利用方面而言，不僅要看教師對靜態課堂知識的利用與開發，同時還要看教師對動態課堂知識的利用與開發.對靜態和動態的課堂知識進行全面的開發與利用往往會使一節課的教學信息增倍，精彩生成無數.在教學實踐活動過程中，真正自然而真實的好課往往都是指教師充分利用課堂情境、創造設計恰當問題、積極挑戰學生的思維、因勢利導而水到渠成的結果.

筆者在一堂《向量在物理學中的應用舉例》中曾給出以下探究問題：河寬500m，水速2m/s，船仍舊在A處，從這在下游1200m河流B有一處瀑布.為了安全過河，船的劃速不能小于多少？當劃速最小時，劃速方向如何？

筆者預設的解決方案是運用數形結合思想.先考慮臨界位置，當[WTHX]v[WTBX]船方向垂直于AB時，劃速最小.若劃行方向不在AB方向上，根據圖示劃速都比臨界位置時大.

不片面追求教學容量，順應學生的思維規律，注重思維過程的暴露，注重學生的思維活動，讓學生在自己的思考探索過程中掌握解決問題的技巧.學生的意外生成往往能帶來驚喜，有時教師認為是常規的思路，學生不一定認同，而學生自己有自己的看法，教師應該在拋出問題后給學生充分的時間思考，不要急著給出教師自己的解決方案，否則就極有可能限制了學生的思維，也有可能造成學生的思維定勢.教師可以嘗試先讓學生講思路，或是讓學生“說題”，若是學生的思路與教師的預設不同，則不管學生有無將問題正確解出，都要充分展現學生的思路；若是學生的思路與教師的預設相同，則也要讓學生自主的進行解決，教師不要代勞.

筆者認為學生的生成應大過于教師的預設，數學教學應注重學生學到什么，而不是教師教些什么.數學教師的責任是做好一個引導者，讓學生在數學知識的指引下產生更多、更精彩的有效生成，這是我們數學教師的理想目標.

結束語

數學教師孜孜以求數學教學精致無極限的“唯美”，追求構建“和諧”的數學課堂，筆者認為“和諧”應體現在：不去想“這堂數學課涉及什么內容”，而是思考“我想要學生從這一課學到什么”.通過以上五個方面的探討可見，“和諧”應體現在：目標的和諧達成、主體的和諧互動、知識的和諧呈現、教學的和諧環節、知識的和諧生成.總之，學生是教師反饋教學信息的鏡子，我們可以從學生學習數學的過程中看到自己的課堂教學是否“和諧”，進而追求理想中的“和諧”課堂.